posic

Ну хорошо, для модулей над кольцом надо рассматривать производную категорию, для комодулей над коалгеброй -- копроизводную. (Единственное важное исключение -- для CDG-модулей над CDG-кольцом, которое как градуированное кольцо имеет конечную гомологическую размерность, например свободно, копроизводная категория имеет известный смысл.)

Это все понятно. Но какие неограниченные/дифференциальные производные категории следует рассматривать для пучков?

Доказательство Спалтенштейна существования "K-инъективных" резольвент для комплексов пучков довольно запутанное; я несколько раз безуспешно пытался в нем разобраться. Может быть, где-то у Неемана все это лучше изложено? Трудность, конечно, в том, что прямое произведение пучков -- не точный функтор; в этом сходство пучков с комодулями. "K-плоские" комплексы пучков построить нетрудно, в то же время.

Размышления на эту тему странны, поскольку нет конкретной задачи; но можно было бы для начала перечитать перечисленных авторов, и особенно вот эту статью Хинича -- http://arxiv.org/abs/math/0310116

P.S. Чему равна гомологическая размерность абелевой категории пучков абелевых групп на топологическом пространстве, кстати?