posic | Entries tagged with math

составляют совершенную гремучую смесь. В формуле

(-1)^|c₍₁₎| c₍₁₎a ⊗ c₍₂₎ = (-1)^|c₍₁₎| c₍₁₎ ⊗ ac₍₂₎,

где a -- нечетный оператор, сокращать знаковые множители, абсолютно одинаковые на вид слева и справа, ни в коем случае нельзя. Иначе смысл формулы поменяется на противоположный и вы будете битый час искать ошибку в ваших вычислениях.

Вообще обозначения Свидлера уродливы и дики, и все же они оказываются несопоставимо лучше любых приходящих в голову альтернатив. На изобретение современных обозначений для сложения и умножения ушли века; сколько-то времени понадобится, чтобы придумать хорошие обозначения для коумножения?

Обсуждался ли где-нибудь в литературе вопрос о том, какие стандартные результаты теории колец обобщаются на градуированный случай? Пока что я тут смотрю, и получается, что классическая теория (радикал Джекобсона, артиновы и нетеровы кольца, полупростые кольца) обобщается один в один -- может быть даже, на случай колец, градуированных произвольной некоммутативной группой. Надо просто всюду заменять слово "элемент" на "однородный элемент" или "однородный элемент степени 0" и т.п., по контексту. По существу это не вполне тривиально -- например, есть понятие градуированного поля -- градуированного кольца, у которого все ненулевые однородные элементы обратимы. Кольцо k[x,x^-1] многочленов Лорана от одной переменной, помещенной в ненулевую целую градуировку, является примером градуированного поля.

Попробую, разнообразия ради, написать что-то математическое так, чтобы это было понятно не только мне.

CDG-кольцо -- это градуированное кольцо с нечетным дифференцированием d степени 1 и элементом h степени 2, таким что d²(x) = [h,x] для любого x из кольца и d(h)=0. CDG-модуль над CDG-кольцом -- это градуированный модуль с дифференцированием, согласованным с дифференцированием кольца, таким что d²(x) = hx для любого x из модуля -- это если модуль левый, для правого модуля формула имеет вид d²(x) = -xh. Таким образом, на CDG-кольце нет естественной структуры CDG-модуля над самим собой, но есть естественная структура CDG-бимодуля, в очевидном смысле.

CDG-модули образуют DG-категорию: на морфизмах CDG-модулей, суперкоммутирующих с действием кольца, но не обязательно согласованных с дифференциалами, есть структура комплекса. Если DG-модули представляют собой типичный пример DG-категории, снабженной забывающим функтором в категорию комплексов, то CDG-модули -- типичный пример DG-категории, на которой такой забывающий функтор не задан.

Пусть M -- многообразие (гладкое или аффинное алгебраическое), E -- расслоение на M, и ∇ -- глобальная связность на E. Тогда на алгебре Ω дифференциальных форм на М c коэффициентами в расслоении эндоморфизмов End(E) возникает структура CDG-алгебры: дифференцирование d есть де Рамовский дифференциал, задаваемый связностью на End(E), индуцированной связностью на Е, элемент h -- кривизна связности ∇. CDG-модули над CDG-алгеброй Ω тесно связаны (относительной кошулевой двойственностью) с модулями над кольцом дифференциальных операторов, действующих на сечениях E.

Так все это хорошо, но образующими дифференциальных операторов являются векторные поля, и связь между векторными полями и дифференциальными формами подразумевает дуализацию (переход к двойственному конечно-порожденному проективному модулю) над базовым кольцом сечений расслоения End(E). Опыт работы с кошулевой двойственностью показывает, что перехода к двойственному векторному пространству следует избегать. Технически правильным объектом является CDG-коалгебра, а не CDG-алгебра. Но прямо в лоб дуализировать CDG-алгебру де Рама не получится. Конечно, можно перейти к двойственному модулю над кольцом сечений End(E) и рассмотреть кокольцо поливекторных полей (с коэффициентами в эндоморфизмах) над кольцом эндоморфизмов. Но дерамовский дифференциал нелинеен над функциями, и на поливекторных полях никакого дифференциала нет.

Задача состоит, таким образом, в том, чтобы дерамовский дифференциал линеаризовать -- перейти от CDG-алгебры де Рама к какому-то объекту, полноценно линейному над кольцом функций или эндоморфизмов расслоения. Для этого применяется следующая конструкция, сопоставляющая CDG-кольцу ацикличное DG-кольцо. Ацикличное здесь значит -- совсем ацикличное, с нулевым кольцом когомологий (т.е., где единица равна нулю).

Пусть (B,d,h) -- CDG-кольцо. Представим дифференцирование d в виде коммутатора с новой образующей -- присоединим к B элемент δ с соотношениями [δ,x] = d(x) для x из B и δ² = h. Обозначим полученное кольцо через B^~. На кольце B^~ есть новое нечетное дифференцирование ∂ = ∂/∂δ, определяемое условиями ∂(δ) = 1 и ∂(B) = 0. CDG-кольцо B с точностью до CDG-изоморфизмов (соответствующих заменам связности ∇) восстанавливается по DG-кольцу B^~; в частности, само кольцо B восстанавливается, как ядро=образ ∂. Эта конструкция решает нашу задачу: применив ее к CDG-алгебре Ω, мы получим DG-алгебру Ω^~ с дифференциалом, линейным над кольцом эндоморфизмов; на кокольце над эндоморфизмами, двойственном к Ω^~, будет кодифференцирование, двойственное к ∂. Более того, рассматривая Ω^~ вместо Ω, мы избавляемся от необходимости выбирать связность.

Если пользоваться этой конструкцией, то с CDG-модулями над (B,d,h) надо работать в терминах B^~. В принципе, это вполне возможно: в частности, CDG-модуль над (В,d,h) есть градуированный модуль без дифференциала над B^~ (дифференциальные B^~-модули соответствуют стягиваемым CDG-модулям над (B,d,h)). Комплекс морфизмов между CDG-модулями состоит из отображений, суперкоммутирующих с ядром ∂, содержащимся в B^~, отображения же, суперкоммутирующие со всем B^~, суть замкнутые морфизмы. На практике все это получается сильно контринтуитивно и в конце концов увязает в странных технических трудностях.

Вот новая идея, ради которой написан этот постинг: конструкцию DG-алгебры B^~ можно проитерировать, перейдя к DG-алгебре B^~~. Тогда категория CDG-модулей над B оказывается эквивалентной категории DG-модулей над ацикличной DG-алгеброй B^~~. То есть эта странная конструкция, сопоставляющая CDG-алгебре ацикличную DG-алгебру (казалось бы, представитель гораздо более узкого класса объектов), на уровне DG-категорий (C)DG-модулей ведет себя как инволюция. Эта инволюция переставляет категорию (C)DG-модулей над (C)DG-алгеброй и замкнутых морфизмов и замкнутых морфизмов между ними с категорией градуированных модулей над градуированной алгеброй, подлежащей (C)DG-алгебре.

В общности DG-категорий, эта конструкция выглядит так: DG-категории D сопоставляется DG-категория D^~. Объекты D^~ суть объекты D, снабженные стягивающей гомотопией t, равной нулю в квадрате. Морфизмы между объектами D^~ суть замкнутые морфизмы между объектами D, не обязательно коммутирующие с гомотопиями t; коммутатор с t определяет дифференциал на морфизмах в D^~. Если в DG-категории D есть сдвиги и (конечные) прямые суммы объектов, то в DG-категории D^~ есть не только сдвиги и (конечные) прямые суммы, но и конуса (более того в DG-категории D^~ всегда существуют произвольные скручивания объектов с помощью эндоморфизмов, удовлетворяющих уравнению Маурера-Картана). Если в DG-категории D существуют произвольные скручивания на эндоморфизмы Маурера-Картана, а категория Z⁰D замкнутых морфизмов в D содержит образы идемпотентных эндоморфизмов, то DG-категория D^~~ эквивалентна исходной DG-категории D. Эта почти инволюция на DG-категориях приблизительно переставляет местами категории замкнутых морфизмов и "градуированных объектов без дифференциалов".

На уровне гомотопических категорий эта DG-категорная почти инволюция не действует. Например, DG-категории комплексов векторных пространств она сопоставляет некоторую DG-категорию, в которой все объекты стягиваемы (а той -- обратно DG-категорию векторных пространств, как следует из сказанного выше).

В предыдущих двух постингах на эту тему -- http://posic.livejournal.com/267121.html и http://posic.livejournal.com/266292.html -- обнаружились существенные ошибки; я не буду их удалять или редактировать, но уберу под кат, с нынешним предостережением, что воспринимать их буквально нельзя. Идея там, конечно, правильная, но определение категорий D## и D### неправильное. Дело в том, что если B -- CDG-кольцо и M -- градуированный модуль (без дифференциала) над B, то CDG-модуль над B, свободно порожденный M, рассмотренный как градуированный модуль (без дифференциала) над B, вовсе не является прямой суммой M и сдвига M, как я думал. Там возникает нетривиальное расширение, которое тривиализуется в случае, когда M допускает структуру CDG-модуля над B.

Задача, которую призвано решать определение категории D##, проста: восстановить категорию градуированных модулей над B по категории CDG-модулей над B. Правильное определение вот какое: пусть D -- DG-категория с конусами и сдвигами. Тогда объекты D## суть объекты D, снабженные стягивающей гомотопией, равной нулю в квадрате. Морфизмы в D## суть замкнутые морфизмы в D, коммутирующие с заданными стягивающими гомотопиями. Функтор Z^0D -> D##, определенный правилом X -> cone(id_X)[-1], естественным образом факторизуется через естественный функтор D -> D#; получающийся функтор D# -> D## вполне строгий. Функторы D## -> Z^0D, сопряженные к функтору Z^0D -> D## слева и справа, задаются формулами G^+: (X,t) -> X и G^-: (X,t) -> X[1], соответственно, где t -- наша стягивающая гомотопия. Все функторы выше сохраняют бесконечные прямые суммы и произведения.

( Read more... )

Далее, если в точной категории D## достаточно много инъективных объектов и ее гомологическая размерность (как точной категории) конечна, то (1) полная подкатегория в H^0D, состоящая из D##-инъективных объектов, эквивалентна копроизводной категории D, и (2) толстая подкатегория коацикличных объектов в H^0D совпадает с триангулированной подкатегорией объектов, которые можно получить из сверток Z^0D-точных троек объектов D с помощью конусов (другими словами, последняя замкнута относительно бесконечных прямых сумм).

Можно ли доказать утверждение (2), не пользуясь предположением о существовании инъективных объектов в D##, а только конечностью гомологической размерности последней?

В известном, вполне определенном смысле все коалгебры (над полями) нетеровы (класс инъективных комодулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм). Можно ли сформулировать, в каком смысле все они также артиновы? (Класс проективных контрамодулей замкнут относительно прямых произведений, разумеется, но аналогичное свойство колец еще не влечет артиновости, хотя следует из нее.)

Продолжение этого -- http://posic.livejournal.com/266292.html

( Ошибочный текст )

Есть DG-категории, есть точные категории, а есть еще точные DG-категории. На самом деле, точные DG-категории нужны для того, чтобы сопоставлять им производные категории второго рода, и доказывать обычные свойства этих производных категорий в максимальной общности.

( Ошибочный текст )

~~Will be~~ Has been made publicly accessible after some time ~~passes~~ passed.

Dear Tony and Sasha,

I am writing to you as people who pointed my attention to the question
of the proper definition of curved (weak) A_\infty-algebras and their
(exotic) derived categories. This is to let you know about the recent
developments, which haven't been quite definitely verified yet, but
look correct and potentially relevant.

A short summary: curved A_\infty-coalgebras are better than curved
A_\infty-algebras in a number of respects. (But applicability to
any particular problems outside of the abstract Koszul duality
theory have not been considered, as always.)

( Read more... )

Получается так:
1. Производную категорию CA_∞-алгебры можно определить как ко/контрапроизводную категорию соответствующей косвободной CDG-коалгебры и это будет обобщение понятия производной категории A_∞-алгебры, не имеющее отношения к понятиям ко- и контрапроизводной категории CDG-алгебры.
2. Ко/контрапроизводную категорию CA_∞-коалгебры можно определить как ко/контрапроизводную категорию соответствующей свободной CDG-алгебры и это будет обобщение понятия ко/контрапроизводной категории CDG-коалгебры, не имеющее отношения к понятиям производных категорий A_∞-комодулей и A_∞-контрамодулей над A_∞-коалгеброй.

Ну хорошо, для модулей над кольцом надо рассматривать производную категорию, для комодулей над коалгеброй -- копроизводную. (Единственное важное исключение -- для CDG-модулей над CDG-кольцом, которое как градуированное кольцо имеет конечную гомологическую размерность, например свободно, копроизводная категория имеет известный смысл.)

Это все понятно. Но какие неограниченные/дифференциальные производные категории следует рассматривать для пучков?

Доказательство Спалтенштейна существования "K-инъективных" резольвент для комплексов пучков довольно запутанное; я несколько раз безуспешно пытался в нем разобраться. Может быть, где-то у Неемана все это лучше изложено? Трудность, конечно, в том, что прямое произведение пучков -- не точный функтор; в этом сходство пучков с комодулями. "K-плоские" комплексы пучков построить нетрудно, в то же время.

Размышления на эту тему странны, поскольку нет конкретной задачи; но можно было бы для начала перечитать перечисленных авторов, и особенно вот эту статью Хинича -- http://arxiv.org/abs/math/0310116

P.S. Чему равна гомологическая размерность абелевой категории пучков абелевых групп на топологическом пространстве, кстати?

1. Если в утверждении не рассматриваются производные категории первого рода для алгебры/коалгебры, а только производные категории второго рода, то алгебра/коалгебра должна быть с кривизной.
2. Если в утверждении не используется конильпотентность коалгебры, то не должна использоваться и коаугментация.

Верно ли, что для любой кофибрантной DG-алгебры (неаугментированной, с единицей) производная категория DG-модулей совпадает с копроизводной = контрапроизводной категорией DG-модулей? (Обратное неверно, конечно.)

Update: Доказательство могло бы выглядеть примерно так. Пусть A -- свободная (если забыть дифференциал) DG-алгебра с фильтрацией на пространстве образующих, какую полагается иметь "элементарной" кофибрантной DG-алгебре. Пусть C₊ -- пространство образующих A, тогда на C₊ есть структура слабой A_∞-коалгебры (без единицы), в определенном смысле конильпотентной. Пусть С = k ⊕ C₊ -- соответствующая коаугментированная слабая A_∞-коалгебра. Пусть M -- DG-модуль над A. Тогда нужно показать, что

1. На тензорном произведении A⊗C⊗M есть структура свободного (если забыть дифференциал) DG-модуля над A, причем когда M ацикличен, A⊗C⊗M коацикличен и, следовательно, даже стягиваем. Здесь надо использовать конильпонетность C (т.е., фильтрацию на С = образующих A), профильтровав A⊗C⊗M фильтрацией, индуцированной фильтрацией на С.

2. Для любого DG-модуля M над A имеется естественный морфизм DG-модулей A⊗C⊗M → M с коацикличным конусом. Тут надо использовать разложение в прямую сумму С = k ⊕ C₊, представив явно искомый конус как тотальный DG-модуль точной тройки DG-модулей или что-то близкое к тому.

Особый интерес представляет п.2, который, предположительно, должен допускать обобщение на случай CDG-алгебры A и некоаугментированной CDG-коалгебры (если не слабой A_∞-коалгебры) C. Это был бы ключевой шаг доказательства эквивалентности копроизводных = контрапроизводных категорий, связанных с некоаугментированной CDG-коалгеброй С и ее кобар-конструкцией -- неаугментированной свободной (если забыть дифференциал) CDG-алгеброй A.

Предположительная мораль отсюда -- http://posic.livejournal.com/253271.html -- состоит в том, что если уж возникает необходимость рассматривать слабые A_∞-структуры (в фукаевских делах они возникают, что ли?), то пусть это будут лучше слабые A_∞-коалгебры, чем слабые A_∞-алгебры. Для слабых A_∞-коалгебр хоть и возникает условие сходимости (последовательность высших коумножений на любом элементе должна зануляться начиная с какого-то момента), но зато понятие слабого A_∞-морфизма имеет смысл.

1. Понятие топологического алгеброида Ли над топологической коммутативной алгеброй вроде бы есть, но какие из них должны считаться тейтовскими, неведомо. Да и ассоциативная полубесконечная теория не работает для трехэтажных башен типа "полуалгебра над коалгеброй над топологической алгеброй", которые бы здесь возникали.
2. Понятие тейтовского модуля над обыкновенным кольцом есть, даже и не обязательно нетеровым. (Нельзя ли распространить это дело с про-аффинных схем проконечного типа на инд-про-аффинные схемы инд-про-конечного типа?) Предположительно, можно было бы определить и тейтовские алгеброиды Ли. Но ассоциативная полубесконечная теория все равно работает только для базовых колец конечной гомологической размерности. Единственные примеры последних, которые приходят в голову, соответствуют гладким конечномерным нетеровым аффинным схемам. Но для таких векторные поля являются конечно-порожденным модулем над кольцом функций, так что, с точностью до конечно-порожденного модуля, такой тейтовский алгеброид Ли сводился бы к тейтовской алгебре Ли над кольцом.
3. На тейтовские алгебры Ли над коммутативными нетеровыми кольцами конечной гомологической размерности теорию, может быть, и можно обобщить, хотя не факт. Только хлопот будет много, а радости -- не так уж.

Здесь и в предыдущем постинге речь идет о двух "неправильных" дифференциальных производных функторах. Правильные функторы суть Tor^I и Cotor^II, определение которых не представляет никакой трудности, а хорошие свойства очевидны.

Более того, понятно, что при необходимости иметь дело с функтором Cotor первого рода или функтором Tor второго рода лучше всего просто перейти к провекторным пространствам или проабелевым группам, после чего роли алгебр и коалгебр меняются местами. Для того, чтобы это работало, может быть нужно наложить условия на градуировки (не всякая градуированная алгебра является градуированной алгеброй в категории провекторных пространств -- градуировка должна быть ограничена сверху или снизу), но эти условия как раз выполнены в классических примерах (спектральная последовательность Эйленберга-Мура) и упоминаются в классических работах.

Тем не менее, для полноты картины можно рассмотреть и "неправильные" Tor^II и Cotor^I; первый определен по ссылке выше, а определение второго следует ниже. Заодно обсуждается понятие A_∞-коалгебры. ( Read more... )

Пусть B=(B,d,h) -- CDG-кольцо, N и M -- правый и левый CDG-модули над B. Тогда группы Tor^II,B_n(N,M) определяются следующим образом. Выбирается резольвента N <- F_0 <- F_1 <- ... CDG-модуля N, состоящая из CDG-модулей F_i, являющихся плоскими градуированными модулями над градуированной алгеброй B (если забыть дифференциалы). Резольвента должна быть точной как комплекс CDG-модулей (или, что все равно, как комплекс градуированных модулей). После этого строится бикомплекс F_i⊗_BM и рассматривается его тотальный комплекс, образованный с помощью взятия прямых произведений вдоль диагоналей (в то время как тензорное произведение CDG-модулей, понятно, подразумевает взятие прямых сумм вдоль диагоналей). Гомологии этого комплекса и есть искомые группы Tor^II. Они не зависят от выбора резольвенты F; кроме того, если разрешать CDG-модуль M вместо N, или сразу оба CDG-модуля, получаются такие же гомологии.

Смысл этой конструкции в общем случае вполне загадочен. Разумеется, Tor^II аннулирует CDG-модули, получающиеся как тотальные CDG-модули точных троек CDG-модулей, но большего вроде бы не скажешь. Ни с прямыми суммами, ни с прямыми произведениями CDG-модулей функтор Tor^II, похоже, не согласован. В случае, когда кольцо B имеет конечную слабую гомологическую размерность, можно ограничиться конечными резольвентами F и обойтись без бесконечных произведений. В этом случае, Tor^II,B сохраняет бесконечные прямые суммы и совпадает с естественным образом определенным производным функтором тензорного произведения на декартовом произведении копроизводных=контрапроизводных категорий левых и правых CDG-модулей над B. В случае, когда кольцо B и модули N, M одновременно ограничены сверху или снизу по гомологическим градуировкам, тензорное произведение уже не подразумевает взятия бесконечных прямых сумм и Tor^II сохраняет бесконечные произведения. Видимо, в этом случае его можно естественно интерпретировать как некий производный функтор для CDG-модулей над CDG-алгеброй в категории про-абелевых групп.

На производной категории DG-модулей над произвольным DG-кольцом A есть совершенно каноническая t-структура. Подкатегория D^{<=0} есть минимальная подкатегория D, содержащая DG-модули A[i] для i>=0 и замкнутая относительно расширений и бесконечных прямых сумм. А подкатегория D^{>=0} состоит из всех DG-модулей, не имеющих когомологий в отрицательных степенях. Это можно было бы назвать "проективной t-структурой".

Это понятно, но я тут было решил, что у этой t-структуры есть двойственный вариант, "инъективная t-структура". Хотелось бы определить D^{<=0} как подкатегорию всех DG-модулей, не имеющих когомологий в положительных степенях, а D^{>=0} как минимальную подкатегорию D, содержащую DG-модули Hom_Z(A,Q/Z)[i] для i<=0 и замкнутую относительно расширений и бесконечных произведений. Увы, доказать что эти D^{<=0} и D^{>=1} порождают D с помощью расширений, не получается. Мешает неточность функтора счетного проективного предела. Получается только разложить произвольный объект X из D в треугольник с объектами из D^{<=0} и D^{>=0} слева и справа от X, чего, надо полагать, недостаточно. Опять ошибка.

Этот результат -- http://posic.livejournal.com/196141.html -- мне воспроизвести теперь не удалось, как я ни старался. Видать, ошибка вышла.

Вот, зато, другой. (Идея нижеследующего почерпнута у Краузе.) У Неемана где-то должно доказываться, что точный функтор из компактно порожденной триангулированной категории в другую триангулированную категорию имеет правый/левый сопряженный тогда и только тогда, когда он сохраняет бесконечные прямые суммы/произведения. Кроме того, функтор локазации по толстой подкатегории сохраняет прямые суммы/произведения, если эта подкатегория замкнута относительно прямых сумм/произведений, вроде бы есть такой факт. Пусть теперь C -- DG-коалгебра; рассмотрим функтор Hot(C-comod_inj) -> D(C-comod). Он сохраняет прямые суммы, так как Acycl(C-comod) и Hot(C-comod_inj) замкнуты относительно прямых сумм; а категория Ноt(C-comod_inj) = D^co(C-comod) компактно порождена, по крайней мере, если кополупростая часть C живет в градуировке 0 и дифференциал зануляется на ней (рассмотреть каноническую возрастающую фильтрацию на C-комодулях). Так что этот функтор имеет правый сопряженный функтор. Функтор вложения Hot(C-comod_inj) -> Hot(C-comod) сопряжен справа к функтору локализации Hot(C-comod) -> D^co(C-comod), так что композиция D(C-comod) -> Hot(C-comod_inj) -> Hot(C-comod) сопряжена к композиции Hot(C-comod) -> D^co(C-comod) -> D(C-comod). Короче, подкатегория Acycl(C-comod) в Hot(C-comod) имеет правый ортогонал, образующий вместе с ней полуортогональное разложение. Аналогичное утверждение имеет место для DG-контрамодулей, поскольку Hot(C-contra_proj) = Hot(C-comod_inj) тоже компактно порождена.

Никакого явного описания этих дополнительных подкатегорий отсюда не получается, однако. Кроме того, хотелось бы ослабить условие, что кополупростая часть C живет в градуировке 0 и дифференциал зануляется на ней, хотя бы до условия, что дифференциал сохраняет кополупростую часть C.

Update: копроизводная категория CDG-комодулей над любой CDG-коалгеброй компактно порождена; никаких дополнительных условий не нужно. Достаточно посмотреть на категорию CDG-комодулей над C и замкнутых морфизмов между ними как на категорию градуированных комодулей над (квази-дифференциальной) коалгеброй C~; тогда каноническая возрастающая фильтрация на C~-комодулях распиливает произвольный CDG-комодуль на CDG-комодули, являющиеся прямыми суммами конечномерных.

Ср. http://posic.livejournal.com/222799.html

Известный вопрос, как связаны тейтовские когомологии с копроизводными категориями, обсуждается в статье Краузе про "стабильные производные категории" (arxiv:math/0403526), на которую я вышел по наводке Д.О. Разумеется, Краузе не знает никаких копроизводных категорий (написать ему про них, что ли...), а обсуждает просто гомотопическую категорию бесконечных в обе стороны комплексов инъективных объектов. Зато он знает много теорем существования сопряженных функторов в компактно порожденных триангулированных категориях.

Приблизительно известно, что тейтовские когомологии живут на триангулированной категории, измеряющей разницу между ко/контрапроизводной категорией и производной категорией. Чтобы получалась хорошая теория, нужно накладывать дополнительные условия. Обычно требуют, чтобы абелева категория была фробениусова (проективные объекты совпадали с инъективными); Краузе объясняет, приблизительно говоря, что можно вместо этого требовать только горенштейновости (чтобы объекты конечной проективной размерности совпадали с объектами конечной инъективной размерности). С другой стороны, можно было бы заменить абелеву категорию на точную.

Ограниченная производная категория когерентных (локально по многообразию конечно порожденных) D-модулей на гладком аффинном многообразии эквивалентна карубиевому (полуабелевому) замыканию факторкатегории гомотопической категории когерентных DG-модулей над DG-алгеброй де Рама по толстой подкатегории, порожденной тотальными комплексами точных троек DG-модулей. Аналогично для модулей над дифференциальными операторами, действующими в расслоении, и CDG-модулей над CDG-алгеброй де Рама.

Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что факторкатегория гомотопической категории когерентных CDG-модулей над CDG-алгеброй де Рама по тотальным комплексам точных троек вкладывается в копроизводную категорию CDG-модулей. Это следует просто из того, что всякий коацикличный CDG-модуль является объединением CDG-модулей, получающихся конечно-итерированными конусами из тотальных комплексов точных троек. Аналогично, факторкатегория гомотопической категории конечномерных CDG-комодулей над CDG-коалгеброй над полем по тотальным комплексам точных троек конечномерных CDG-комодулей вкладывается в копроизводную категорию произвольных CDG-комодулей.

Можно ли не брать карубиево замыкание? Это вопрос более-менее о том, чему равно K_0 кольца дифференциальных операторов на спектре локального кольца (гладкой точки алгебраического многообразия). Можно ли не предполагать аффинности многообразия? Это вопрос более-менее о том, как устроены локально проективные или локально свободные D-модули.

Update: первоначальную формулировку пришлось уточнить. К сожалению, я ничего не знаю о локально проективных D-модулях.