posic | Entries tagged with math6

бывают двух видов, по наличию двух точных категорий контрагерентных копучков: произвольных (= локально контраприспособленных) и локально кокручения. Эти точные категории вложены одна в другую, но проективные объекты в них разные.

Проективных локально контраприспособленных контрагерентных копучков достаточно много на квазикомпактной полуотделимой схеме. Проективных контрагерентных копучков локально кокручения тоже достаточно много на квазикомпактной полуотделимой схеме. Но кроме того, их также достаточно много на любой локально нетеровой схеме.

Доказательство последнего факта основано на классификации плоских модулей кокручения над нетеровым кольцом (аналогичной и выводящейся из известной классификации инъективных модулей). Вообще, теория проективных контрагерентных копучков локально кокручения на локально нетеровых схемах очень похожа на хартсхорновскую теорию инъективных квазикогерентных пучков на таких схемах.

Некоторая путаница в предыдущем постинге была вызвана тем, что в нем обсуждались две абелевы категории -- C-комодулей и С-контрамодулей, в то время как на самом деле их четыре -- левые и правые C-комодули, левые и правые контрамодули. Если правильно учесть этот момент, ситуация проясняется.

Пусть X -- стратифицированное пространство, и пусть С -- такая коалгебра, что категория пучков с конечномерными слоями (и, скажем, с унипотентной монодромией) на X эквивалентна категории конечномерных левых C-комодулей. Тогда категория копучков с конечномерными слоями, будучи попросту антиэквивалентной категории пучков с конечномерными слоями, эквивалентна категории конечномерных правых C-комодулей. Конечномерные левые комодули обычно совпадают с (или, в любом случае, ковариантно вкладываются в) конечномерные левые контрамодули. Таким образом, связь между ко/контрамодулями и (ко)пучками выглядит так:

левые C-комодули = пучки комодулей (над пополнениями фундаментальных групп стратов)
правые C-комодули = копучки комодулей
левые C-контрамодули = пучки контрамодулей
правые C-комодули = копучки контрамодулей

Предполагая, что двойственность Вердье сохраняет унипотентность монодромий (или иное аналогичное условие, на них наложенное), получаем, что ковариантная версия двойственности Вердье отождествляет производные категории пучков комодулей и копучков комодулей (а также, вероятно, пучков контрамодулей и копучков контрамодулей). Контравариантный функтор послойной дуализации отображает пучки комодулей в копучки контрамодулей (и копучки комодулей в пучки контрамодулей).

Что же касается ко-контра соответствия, то оно связывает производные категории пучков комодулей и пучков контрамодулей, а также копучков комодулей и копучков контрамодулей. В частности, если страты односвязны, то C -- конечномерная коалгебра, и разницы между C-комодулями и С-контрамодулями нет. То есть производное ко-контра соответствие оказывается автоэквивалентностью производной категории пучков. Как и для всякой конечномерной коалгебры конечной гомологической размерности, этот функтор -- не что иное, как функтор Серра на производной категории комодулей (= пучков).

Если присмотреться внимательнее к тому, как выглядит процедура склейки абелевой категории пучков по стратам, можно заметить, что там фигурирует (например, в случае комплексной прямой C, стратифицированной точкой и C*) функтор инвариантов действия монодромии. В аналогичном описании для копучков будут фигурировать коинварианты. Представляется, что брать инварианты естественно было бы у комодулей, а коинварианты -- у контрамодулей. В этом смысле пучки комодулей и копучки контрамодулей выглядят более естественными категориями, чем две остальные.

Компонуя ковариантную двойственность Вердье с ко-контра соответствием, можно получить ковариантную эквивалентность между производными категориями пучков комодулей и копучков контрамодулей. Компонуя эту эквивалентность с функтором послойной дуализации, получаем контравариантный функтор из производной категории копучков комодулей в себя. В случае односвязных стратов это будет композиция двойственности Вердье с функтором Серра. Интересно, рассматривался ли такой функтор в более общих ситуациях.

Оставим пока в стороне известную проблему, что производная категория конструктивных пучков на фиксированной стратификации может отличаться от полной подкатегории в производной категории всех пучков, состоящей из комплексов с соответственно конструктивными когомологиями. Будем просто предполагать, что речь идет о стратификации, для которой эти две триангулированные категории совпадают.

Тогда имеются сразу две очевидных конструкции. Во-первых, есть функтор двойственности Вердье, контравариантно отображающий комплексы конструктивных пучков в другие такие же комплексы. Можно надеяться, что этот функтор в принципе допускает описание в условно-комбинаторных терминах, т.е., слой нового комплекса как-то выражается через слои исходного комплекса над тем же стратом и примыкающим к нему стратами, в терминах отображений между этими слоями, входящих в структуру пучка.

Поскольку такая конструкция контравариантна и (можно продолжать надеяться) переводит комплексы пучков с конечномерными слоями в аналогичные, ее, может быть, можно разложить в композицию функтора линейной дуализации, переводящего пучок с некоторыми слоями в копучок с двойственными слоями (или наоборот, смотря, с какой стороны) и ковариантной эквивалентности между комплексами пучков и комплексами копучков. Может быть, даже имеющей смысл для пучков и копучков бесконечномерных пространств.

Во-вторых, попробуем рассуждать чуть более формально. Рассмотрим абелеву категорию конструктивных пучков с конечныомерными слоями на фиксированной стратификации. Выберем произвольно по одной точке на каждом страте и рассмотрим "функтор слоя" со значениями в конечномерных пространствах, сопоставляющий пучку прямую сумму его слоев в выбранных точках. Получится точный консервативный функтор. Ввиду обычных результатов, наша абелева категория оказывается эквивалентной категории конечномерных комодулей над некоторой коалгеброй C над полем коэффициентов.

Будем теперь понимать под "конструктивными пучками" C-комодули, а под "конструктивными копучками" C-контрамодули. Тогда общая теорема о ко-контра соответствии доставляет эквивалентность экзотических производных категорий пучков и копучков. На самом деле, конечно, лучше начинать такую конструкцию с категории не всех конструктивных пучков с конечномерными слоями (которых слишком много), а, скажем, таких, в которых фундаментальные группы стратов действуют в слоях унипотентными операторами, что-нибудь в этом роде. Тогда на одиночном страте получится коалгебра, связанная с проунипотентным пополнением фундаментальной группы.

Понятие копучка абелевых групп/векторных пространств (в аналитической, этальной и т.п. топологиях) вообще выглядит проблематичным, но представляется, что конструктивные копучки можно определить. За отсутствием сейчас степени понимания, необходимой для строгих определений, приведу два смутных аргумента.

Во-первых, если рассматривать конструктивные пучки по отношению к фиксированной стратификации, то слои таких пучков во всех точках оказываются стабилизирующимися прямыми пределами групп сечений (все достаточно малые разумные окрестности любой точки одинаковы). Соответственно, кослои таких копучков будут стабилизирующимися обратными пределами, в связи с которыми проблема неточности обратного предела не встает.

Во-вторых, интуитивно кажется, что конструктивный пучок можно описать как набор данных более-менее комбинаторного толка (по векторному пространству на каждом страте + действия фундаментальных групп стратов + отображения, связанные с примыканиями стратов). И такое описание можно формально дуализировать, обратив все стрелки.

Можно ли построить естественную эквивалентность между производными категориями конструктивных пучков и конструктивных копучков на фиксированной стратификации?

Пусть E -- точная категория (можно было бы сказать "точная DG-категория", но не будем переусложнять) со всюду определенными и точными функторами бесконечных произведений. Пусть F ⊂ E -- полная подкатегория, замкнутая относительно расширений и ядер допустимых эпиморфизмов в E, и такая, что во всякий объект из E имеется допустимый эпиморфизм из объекта, принадлежащего F.

Замкнутость F относительно бесконечных произведений в E не предполагается. Вместо этого, мы предположим, что

- F как точная категория (с индуцированной структурой) имеет конечную гомологическую размерность.

Теорема 1. В сформулированных предположениях, естественный функтор из абсолютной производной категории F в контрапроизводную категорию E является вполне строгим.

Если предположить дополнительно, что

- счетные произведения объектов из F, взятые в E, имеют конечную левую F-гомологическую размерность (в смысле, допускают конечные левые резольвенты в E объектами из F)

то имеет место более сильное утверждение:

Теорема 2. В предположениях выше, естественный функтор из абсолютной производной категории F в контрапроизводную категорию E является эквивалентностью триангулированных категорий.

Набросок доказательства: теорема 2 выводится из теоремы 1 с помощью рассуждений из разделов 3.7-3.8 мемуара Two kinds... Для любого комплекса над E можно построить левую резольвенту в виде бикомплекса над F, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, у полученного комплекса снова построить резольвенту над F в виде конечного (в направлении разрешения) бикомплекса над F, и снова тотализовать. Получится комплекс над F, отображающийся в исходный комплекс над E с конусом, контраацикличным над E. В силу известной леммы, остается показать, что всякий комплекс над F, контраацикличный над E, является абсолютно ацикличным над F. Теорема 1 утверждает даже больше.

Утверждение теоремы 1 представляет собой по существу смесь результатов разделов 1.5 и 1.6 статьи Coherent analogues..., и доказательство не требует новых идей, а только соединения уже имеющихся аргументов в этих разделах. Покажем, что всякий морфизм в Hot(E) из комплекса над F в комплекс, контраацикличный над E, факторизуется через комплекс, абсолютно ацикличный над F. Комплексы, контраацикличные над E, получаются из тотализаций точных троек комплексов над E с помощью (трансфинитного) итерирования операций конуса и бесконечного произведения. Нужно проверить, что тотализации точных троек комплексов над E обладают интересующим нас свойством, а операции конуса и бесконечного произведения это свойство сохраняют.

Применительно к тотализациям точных троек и операции конуса, эти утверждения по существу доказаны в разделе 1.5 процитированной статьи. Далее, морфизм в бесконечное произведение комплексов факторизуется через бесконечное произведение тех комплексов, через которые факторизуется морфизм в каждый из сомножителей. Наконец, в разделе 1.6 показано, что если гомологическая размерность F не превышает d, то всякий абсолютно ацикличный комплекс над F является прямым слагаемым тотализации (d+2)-членной конечной точной последовательности комплексов над F. Поэтому бесконечное произведение абсолютно ацикличных комплексов над F, взятое в E, является абсолютно ацикличным комплексом над E. Ввиду вышеупомянутых результатов раздела 1.5, морфизм в такой комплекс факторизуется из комплекса над F факторизуется через абсолютно ацикличный комплекс над F.

Теория контрагерентных копучков, в том виде, как она строится в моем последнем препринте, основана на наличии у любой схемы замечательной базы открытых подмножеств, состоящей из аффинных открытых подсхем. По неким причинам (см. ниже), важна также возможность ограничиться достаточно малыми аффинными открытыми подсхемами (подчиненными какому-нибудь фиксированному открытому покрытию).

Функторы косечений копучков над такими открытыми подсхемами играют одновременно роль, которую в обычной теории пучков играют функторы слоев в точках (будучи точными, в значительной степени по определению, в моей теории) и роль, которую в ней играют функторы сечений над открытыми подмножествами (поскольку (ко)пучки достаточно задавать на базе топологии, и проверять соответствующие аксиомы только для покрытий открытых множеств из базы открытыми множествами из базы).

В ситуации, когда квазикогерентный пучок обычно строился бы как пучковизация какого-то предпучка, контрагерентный копучок в явном виде определяется на базе аффинных открытых подсхем. Если приходится ограничиваться аффинными открытыми подсхемами, подчиненными какому-то покрытию, получается локально контрагерентный копучок. В обоих случаях, модуль косечений над аффинной открытой подсхемой должен удовлетворять "условию контраприспособленности", и нужно проверять "условие контрагерентности" для пары вложенных аффинных открытых подсхем. Аксиомы копучка для покрытия аффинной открытой схемы меньшими аффинными открытыми подсхемами из этих условий следуют, а дальше копучок продолжается на произвольные открытые подмножества.

Таким образом, однозначное продолжение копучков с базы (возможно, малых) аффинных открытых подсхем на все открытые подмножества схемы выступает в роли, в которой в теории пучков обычно используется функтор пучковизации.

Характерным примером является конструкция обратного образа контрагерентного копучка P при морфизме схем f: Y → X. Чтобы определить модуль косечений (f^!P)[V] над открытой аффинной подсхемой V ⊂ Y, надо выбрать открытую аффинную подсхему U ⊂ X, такую что f(V) ⊂ U. Если таковой не существует, нужно пользоваться более мелкими, чем эта V, открытыми аффинными подсхемами в Y, и обратный образ будет лишь локально, а не глобально контрагерентным копучком.

Возникает также проблема однозначности такой конструкции. Пусть есть две разных открытых аффинных подсхемы U', U'' ⊂ X, таких что f(V) ⊂ U' и f(V) ⊂ U''; что с этим делать? Если пересечение U' и U'' в X аффинно -- или хотя бы существует аффинная открытая подсхема U ⊂ U'∩U'', содержащая f(V) -- проблема легко решается (так что в случае полуотделимой схемы X все просто).

В неотделимой ситуации, я все последние месяцы спотыкался об это место, пока сегодня, наконец, не сообразил, что корректность конструкции можно прямо проверить в общем случае. Покроем пересечение U'∩U'' открытыми аффинными подсхемами U_α; поскольку V квазикомпактна, f(V) содержится в объединении конечного числа таких U_α. Рассматривая полные прообразы, получаем конечное аффинное покрытие аффинной схемы V, которое мы обозначим через V_α.

Модули (f^!P)[V_α], построенные с помощью вложения f(V_α) в U' и U'', естественно изоморфны, так как их можно сравнить через U_α (содержащуюся в U' и U'' и содержащую f(V_α)). То же относится к модулям (f^!P)[V_α∩V_β] (которые можно сравнить через аффинные открытые подсхемы U_α∩U_β). Аксиома копучка однозначно восстанавливает (f^!P)[V].

Одна из более мелких проблем с копучками состоит в том, что это понятие не согласовано с забывающими функторами между алгебраическими стуктурами: подлежащий копредпучок множеств к копучку абелевых групп копучком множеств не является. Причина состоит в том, что с забывающими функторами не согласованы функторы копроизведений в соответствующих категориях (в отличие от функторов произведений). Поэтому теории копучков множеств и копучков абелевых групп приходится строить раздельно.

Литература по копучкам очень фрагментарна (можно составить себе представление по обсуждениям на MathOverflow -- http://mathoverflow.net/questions/43311/sheaves-and-cosheaves , http://mathoverflow.net/questions/99969/cosheaf-homology-and-a-theorem-of-beilinson-in-a-paper-on-mixed-tate-motives и статье на ncatlab -- http://ncatlab.org/nlab/show/cosheaf ), но кое-что можно найти. В книжке Бредона "Теория пучков" обсуждаются копучки модулей над кольцом главных идеалов, но копучковизация не строится.

В приложении B к этой статье -- http://arxiv.org/abs/0811.2580 -- развивается теория, аналогичная теории "этальных пространств предпучков" для копучков множеств, и с помощью этого, как утверждается, строится функтор копучковизации, сопряженный справа к вложению копредпучков множеств в копучки (примерно на ту же тему есть длинная, сложная книга авторства M.Bunge and J.Funk, Lecture Notes in Math. 1890). Копучки и копучковизация в контексте какого-то функционального анализа обсуждаются здесь -- http://arxiv.org/abs/0912.4914

С упоминаниями конструктивных копучков абелевых групп приходится время от времени встречаться (см. напр. доказательство леммы 4.2 в статье http://arxiv.org/abs/math/0103059 ). Возможно, в некоторых контекстах возникающие направленные обратные пределы, например, стабилизируются, и жизнь упрощается.

Как известно, в основе теории пучков лежит конструкция пучковизации предпучка. Добрая половина, если не большинство, важнейших конструкций пучков предполагают, что сначала нужно построить некий предпучок, а потом перейти к его пучковизации. Пучковизация предпучка, в свою очередь, традиционно строится в соответствующих учебниках с помощью понятия слоя предпучка в точке, определяемого как подходящий направленный прямой предел.

Граждане, получившие углубленное образование в этой области, знают, что пучковизацию можно строить и по-другому. Видимо, эта альтернативная конструкция должна играть важную роль в общей теории топологий Гротендика и т.д., поскольку существование достаточного числа точек там (насколько я понимаю) не предполагается. К этой более изощренной конструкции относится известная мантра, что "пучковизировать надо дважды". В самом деле, функтор пучковизации строится как квадрат некоторого функтора; сам этот функтор преобразует произвольные предпучки в отделимые, а отделимые предпучки -- в пучки.

Многие изучавшие теорию пучков слыхали, что "функтор пучковизации точен". На самом деле, функтор пучковизации точен, если рассматривать его как функтор из предпучков в пучки. Как функтор из предпучков в предпучки, он точен слева. Более изощренная конструкция пучковизации, использующая двойную итерацию, демонстрирует это свойство точности в явном виде: группа сечений предпучка, полученного в результате применения "квадратного корня из пучковизации", строится как направленный прямой предел по измельчающимся покрытиям ненаправленных обратных пределов, связанных с каждым фиксированным покрытием открытого множества.

В ситуации с копучками, функтор кослоя будет неким направленным обратным пределом, т.е., функтором, точным только слева. Функтор "квадратного корня из копучковизации" будет некой композицией направленных обратных и ненаправленных прямых пределов, т.е., функторов, точных с разных сторон. Проблематичность подобных конструкций с точки зрения гомологического алгебраиста очевидна.

В частности, традиционная конструкция обратного образа пучков использует как направленный прямой предел по уменьшающимся открытым множествам (аналогичный конструкции слоя), так и пучковизацию получившегося предпучка. Ввиду неточности направленных обратных пределов, пользоваться двойственным вариантом такой конструкции в общем случае не представляется возможным.

Уж сколько раз твердили миру, но урок не впрок, так что я попробую еще раз.

Тезис: понятие ассоциативной DG-алгебры не является частным случаем понятия А-бесконечность алгебры. Наоборот, понятие А-бесконечность алгебры является частным случаем, в зависимости от точки зрения, либо понятия коассоциативной DG-коалгебры, либо понятия ассоциативной DG-алгебры.

Обоснование: начнем с того, что естественные функторы действуют в обе стороны (или, лучше сказать, во все три). Ассоциативную DG-алгебру можно рассматривать как А-бесконечность алгебру с тривиальными высшими операциями, но и А-бесконечность алгебре можно сопоставить ее ассоциативную обертывающую. Кроме того, А-бесконечность алгебре можно сопоставить ее бар-конструкцию, являющуюся косвободной (если забыть дифференциал) конильпотентной DG-коалгеброй. Кобар-конструкция этой DG-коалгебры дает как раз ассоциативную DG-обертывающую исходной А-бесконечность алгебры.

Какой из этих функторов должен естественным образом рассматриваться как вложение частных случаев в общие, в какую сторону?

Можно рассуждать так. Целью рассмотрения ассоциативных или близких к ним алгебр любого рода является, в конечном итоге, переход к категориям модулей над ними. DG-модули над ассоциативной DG-алгеброй не есть то же самое, что А-бесконечность модули над соответствующей ей А-бесконечность алгеброй. Даже если высшие операции в А-бесконечность алгебре нулевые, высшие операции в А-бесконечность модуле могут быть нетривиальными. Таким образом, с А-бесконечность алгеброй, соответствующей ассоциативной DG-алгебре, связан более широкий класс модулей, чем исходной ассоциативной DG-алгеброй.

С другой стороны, А-бесконечность модуль над А-бесконечность алгеброй -- это то же самое, что ассоциативный DG-модуль над ассоциативной обертывающей нашей А-бесконечность алгебры. Таким образом, функтор взятия ассоциативной DG-обертывающей не расширяет, а сохраняет категорию модулей. В этом смысле, он больше похож на вложение частных случаев в общие.

Последний абзац нуждается в уточнении: категории А-бесконечность модулей бывают разные, а именно, их бывает две. Можно рассматривать А-бесконечность модули со строгими морфизмами между ними -- и это та категория А-бесконечность модулей, которую описывает предыдущий абзац. Но интереснее и более отвечает духу А-бесконечность науки рассмотрение категории А-бесконечность модулей с А-бесконечность морфизмами между ними.

При таком подходе, переход от ассоциативной DG-алгебры к связанной с ней А-бесконечность алгебре с тривиальными высшими операциями расширяет не только класс модулей, но и множество (комплекс) морфизмов между двумя фиксированными модулями.

С другой стороны, А-бесконечность модуль над А-бесконечность алгеброй -- это то же самое, что косвободный (если забыть дифференциал) коассоциативный DG-комодуль над его ее кобар-конструкцией. Более того, А-бесконечность морфизмы А-бесконечность модулей -- это то же самое, что морфизмы соответствующих DG-комодулей. Наконец, и А-бесконечность морфизмы между А-бесконечность алгебрами суть то же самое, что обычные морфизмы соответствующих коассоциативных DG-коалгебр.

Теперь заметим, что категорию косвободных, если забыть дифференциал, DG-комодулей можно связать не только с косвободной, если забыть дифференциал, но и с произвольной DG-коалгеброй. Таким образом, А-бесконечность алгебры и модули оказываются, при наиболее последовательном подходе, частным случаем коассоциативных DG-коалгебр и (косвободных) DG-комодулей над ними.

Более того, косвободные, если забыть дифференциал, DG-коалгебры -- это просто фибрантные (они же фибрантно-кофибрантные) объекты естественной модельной структуры на конильпотентных DG-коалгебрах. А косвободные, если забыть дифференциал, DG-комодули -- это фибрантные (= фибрантно-кофибрантные) объекты естественной модельной структуры на DG-комодулях над DG-коалгеброй.

Таким образом, категория А-бесконечность алгебр с А-бесконечность морфизмами между ними есть категория фибрантных DG-коалгебр, а категория А-бесконечность модулей с А-бесконечность морфизмами между ними есть категория фибрантных DG-комодулей над фибрантной DG-коалгеброй.

А как же теорема, что производная категория DG-модулей над ассоциативной DG-алгеброй эквивалентна гомотопической категории А-бесконечность модулей над соответствующей А-бесконечность алгеброй? А это нетривиальное утверждение, далекое от того, чтобы быть тавтологией, далеко не автоматически выполненное в разных обобщенных ситуациях (с кривизной, второго рода) и т.д.

Собственно, здесь даже не одно утверждение, а два. Производная категория DG-модулей над ассоцитивной DG-алгеброй A эквивалентна гомотопической категории А-бесконечность модулей над A с А-бесконечность морфизмами между ними и эквивалентна производной категории А-бесконечность модулей над А со строгими морфизмами между ними.

Называются оба эти утверждения -- производная неоднородная кошулева двойственность, два разных ее варианта (или их частные случаи). Производная категория DG-модулей над A эквивалентна копроизводной категории DG-комодулей над Bar(A) (она же гомотопическая категория косвободных, если забыть дифференциал, DG-комодулей), а последняя эквивалентна производной категории DG-модулей над Cob(Bar(A)).

А как насчет теоремы, что категория А-бесконечность алгебр и классов гомотопии А-бесконечность морфизмов между ними эквивалентна категории ассоциативных DG-алгебр, локализованной по классу квазиизоморфизмов? А это следствие теоремы кошулевой двойственности между ассоциативными DG-алгебрами и конильпотентными коассоциативными DG-коалгебрами, квилленовской эквивалентности их модельных категорий.

Вот как выглядит, на мой взгляд, эта теория, если строить ее, имея в виду модификации и обобщения, а не пытаясь тривиализовать и догматизировать одну стандартную ситуацию, выдавая теоремы за новейшие определения и забывая при этом, как и на основе чего они доказываются, и каковы пределы применимости этих доказательств.

Литература: http://arxiv.org/abs/math/0310337 , http://arxiv.org/abs/0905.2621 , http://arxiv.org/abs/1202.2697

умею теперь доказывать, кажется. См. http://posic.livejournal.com/818911.html

Но методом Хартсхорна (с опорой на классификацию проективных контрагерентных копучков локально кокручения), а не моим методом. Поэтому случай контрагерентных копучков модулей над нетеровой квазикогерентной алгеброй остается открытым.

P.S. И еще хотелось бы утверждать: всякий W-плоский W-локально контрагерентный копучок является глобально плоским, глобально контрагерентным и колокально проективным. И прямым слагаемым конечной прямой суммы прямых образов плоских контрагерентных копучков с аффинных открытых подсхем. А выводиться это должно из того, что W-плоские W-локально контрагерентные копучки и W-локально контрагерентные копучки локально кокручения образуют "полную теорию кокручения" на точной категории W-локально контрагерентных копучков. Например, чтобы доказать, что эти классы Ext^1-ортогональны, нужно построить каждому W-плоскому W-локально контрагерентному копучку конечную правую резольвенту из W-плоских W-локально контрагерентных копучков локально кокручения (= проективных контрагерентных копучков локально кокручения) -- по крайней мере, на нетеровой схеме конечной размерности Крулля -- и т.д.

Пусть S -- нетерово коммутативное кольцо, I ⊂ S -- идеал, и R -- I-адическое пополнение S, снабженное I-адической топологией.

Теорема. Для любых двух R-контрамодулей P и Q, естественное отображение Ext_R*(Q,P) → Ext_S*(Q,P), где Ext_R обозначает группы Ext в категории R-контрамодулей, а Ext_S -- в категории S-модулей, является изоморфизмом.

Доказательство: изоморфизм между группами Hom_R и Hom_S известен из теоремы B.1.1(1) статьи 1202.2697. Очевидно, достаточно доказать теорему в случае, когда Q = R[[X]] -- свободный R-контрамодуль. Поэтому желаемое утверждение вытекает из следующих двух лемм.

Лемма 1. Свободный R-контрамодуль F = R[[X]] является плоским S-модулем, и тензорное произведение S/I ⊗_S R[[X]] изоморфно свободному S/I-модулю S/I[X].

Доказательство. Поскольку идеал I конечно порожден в S и идеалы RIⁿ замкнуты в R, второе утверждение очевидно. Чтобы доказать первое, нужно установить, что для любого конечно порожденного S-модуля M имеется естественный изоморфизм M ⊗_S R[[X]] = (M⊗_SR)[[X]], где M⊗_SR есть I-адическое пополнение M, так что на нем есть естественная полная топология, позволяющая определить группу (M⊗_SR)[[X]]. Два функтора совпадают на конечно порожденных проективных модулях M, первый из них очевидно точен справа, а второй точен с обеих сторон.

Лемма 2. Для любого плоского S-модуля F, такого что S/I ⊗_S F -- проективный S/I-модуль, и любого R-контрамодуля P, имеет место зануление Ext_S^>0(F,P) = 0.

Доказательство. Заменив, при необходимости, контрамодуль P на его двучленную левую резольвенту, можно считать, что P равен проективному пределу своих фактормодулей P/IⁿP. Имеем Ext_S*(F, P/IⁿP) = Ext_S/Iⁿ(F/IⁿF, P/IⁿP). Теперь нам понадобится следующая (стандартная, насколько я понимаю)

Лемма 3. Если J -- нильпотентный идеал в ассоциативном кольце A и G -- плоский A-модуль, такой что A/J-модуль G/JG проективен, то и A-модуль G проективен.

Доказательство: использовать подъем идемпотентного эндоморфизма по модулю нильпотентного идеала и (очевидную) лемму Накаямы для такого идеала.

Итак, Ext_S^>0(F, P/IⁿP) = 0. С другой стороны, в силу того же утверждения о проективности S/Iⁿ-модуля F/IⁿF, группа Hom_S(F, P/IⁿP) = Hom_S/Iⁿ(F/IⁿF, P/IⁿP) сюръективно отображается на Hom_S/Iⁿ(F/IⁿF, P/Iⁿ⁻¹P) = Hom_S(F, P/Iⁿ⁻¹P). Теперь остается воспользоваться следующим общим результатом.

Лемма 4. Пусть A -- ассоциативное кольцо, L -- левый А-модуль, и M_n -- проективная система левых A-модулей, занумерованных натуральными числами, и сюръективных отображений между ними. Тогда если Ext_A^>0(L,M_n) = 0 для всех n, то Ext_A*(L, lim M_n) = lim* Hom_A(L,M_n). В частности, если lim¹ Hom_A(L, M_n) = 0, то Ext_A^>0(L, lim M_n) = 0.

Доказательство. Заменить А-модуль L на его левую проективную резольвенту.

Хотелось бы доказать

Утверждение 1. Пусть R -- полное нетерово локальное кольцо. Тогда всякий R-контрамодуль (над топологическим кольцом R в адической топологии) является R-модулем кокручения (над R как дискретным кольцом).

В статье Енокса показано, что свободный R-контрамодуль R[[X]] является плоским R-модулем кокручения (поскольку он изоморфен Hom_R(C,C[X]), где C -- инъективная оболочка поля вычетов R, так что это Hom из инъективного R-модуля в инъективный).

Если R регулярно, то всякий R-контрамодуль имеет конечную левую свободную R-контрамодульную резольвенту, откуда утверждение 1 сразу следует. Теперь допустим, что кольцо R является факторкольцом регулярного полного нетерова локального кольца T. Тогда всякий R-контрамодуль является также T-контрамодулем, и искомое утверждение немедленно следует из леммы 2 из этого постинга -- http://posic.livejournal.com/850193.html

Нет ли более прямого рассуждения? В силу результата Рейно-Грюзона, всякий плоский R-модуль имеет конечную правую резольвенту из плоских R-модулей кокручения, так что достаточно показать, что Ext_R^>0(F,P) = 0 для плоского R-модуля кокручения F и R-контрамодуля P. Согласно Е., модуль F является произведением контрамодулей над пополнениями локализаций кольца R по его простым идеалам.

Дополнение к замкнутой точке в спектре R можно покрыть конечным числом главных аффинных открытых подмножеств, и F представится в виде конечной прямой суммы, где одно слагаемое есть R-контрамодуль, а на каждом из оставшихся обратимо действует некоторый элемент из максимального идеала кольца R. Теперь можно воспользоваться теоремой B.1.1(2a) из 1202.2697, и вопрос сводится к доказательству того, что Ext_R^>0(F,P) = 0, где F -- свободный R-контрамодуль, P -- произвольный, а Ext берется в категории всех R-модулей.

В отношении последнего, хотелось бы сформулировать общее

Утверждение 2. Пусть R -- адическое пополнение нетерова кольца S по его идеалу I. Тогда Ext между двумя R-контрамодулями Q и P, посчитанный в категории R-контрамодулей, изоморфен Ext-у между ними же, посчитанному в категории S-модулей.

Очевидно, утверждение 2 достаточно доказывать в случае, когда R-контрамодуль Q = F свободный. Теперь если I -- максимальный идеал в S, а полное нетерово локальное кольцо R является факторкольцом регулярного, у нас это уже доказано выше. В самом деле, R плоский S-модуль и F плоский R-модуль, так что F плоский S-модуль; а Q -- R-модуль кокручения, так что он также и S-модуль кокручения.

Хотелось бы доказать утверждение 2 в общем случае. Также интересно знать, всякое ли полное нетерово локальное кольцо является факторкольцом регулярного.

Продолжение http://posic.livejournal.com/839838.html и http://posic.livejournal.com/839999.html .

Лемма 1. Пусть R → S -- конечный морфизм нетеровых коммутативных колец, и пусть P -- плоский модуль кокручения над кольцом R. Тогда S⊗_RP -- плоский модуль кокручения над кольцом S.

Доказательство: согласно основной теореме статьи Енокс-84 R-модуль P можно представить (например) как прямое слагаемое бесконечного произведения пополнений локальных колец точек спектра кольца R. Достаточно рассмотреть случай одного такого пополнения R_p. Тогда S⊗_R R_p есть пополнение кольца S по идеалу Sp. Если q_i -- простые идеалы в S, лежащие над p, то они образуют конечное множество (Мацумура Commutative ring theory упр. 9.3), пополнение S по Sp совпадает с пополнением S по произведению всех q_i (поскольку системы степеней этих идеалов конфинальны, по крайней мере, после локализации по R \ p), последнее пополнение есть произведение пополнений по отдельным q_i (loc. cit. теорема 8.15). По той же теореме Енокса, такие пополнения являются плоскими S-модулями кокручения.

Лемма 2. Пусть R → S -- конечный морфизм нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля. Тогда S-модуль Q является S-модулем кокручения титтк он является R-модулем кокручения.

Доказательство: часть "только тогда" -- частный случай общего результата о сохранении свойства кокручения при ограничении скаляров по любому морфизму ассоциативных колец. Чтобы доказать "тогда", отметим, что согласно Рейно-Грюзону всякий плоский S-модуль имеет конечную правую резольвенту из плоских S-модулей кокручения. Поэтому достаточно проверить, что Ext_S^>0(G,Q) = 0 для любого плоского S-модуля кокручения G. Из доказательства леммы 1 ясно, что G является прямым слагаемым S-модуля вида S⊗_RF для некоторого плоского R-модуля кокручения F. Теперь Ext_S^>0(S⊗_RF, Q) = Ext_R^>0(F,Q) = 0.

Лемма 3. Пусть R → S -- морфизм из когерентного кольца R в кольцо S, являющееся конечно представимым R-модулем в индуцированной структуре. Пусть F -- плоский R-модуль кокручения и P -- плоский R-модуль кокручения. Тогда естественный гомоморфизм S-модулей S ⊗_R Hom_R(F,P) → Hom_S(S⊗_RF, S⊗_RP) является изоморфизмом.

Доказательство: отображение S ⊗_R Hom_R(F,P) → Hom_R(F, S⊗_RP) является изоморфизмом согласно следствию 1.6.3(с) из 1209.2995.

Это, может быть, будет длинная серия постингов. Пока что самое начало.

Лемма 1. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец R → S, переводящий элементы идеала I ⊂ R в элементы идеала J ⊂ S, то всякий (S,J)-контрамодуль Q является также (R,I)-контрамодулем в структуре R-модуля, полученной ограничением скаляров при морфизме колец R → S.

Лемма 2. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец f: R → S, такой что идеал J ⊂ S содержится в расширении идеала I ⊂ R при морфизме колец f и S[s⁻¹] -- очень плоский R-модуль для всякого s ∈ S, то S-модуль Hom_R(S,P) является (S,J)-контрамодулем для любого (R,I)-контрамодуля P.

В развитие предыдущего математического постинга. Пусть R -- коммутативное кольцо, I ⊂ R -- идеал. Напомним, что R-модуль P называется (R,I)-контрамодулем, если Ext_R¹(R[s⁻¹],P) = 0 для любого s ∈ R и Ext_R^0,1(R[s⁻¹],P) = 0 для любого s ∈ I. Геометрически это означает, что P -- (локально контраприспособленный) контрагерентный копучок контрамодулей на формальной окрестности замкнутой подсхемы нулей I в спектре R.

Утверждение: категория (R,I)-контрамодулей эквивалентна категории (локально контраприспособленных) контрагерентных копучков на Spec R, равных нулю в ограничении на дополнение к замкнутой подсхеме нулей I.

Доказательство: утверждение тавтологично. По определению, категория контрагерентных копучков на Spec R эквивалентна категории R-модулей P со свойством Ext_R¹(R[s⁻¹],P) = 0 для любого s ∈ R. Дополнение к замкнутой подсхеме нулей I в Spec R покрывается своими открытыми подмножествами вида Spec R[s⁻¹], где s пробегает элементы I (или какую-нибудь систему образующих I как идеала). Ограничение контрагерентного копучка на Spec R, соответствующего R-модулю P, на главное открытое подмножество Spec R[s⁻¹] ⊂ Spec R, соответствует R[s⁻¹]-модулю Hom_R(R[s⁻¹],P). Конец доказательства.

Что-то важное должно проистекать из этой тавтологии, но я не понимаю пока, что.

Нельзя ли в духе Серра описать точную категорию контрагерентных копучков на Pⁿ как факторкатегорию абелевой категории градуированных модулей над многочленами, скажем, по абелевой подкатегории градуированных контрамодулей над степенными рядами?

Пока что мне кажется, что ядро функтора ограничения контрагерентных копучков с векторного/аффинного пространства на дополнение к точке 0 очень похоже на категорию контрамодулей над степенными рядами (которые функции на формальной окрестности этой точки). Что именно это, в сущности, доказано в приложении B к 1202.2697.

1. Как классифицировать проективные контрагерентные копучки на нетеровой схеме в духе классической (Хартсхорна, что ли) классификации инъективных квазикогерентных пучков? Ответа на этот вопрос я не знаю, но если работать в категории контрагерентных копучков локально кокручения, ситуация упрощается.

В статье Енокса "Flat Covers and Flat Cotorsion Modules" в Proceedings AMS от 1984 года приводится классификация плоских модулей кокручения над нетеровым кольцом, очень похожая на (и основанная на) классификации инъективных модулей. Случай произвольной полуотделимой нетеровой схемы сводится к случаю аффинной нетеровой схемы, как описано в разделе 4.3 моего препринта.

2. Самым продвинутым автором по дериваторам является теперь, оказывается, некто Moritz Groth. Можно сделать поиск, и выскакивает. Например, http://www.math.ru.nl/~mgroth/preprints/groth_derivators.pdf

1. О.Г. спрашивает про производные категории второго рода: скажем, про ко/контрапроизводную категорию CDG-модулей над CDG-кольцом, можно ли хотя бы утверждать, что группа морфизмов между двумя фиксированными объектами не изменится при расширении универсума, в котором осуществляется конструкция?

Тот же вопрос, по-моему, и про обычные производные категории можно задавать, но там он лучше исследован.

2. Х.К. спрашивал на моем докладе в Билефельде 28 августа: можно ли восстановить схему по точной категории контрагерентных копучков на ней? Как по абелевой категории квазикогерентных пучков (по крайней мере, нетерову, что ли) схему можно восстановить.

Вот еще кто меня прочитал -- http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021869312003808

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/402065.html

- Мне нужны большие кардиналы!
- Какие тебе нужны большие кардиналы?
- Я не знаю, какие большие кардиналы. Мне нужен принцип Вопенки.
- В чем состоит принцип Вопенки и как он связан с большими кардиналами?
- Я не знаю, в чем состоит принцип Вопенки. Говорят, бывают какие-то кардиналы Вопенки, но я не знаю, о чем здесь идет речь. Для меня принцип Вопенки -- это то, в предположении чего, как утверждают авторы, выполняется теорема 2.4 из этой работы Розицкого с соавторами -- http://arxiv.org/abs/1106.2218v3
- Xотя бы по модулю принципа Вопенки, что утверждает эта теорема?
- Я не знаю, что утверждает эта теорема даже по модулю принципа Вопенки. Там какие-то локально представимые категории, про которые я разве что слышал звон.
- Тогда откуда ты знаешь, что она тебе нужна?
- Потому что у меня есть некое общее представление, интуитивное, что условия этой теоремы выполняются в определенном классе случаев, и интересующий меня конкретный пример ничем не хуже любого другого из этого класса.
- Может быть, в конкретном примере можно обойтись без использования принципа Вопенки?
- Все может быть, но кому адресован вопрос? "Конкретный пример" -- это сильно сказано; на самом деле, речь идет о категории DG-комодулей над произвольной DG-коалгеброй (над полем). Грубо говоря, я -- примерно единственный человек, который что-нибудь понимает про этот конкретный пример, и я даже не знаю, что такое локально представимая категория.
- Так ты собираешься теперь в это вникать?
- Когда-нибудь -- может быть, но не сейчас. I have bigger fish to fry at this moment. Но я мечтал увидеть такую теорему (хоть по модулю принципа Вопенки, хоть как) с весны 2009 года.
- А что она тебе дает вообще (предположим пусть даже, что она применима)?
- Что производная категория DG-комодулей над DG-коалгеброй C над полем k порождается одним объектом -- самой DG-коалгеброй C как комодулем над собой -- как триангулированная категория с бесконечными произведениями. И, даже лучше сказать, как полная подкатегория копроизводной категории DG-комодулей.
- А зачем тебе это нужно?
- Низачем. Просто красивый результат, проясняющий. Особенно в сравнении с другой теоремой, что производная категория DG-контрамодулей над C порождается DG-контрамодулем Hom_k(C,k) как триангулированная категория с бесконечными прямыми суммами. И, даже лучше, как полная подкатегория контрапроизводной категории DG-контрамодулей.
При этом копроизводная категория DG-комодулей эквивалентна контрапроизводной категории DG-контрамодулей, и DG-комодулю С соответствует при этой эквивалентности DG-контрамодуль Hom_k(C,k).
- И что?
- Ну, как бы есть одна копроизводная = контрапроизводная категория, со всех точек зрения хорошая. И в ней фиксированный объект. Если натянуть на этот объект триангулированную подкатегорию, замкнутую относительно бесконечных прямых сумм, получится производная категория контрамодулей, если замкнутую относительно бесконечных произведений -- комодулей.
- А... Ну ладно. А эту вторую теорему ты умеешь доказывать?
- Нет. Я просто нашел в некой статье другого автора (Х.К.) некое тоже общекатегорное, в теоретико-множественном русле утверждение, из которого она легко выводится. Примерно в ту же цену, на мой поверхностный взгляд, что и это новое, только без использования принципа Вопенки.
- Понятно. А при чем тут ты?
- А я доказал, что копроизводная категория (C)DG-комодулей эквивалентна контрапроизводной категории (C)DG-контрамодулей.
- А... Ну хорошо.

P.S. А читать про принцип Вопенки и как им пользоваться (говорит Х.К.) нужно книгу Адамека и Розицкого. Locally presentable and accessible categories -- видимо, эту.