posic | Entries tagged with math12

В статье https://arxiv.org/abs/1710.10476 обнаружилась ошибка. Говорят, новый препринт https://arxiv.org/abs/2007.02255 ее исправляет.

Препринт arXiv:1807.12345. Раздел "1. Предварительные сведения", подраздел 1.10.

"Замечание 1.15. В статье И.И. Иванова [Ив08], в третьем абзаце на седьмой странице, можно видеть утверждение <...>. Это утверждение неверно. Контрпример можно найти в книге П.П. Петрова [Пе96], теорема 54.32.10 на странице 765."

так это что я когда-нибудь выучу, что такое "избыточный подмодуль", superfluous submodule. До такой степени, что буду отвечать на соответствующие вопросы на MathOverflow. Однако же, пожалуйста -- https://mathoverflow.net/questions/363665/example-of-a-projective-module-with-non-superfluous-radical (Не говоря о том, что у меня теперь есть ряд препринтов на эту тему, но это ладно...)

https://mathoverflow.net/questions/331487/derived-nakayama-for-complete-modules

Hа самом деле, они относятся, скорее, к последним московским годам, 2013-14. Собственно, тут дело такое.

Основной вопрос современности -- это, как мне вспоминается из школы, вопрос о власти. В какой-то работе Ленина, в изложении школьного урока истории, было так написано.

Когда на повестку дня встает основной вопрос современности, содержательные задачи отходят на задний план. Альтернативные издержки, это называется. Издержки борьбы за власть, борьбы за лидерство, за животное доминирование.

Вот сейчас уже, мне кажется, мои усилия принесли некоторые плоды в том плане, что основной вопрос современности в моей жизни так остро не стоит. Но годы прошли. Более того, мне совершенно не очевидно, что кто-либо извлек какие-либо уроки.

Возвращение к мечтам 2013-15 годов подразумевало бы, начиная с какого-то момента, сотрудничество с математиками за пределами круга европейских алгебраистов, с которыми я сейчас взаимодействую. Можно ли наладить такое сотрудничество, найти взаимно-приемлемую платформу для него -- совершенно неочевидно. От разных факторов может зависеть.

***

Конечно, мои научные интересы вырастают из научных интересов гельфандовско-манинской московской школы. Геометрической теории представлений, алгебраической геометрии и арифметики. При этом, в отличие от многих других математиков, я следовал в жизни своей тяге к прекрасному в математике, а не стремлению вписаться в сообщество.

Эстетически, меня притягивает пограничное пространство между алгеброй и алгебраической геометрией/арифметикой. Никакого сообщества, области коллективной деятельности в этом месте нет (потому-то оно, возможно, меня и притягивает). Кажется, что в идеале я занимался бы приложениями современной гомологической алгебры к геометрии и арифметике.

Основать такое сообщество, развить такую коллективную деятельность -- мне вряд ли удастся. То есть, по нынешним временам, непохоже. С другой стороны, просто в качестве пражско-падуйского алгебраиста, в отрыве от своих алгеброгеометрических/арифметических корней, я постепенно теряю то, что называется по английски momentum. Вот, что меня угнетает.

Собственно, это -- главная творческая проблема эмигранта, да. Я с юных лет это понимал и говорил об этом. При этом ведь и в Москве я жил в этом смысле во внутренней эмиграции в последние годы, с декабря 2011 примерно. Что ж, может быть эта проблема не имеет решения.

Пять лет назад, в июне 2015 года, я был безработным учеником ульпана в Хайфе. Мне предстояло получать первый в моей жизни временный вид на жительство в Чехии, чтобы приехать осенью на четыре месяца визитором в Брно и Прагу.

У меня было 15-16 рецензированных публикаций и три математических мечты. О полубесконечной алгебраической геометрии, полубесконечной дерамовской алгебраической геометрии, и DG-контрамодулях над комплексом де Рама-Витта.

Сегодня я научный сотрудник Института математики Чешской академии наук в Праге. Мне предстоит продлевать мой временный вид на жительство в Чехии, истекающий в конце лета. Моя позиция в Институте математики истекает одновременно с этим и тоже требует продления по итогам эвальюации, состоявшейся, говорят, вчера (об итогах меня еще не известили). Но вероятность неприятных сюрпризов на этой почве кажется небольшой.

У меня 37-38 рецензированных публикаций, но мечты 2015 года выглядят задвинутыми в дальний ящик. Бог весть, хватит ли у меня сил к ним вернуться, когда-если я разгребу бэклог более ближних планов.

А все почему, откуда взялось-то? Потому, что алгебра с двумя дополнительными подалгебрами, как в треугольном разложении, столь любимом специалистами по геометрической теории представлений -- задевает мое эстетическое чувство алгебраиста.

Слишком много данных. Слишком богатая структура. Зачем две дополнительные подалгебры? Две дополнительные подалгебры -- это редкий, специальный случай. Две дополнительные подалгебры не могут быть нужны. Одна из двух подалгебр лишняя. Фундаментальная алгебраическая конструкция не может зависеть от ажно целой пары дополнительных подалгебр. Обойдемся одной подалгеброй.

Вот на этой почве все и выросло. Ну, не все -- многое. Обнаружилось, что единственная оставшаяся подалгебра -- на самом деле вообще не алгебра, а коалгебра, и т.д.

На этой почве и конструкции резольвент пришлось придумывать. Оказалось -- получается полная пара кокручения. Так я, в сущности, переоткрыл это понятие из современной гомологической теории колец и модулей. С которой был об те времена совершенно незнаком.

Всякий модуль M над нетеровым кольцом R (скажем, левый модуль над нетеровым слева кольцом) является прямым слагаемым модуля N следующего вида. Модуль N имеет возрастающую фильтрацию F, занумерованную натуральными числами i, такую что присоединенные факторы F_i+1N/F_iN являются прямыми суммами циклических модулей.

Доказательство использует рассуждение о малом объекте (что ж еще?) для пары кокручения (все модули, инъективные модули), порожденной множеством всех циклических модулей. Пойнт в том, что конечно-порожденные (в частности, циклические) модули над нетеровым кольцом настолько малы, что достаточно проитерировать по ординалу натуральных чисел.

когда, поговорив с людьми, вдруг осознаешь, что техническую гипотезу, на доказательство которой ушло четыре года (2002-06), вовсе не обязательно было доказывать. Трудное, как казалось мне, место, для преодоления которого была привлечена эта техническая лемма-гипотеза, проходится по прямой в две строчки.

Зато сколько всего выросло у меня из этой технической гипотезы, когда я все-таки доказал ее! Почитай, вся современная теория контрамодулей в той или иной мере из нее выросла.

И тогда встает в полный рост вопрос о плоской теории кокручения в категории контрамодулей. Вернее сказать, о распространении на нее результатов статьи, процитированной в предыдущем постинге.

Пусть R -- коммутативное кольцо и I -- слабо прорегулярный конечно-порожденный идеал в R. Тогда есть только одна абелева категория I-контрамодульных R-модулей (совпадающая с категорией контрамодулей над топологическим кольцом -- I-адическим пополнением кольца R), так что применимы результаты моей работы с Й.Р. и мы получаем полную, наследственную плоскую теорию кокручения в категории I-контрамодульных R-модулей. Вопросы:

1. Верно ли, что I-контрамодульный R-модуль является I-контрамодульным R-модулем кокручения тогда и только тогда, когда он является R-модулем кокручения?

2. Если нет, то можно ли доказать, что у всякого точного комплекса I-контрамодульных R-модулей кокручения модули коциклов являются I-контрамодульными R-модулями кокручения?

Вернулся на минутку к размышлениям о контрагерентных копучках и внезапно осознал следующее. На всякой квазикомпактной полуотделимой схеме имеется достаточно много локально инъективных контрагерентных копучков -- всякий контрагерентный копучок можно вложить в локально инъективный. В частности, всякий (локально контраприпособленный) контрагерентный копучок можно вложить в контрагерентный копучок локально кокручения.

Далее, в категории контрагерентных копучков функторы бесконечного произведения точны. При этом классы локально инъективных контрагерентных копучков и контрагерентных копучков локально кокручения замкнуты относительно бесконечных произведений. Отсюда следует, с помощью стандартного аргумента, что из всякого комплекса контрагерентных копучков бьет квазиизоморфизм в комплекс локально инъективных контрагерентных копучков. С помощью другого стандартного аргумента отсюда следует, что (обычная) производная категория контрагерентных копучков эквивалентна факторкатегории комплексов локально инъективных контрагерентных копучков по ацикличным (в категории всех, т.е., локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплексам, а также факторкатегории комплексов контрагерентных копучков локально кокручения по ацикличным (в категории локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплексам.

Все вышесказанное более-менее всегда было понятно. Фокус в том, что всякий ацикличный комплекс модулей кокручения (над любым кольцом) ацикличен в точной категории модулей кокручения. То есть, его модули коциклов являются модулями кокручения. Это один из основных результатов работы https://arxiv.org/abs/1704.06672 (восходящий к одному из результатов работы https://arxiv.org/abs/1412.1615 ). Из него следует, что всякий ацикличный (в категории локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплекс контрагерентных копучков локально кокручения ацикличен уже в категории контрагерентных копучков локально кокручения.

Поэтому (обыкновенная неограниченная) производная категория локально контраприспособленных контрагерентных копучков эквивалентна производной категории контрагерентных копучков локально кокручения, на любой квазикомпактной полуотделимой схеме. Это говорит о том, что, в принципе, может быть, можно не пользоваться вообще локально контраприспособленными контрагерентными копучками, а ограничиться контрагерентными копучками локально кокручения, во всей теории.

И тогда, если это действительно работает, то очень плоская гипотеза оказывается не так уж и нужна...

Мой интерес к заданию алгебраических структур образующими и соотношениями восходит к школьным годам, 1986-87, наверно. Где-то в начале 1990 года, насколько помнится, я начал размышлять про неоднородные квадратичные соотношения. К лету 1990, кажется, я уже значительно продвинулся и понимал разные вещи. Было мне тогда 17 лет.

На дворе поздняя весна 2020. Тридцать лет прошло; я опять пишу про неоднородную кошулеву двойственность. Вполне вероятно, что этот текст, отражающий накопленный за десятилетия опыт, будет последней моей работой на эту тему. По крайней мере, на ближайшие годы у меня в планах стоят другие вещи.

Хотя можно было бы еще написать про что-то вроде D-Omega двойственности в смеси с ко-контра соответствием над неаффинным многообразием, с квазикогерентными D-модулями "на комодульной стороне" и контрагерентными копучками D-модулей "на контрамодульной". Скажем, в виде приложения к книжке про контрагерентные копучки, когда-если она будет написана, или типа того.

Кажущийся почему-то релевантным автобиографический постинг почти двухмесячной давности -- https://posic.livejournal.com/2101162.html

Вообще, для определения кошулевости и доказательства основных фактов про нее никакие комплексы Кошуля не нужны. Бар-конструкция, дистрибутивные решетки, вот это вот все. Но точность комплекса Кошуля используется в доказательстве производной кошулевой двойственности. Поэтому приходится возиться.

Точность обоих-двух комплексов Кошуля, вернее, сказать, используется.

Значит, два комплекса Кошуля нормальных (точных для любой кошулевой алгебры) и один двойственный (вовсе не точный). Это понятно. Но вот в чем хитрость: мы привыкли, что комплекс Кошуля для пары (скажем, квадратично двойственных) алгебр A и B имеет структуру A-B-бимодуля. Или B-A-бимодуля, если с другой стороны смотреть.

А тут так: первый комплекс Кошуля является, действительно, A-B-бимодулем с A-B-линейным дифференциалом. А второй -- B^#-A-бимодулем с B^#-A-линейным дифференциалом. Где обозначение "B с решеткой" восходит к работам Сережи А. по полубесконечным когомологиям ассоциативных алгебр.

В общем, нелегкая это работа. Прочтет ли кто?

Похоже, что в относительной ситуации над базовым кольцом есть две конструкции комплекса Кошуля -- hom-конструкция и тензор-конструкция. Переход с левой стороны на правую меняет их местами, но для этого нужны дополнительные предположения (что градуированное кольцо локально конечно-порожденное и проективное не только слева, но и справа).

В общем, теперь придется с этим распутываться.

То ли дело, когда коалгебры! Что C \otimes A, что A \otimes C -- какая разница? Но над базовым кольцом с квазидифференциальными кокольцами тяжело работать.

It all depends on what you expect of it. If you want to have a full version of "Two kinds of derived categories..." over a ring, with Quillen equivalences of algebra/coalgebra and module/comodule model categories, then it will require a lot of extra care. In particular, you would certainly have to replace an algebra or coalgebra with a weakly equivalent one before applying the bar/cobar construction (as the tensor products over a ring are not exact).

Nonflat coalgebras may be particularly problematic, or even outright impossible. I would resign from the outset to the compromise of considering suitably flat coalgebras only (which means that, in the contemporary terminology, you may have a model structure, but not a model category, since limits and colimits will not exist; not even finite limits and colimits).

On the other hand, if you have a fixed Koszul dual algebra-coalgebra pair, which are suitably flat over the base ring, and you want to construct a Quillen equivalence of module/comodule categories -- it should be much easier (because all the tensor products involved are exact). This is the setting of my Appendix B (which is also a special case in many other ways, so some care is needed when generalizing it).

***

Concerning Koszul duality on schemes, this is generally pretty straightforward and unproblematic. Ivan Mirkovic with Simon Riche and maybe other collaborators may have written several papers on a particular version of it under the banner of "linear Koszul duality". I myself wrote about it, in a special (but rather advanced) particular case of D-Omega duality, in Appendix B to the "Two kinds of derived categories..." memoir.

The difference between base ring and base scheme is not that large. One thing which exists over a base ring, but is lacking over a base scheme, is projective modules. Over a scheme, you may have to use flat sheaves as a replacement. There are enough flat sheaves over any quasi-compact semi-separated scheme (but not over quasi-separated Noetherian schemes!) At worst, when working with coderived categories, my "very flat sheaves" may be needed. After the very flat conjecture has been proved, they should be reasonably convenient to use. Once again, there are enough very flat quasi-coherent sheaves over any quasi-compact semi-separated scheme.

The only caveat is that nonhomogeneous Koszul duality, as developed in my memoir, happens on the coderived and the contraderived sides. Now if you want to do it with quasi-coherent sheaves, then on the coderived side it is fine. But on the contraderived side, the definition of the contraderived category involves infinite products. And infinite products of quasi-coherent sheaves are not well-behaved. That is where contraherent cosheaves enter the picture. Infinite products of contraherent cosheaves behave well (they are local in the scheme and exact w.r.t. the Quillen exact structure).

You are supposed to use quasi-coherent sheaves on the coderived/comodule side and contraherent cosheaves on the contraderived/contramodule side. Then you will have "Koszul triality"-type results and other mixtures of Koszul duality with co-contra correspondence over schemes. This was in fact my main motivation for developing the theory of contraherent cosheaves. There is a discussion of it in the introduction to my preprint about them.

У каждого математического понятия есть ядро и периферия. Это можно объяснить на примерах.

Скажем, когда вы говорите, что "функция называется гладкой, если она бесконечное число раз непрерывно дифференцируема; здесь и ниже все функции предполагаются гладкими" -- это один стиль мышления. Это, собственно, то, к чему я привык с детства.

Когда вы говорите, что "функция называется гладкой, если она один раз непрерывно дифференцируема" (так, кажется, считает моя мама) -- это другой стиль.

Переходя к гладким многообразиям, разница становится предельно наглядной. Что такое многообразие с функциями переклейки, принадлежащими классу C^1 или C^2? Что можно и что нельзя делать с таким многообразием? Кто когда-нибудь задавался подобными вопросами, поднимите руки, как говорится. Я -- никогда. Для меня все вещественные многообразия гладки в том смысле, что бесконечно-гладки.

В случае с вещественными многообразиями разница между разными классами гладкости, возможно, невелика (это то, что я смутно запомнил с каких-то студенческих лет). Хотя разница между гладкими и топологическими многообразиями -- очень большая.

Другой пример -- алгебраические многообразия. Что такое алгебраическое многообразие? Есть мнение, что это квазипроективное многообразие над алгебраически замкнутым полем, приведенное и неприводимое. А то, так и над полем комплексных чисел. Есть другое мнение, что это схема конечного типа над полем. А то, так и над каким-нибудь достаточно хорошим нетеровым кольцом.

***

И.М. Гельфанд на своем семинаре говорил, что в математике каждые десять лет полностью меняется язык, хотя объекты изучения остаются неизменными. Это значит, что у вас есть некое явление природы (в математическом смысле этого слова). Вы пытаетесь рассмотреть его под лупой подобранных для этой цели понятий, сфокусировав эти понятия так, чтобы изучаемое явление оказалось в их центре. Это гельфандовский стиль, опирающийся на примеры.

Другой стиль работы требует поиска максимальной естественной общности. Определения должны быть подобраны таким образом, чтобы с точки зрения изучаемой задачи рассматриваемый класс объектов был равномерно хорош от центра до периферии. Если нажать еще сильнее, можно стремиться к просто максимальной общности, не обязательно даже очень естественной.

Прошедший по этому пути достаточно далеко разглядывает уже не неизменные и почти вечные объекты изучения в математике -- ее ядро -- а периферию своих сегодняшних концепций, которые он находит достаточно важными, чтобы интересоваться их периферией. Это такая вспомогательная деятельность, подразумевающая, что прежде, чем лезть в ядро предмета, неплохо бы подготовить аналитический инструментарий. Другими словами это называется -- разработка оснований.

***

У понятия модуля над кольцом тоже есть ядро и периферия. Скажем, если модуль не имеет счетного множества образующих -- это уже явная периферия. Вряд ли, скажем, в алгебраической геометрии или в теории чисел могут быть очень важны несчетно порожденные модули. Понятие модуля известно уже сто лет, ядро его в целом давно и хорошо изучено, а современные специалисты по кольцам и модулям изучают периферию.

У понятия контрамодуля над топологическим кольцом тоже есть ядро и периферия. Скажем, если кольцо не имеет счетной базы окрестностей нуля -- это уже явная периферия.

Мне кажется, что примерно до конца 2017 или до середины 2018 года я изучал ядро теории контрамодулей, а в последние полтора-два года занимаюсь периферией. Это тоже может быть важно, и там есть фундаментальная проблема, в этих основаниях оснований, в которой хотелось бы достичь понимания. Но все же...

***

В общем, вышеизложенное -- один из способов объяснить мое нынешнее беспокойное настроение.

На вид даже не задача, а скорее упражнение. Но трудное: мне решить не удается. Может быть, оно даже и неверно почему-то, не знаю.

Пусть R -- ассоциативное кольцо, F -- топология правых идеалов в R, имеющая счетную базу, и пусть R^ -- пополнение R относительно F (рассматриваемое, как обычно, в топологии проективного предела). Можно навешивать дополнительные условия по вкусу -- что F топология Габриэля, например, с базой из конечно-порожденных правых идеалов, совершенная (т.е., соответствующая плоскому слева эпиморфизму колец) и т.д. Не знаю, что из этого может быть релевантно.

Левый R-модуль D называется F-делимым, если R/I ⊗_R D = 0 для всех I ∈ F. Пусть D -- F-делимый левый R-модуль, и пусть C -- левый R^-контрамодуль. Требуется доказать, что Hom_R(D,C) = 0.

Если бы можно было доказать это для правой топологии Габриэля, соответствующей плоскому слева эпиморфизму колец счетного типа u: R → U, то из этого следовало бы, что всякий F-делимый левый R-модуль u-h-делим (т.е., является фактормодулем левого U-модуля). Обратная импликация очевидна и не требует условия счетности.

По существу же, мои публикации и препринты последних лет классифицируются приблизительно следующим образом:

- три работы предшествующего периода (препринты 2010-11 годов) вышли из печати в 2014-15 годах; еще две работы предшествующего периода (препринты 2012 и 2014 годов) вышли из печати датированными 2018 годом;

- две работы, препринты 2015 (вышел из печати в 2017) и 2016 года (публикация ожидается в 2020), посвящены подробному изложению, развитию и популяризации некоторых результатов из работ 2010-11 годов;

- две работы по теории категорий, которые в общем контексте моей деятельности можно признать спорадическими, обнародовались как препринты в 2017-18 годах и вышли из печати в 2018-19; третья, препринт 2020 года, подана в печать в январе 2020;

- есть серия препринтов 2015-19 годов (выходивших из печати начиная с 2016 года) про контрамодули в коммутативной алгебре и их приложения, начинающаяся с MGM-двойственности и перемещающаяся к доказательству очень плоской гипотезы и подобных ей результатов об описании некоторых классов плоских модулей над некоторыми классами коммутативных колец; плюс некоммутативные обобщения этих результатов (препринты 2018-19 годов);

- есть серия препринтов 2015-19 годов (выходивших из печати начиная с 2017 года), размещающих категории контрамодулей в общем контексте теории категорий, и далее теории представлений и общей теории колец, -- включая локально представимые абелевы категории с проективной образующей, наклонно-конаклонное соответствие, результаты о существовании и несуществований покрытий и оболочек, и вплоть до топологически совершенных топологических колец;

- есть серия препринтов 2015-19 годов (выходивших из печати начиная с 2017 года) по экзотическим производным категориям, выводящая к понятиям псевдокопроизводных и псевдоконтрапроизводных категорий;

- и несколько особняком стоит препринт ноября 2019 года про относительную неоднородную квадратичную двойственность, который в каком-то смысле мог бы быть написан еще в 2009-12 годах, при этом значительная часть материала восходит прямо к 1992 году (т.е., эта работа заполняет некоторый пробел в корпусе моих более ранних текстов).

Оставляя в стороне первые три (спорадические и относительно старые работы) и последнюю группу (из одного препринта) -- все основные направления моей деятельности 2015-19 годов вырастают из длинного препринта про контрагерентные копучки, писавшегося в последние московские годы, 2012-14. Можно сказать, что "контрагерентные копучки контрамодулей" остаются мегапроектом, в русле которого следует сейчас почти вся моя деятельность.

Как будто план состоял (и сейчас состоит) в том, чтобы сначала написать первый вариант препринта про контрагерентные копучки, чтобы наметить тему; потом эту тему долго разрабатывать в разных текстах покороче, главным образом журнальных статьях; и в итоге подготовить окончательный вариант трактата про контрагерентные копучки, опирающийся на все предшествующее развитие. Вот чем, насколько можно видеть, я в основном сейчас занимаюсь.

I have a grand project. Но я не могу просто объяснить, в чем он состоит.

Конечно, можно сказать, что хотелось бы иметь абелеву категорию p-адически полных абелевых групп. Но буквально такая категория неабелева, поэтому и т.д. Все это можно объяснить, там будет ряд любопытных деталей, типа факторотделимых (quotseparated) и нефакторотделимых контрамодулей и т.д., но на grand project такое объяснение не тянет.

***

Похоже, что едва ли не единственный возможный подход -- исторический. Все начинается с искривленных DG-колец.

Ну хорошо, это не совсем исторический подход. Совсем исторически надо было бы начинать с алгебр Ли, их обертывающих, квадратичных алгебр, неоднородной квадратичной двойственности, скаляров в соотношениях и тождеств, определяющих CDG-алгебру, как результата дуализации уравнений самосогласованности.

Все это можно немножко спрямить, заменив алгебру геометрией. Связность, кривизна, комплекс де Рама неплоской связности. Вот оно, CDG-кольцо. Скрученных дифференциальных операторов добавить по вкусу.

Дальше исторический подход состоял бы в том, чтобы поставить вопрос восстановления производной категории модулей над алгеброй Ли по стандартному когомологическому комплексу и выписать ответ в виде определений копроизводных и контрапроизводных категорий.

Все это можно снова немножко спрямить, поставив более банальный вопрос о производной категории CDG-модулей. Так или иначе, мы приходим к копроизводным и контрапроизводным категориям.

Следующий шаг состоит в том, чтобы захотеть полубесконечных когомологий, полуассоциативных полуалгебр, осознать важнейшую, фундаментальную роль полупроизводных категорий в полубесконечной гомологической алгебре и прийти к философии, что от модулей надо брать производные категории, а от комодулей копроизводные.

Все это тоже можно немножко упростить -- то есть, не немножко, а даже очень сильно упростить, с потерей большей части впечатления и убедительности -- ограничившись обсуждением алгебр и коалгебр над полями вместе с функторами Tor и Cotor. Что областью определения функтора Tor является производная категория, а функтора Cotor -- копроизводная. К этому еще неплохо бы обсуждение функтора Coext добавить.

То есть, наверно все-таки лучше упрощать не до такой степени. А сформулировать производную неоднородную кошулеву двойственность в форме бар-кобар двойственности, и отметить, что в главном ее варианте берутся производные категории модулей, копроизводные -- комодулей, и контрапроизводные -- контрамодулей.

Следующий шаг состоит в том, чтобы задаться вопросом, у каких еще абелевых категорий можно или нужно рассматривать производные категории, а у каких копроизводные или контрапроизводные.

И только в ответе на этот последний вопрос мы приходим к выводу, что нам нужны контрамодули и контрагерентные копучки. Чтобы было, что подставлять в конструкцию контрапроизводной категории. То есть... просто для полноты картины!

***

Такова природа моего способа заниматься математикой. Все вырастает из стремления додумать до конца, до полной ясности технические детали конструкций и выразить ответ в эстетически привлекательной форме.

Стоит за этим стремлением что-то вроде не вполне осознанной (поначалу) веры в то, что если додумать все до конца, а потом опять и т.д., то, поднявшись на вершину или перевалив через хребет, можно попасть в прекрасный новый, доселе неизведанный мир.

Поскольку же людей, имеющих желание, время-силы и способности, чтобы вникнуть во все эти детали, очень мало -- а людей, разделяющих эту веру, наверное, еще меньше -- то мы имеем Grand Project, содержание и мотивацию которого объяснить практически невозможно почти никому.

Такова жизнь.

- А какая задача интереснее -- про существование плоских покрытий или про несуществование проективных?
- Вообще-то, это как посмотреть. Несуществование проективных покрытий в категориях модулей -- это Басс, 1960 год. Существование плоских покрытий в категориях модулей -- это Эклоф-Трлифай и Бицан-Башир-Енокс, 2001 год. Есть разница.
- Почему же ты занимаешься этим в обратном порядке?
- Потому, что человечество с годами развивается, а я деградирую. (Шутка.)
- А на самом деле?
- На самом деле, small object argument и прочие теоретико-множественные рассуждения в локально представимых категориях по нынешним временам могут быть прозрачнее, чем классическая теория ассоциативных колец. Но дело даже не в этом.
- А в чем?
- Было бы очень круто, если бы мы умели доказывать существование плоских покрытий в категории контрамодулей над произвольным топологическим кольцом (для которого определена категория контрамодулей). Или, скажем, существование 1-строго плоских покрытий. Или покрытий объектами какого-нибудь еще из классов плоских контрамодулей, которые мы тут наопределяли. Но мы не знаем даже, совпадают все эти классы или отличаются один от другого, не говоря уже о.
- А что же написано в работе с Й.Р.?
- Там рассматриваются контрамодули над топологическими кольцами со счетной базой окрестностей нуля. Осенью 2015 года мы показали, что многие естественные определения свойства плоскости контрамодуля эквивалентны для таких топологических колец, и что все контрамодули над такими кольцами имеют плоские покрытия. Но за пределами топологических колец со счетной базой окрестностей нуля мы об этом почти ничего не знаем.
- А что происходит сейчас?
- Контрамодульное обобщение теоремы Басса. Доказательство несуществования проективных покрытий контрамодулей над топологическими кольцами, без всяких предположений счетной базы.
- То есть, за прошедшие годы...
- Да. Пока еще немногие, но некоторые не вполне тривиальные утверждения о контрамодулях над топологическими кольцами мы научились доказывать без предположения счетности базы топологии.