posic | Entries tagged with math8

Намекают, что, может быть, можно избавиться от предположений о разрешении особенностей в моей статье про артин-тейтовские мотивные пучки, пользуясь новейшими альтерационными технологиями от Габбера, разработанными теперь, как можно надеяться, в необходимых подробностях в диссертации Шейна Келли:

http://mathoverflow.net/questions/50693/stable-motivic-cohomology-with-finite-coefficients/179668
http://arxiv.org/abs/1305.5349
http://arxiv.org/abs/1305.5690

http://arxiv.org/abs/1408.6153

Чтение работ про произведения Масси троек/n-ок элементов первой степени в когомологиях Галуа
http://arxiv.org/abs/1210.4964
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.06.006
http://arxiv.org/abs/1403.4586
в свете моих старинных размышлений http://posic.livejournal.com/118138.html (вряд ли содержавших много существенно новых идей уже по состоянию на 2003 год, а тем более сейчас; но все же) наводит на следующие выводы.

Пусть E -- поле, и G → H → K -- сюръективные гомоморфизмы проконечных групп. Основной задачей некоммутативной теории Куммера является: можно ли для любого поля F, содержащего E, утверждать, что любой непрерывный гомоморфизм из абсолютной группы Галуа G_F в группу K, который можно поднять до гомоморфизма в группу H, можно также поднять до гомоморфизма в группу G (возможно, несовместимым с заданным подъемом в H, но образующим только коммутативную диаграмму гомоморфизмов в группу K, способом)?

Например, обыкновенная (коммутативная) теория Куммера утверждает, что если поле F содержит все l^N-корни из единицы, то всякий гомоморфизм из G_F в циклическую группу вычетов Z/lⁿ можно поднять до гомоморфизма в l-адическую аддитивную группу Z_l. В этом примере группы H и K совпадают, но в связи с вопросом о занулении произведений Масси классов первых когомологий интересны примеры, когда все три группы различны (и являются некоторыми конечными l-группами строго верхнетреугольных матриц над Z/lⁿ).

Будем обсуждать, для простоты, случай, когда группы G, H и K конечны. (Уни)версальным алгебраическим торсором для группы G над полем E называется алгебраический G-торсор (т.е., конечный этальный морфизм Галуа с группой Галуа G) алгебраических многообразий над E, такой что всякий алгебраический G-торсор (т.е., гомоморфизм G_F → G) над полем F, содержащим E, происходит из некоторой F-точки на базовом многообразии нашего конечного этального морфизма. Версальный алгебраический G-торсор над E можно построить, выбрав точное линейное представление G над E, выкинув из пространства представления инвариантный набор гиперплоскостей, содержащий точки с нетривиальным стабилизатором, и профакторизовав по действию группы (доказательство версальности основано на теореме Гильберта 90 для GL; см. по ссылкам выше).

В статьях по ссылкам вопрос о существовании подъемов обсуждается следующим образом. Задавшись фиксированным отображением G_F → K, авторы строят, исходя из версальных торсоров для групп K и G над полем E и соответствующей F-точки на первом из них, G-торсор, F-точки которого задают в точности все гомоморфизмы G_F → G, поднимающие данный гомоморфизм в K. Получается многообразие над F, имеющее F-точку тогда и только тогда, когда задача подъема разрешима (называется splitting variety). Дальше можно доказывать разрешимость некоторых задач подъема для числовых полей, пользуясь локально-глобальными принципами и сведением к локальным полям, или даже, иногда, для произвольных полей, предъявляя искомую точку явными формулами.

Я бы (следуя своим идеям сентября-декабря 2003 года, в ЖЖ по ссылке выше) попробовал подойти проще. Рассмотрим версальный торсор для группы H над полем E, и редуцируем его до K-торсора (профакторизуем тотальное пространство по действию ядра гомоморфизма групп H→K). Если можно предъявить G-торсор над тем же базовым многообразием, редукцией которого является полученный таким образом K-торсор, основная задача некоммутативной теории Куммера для групп G → H → K разрешима над полем E. В построении такого G-торсора, возможно, и заключаются "явные формулы" из последней фразы предыдущего абзаца.

P.S.: см. также предыдущие постинги про операции Масси и проч. (с которых теперь, за прошествием времени, снят замок)
http://posic.livejournal.com/1076714.html
http://posic.livejournal.com/1077017.html
http://posic.livejournal.com/1080700.html
и далее pdf-файл письма по ссылке.

Ответил вчера вечером на два математических письма -- молодым людям из Мексики и Англии. И еще на одно позавчера вечером (из Москвы). Во всех случаях -- речь идет, в сущности, про одну и ту же мою работу (мемуар Two kinds of derived categories...)

Из них, тот парень, который из Москвы, спрашивал ссылок -- и вывод был, что ему самому придется написать нужный ему текст. Который магистрант в Гванахуато -- хотел контрпримеров (и получил их, в какой-то там степени подробности, со ссылкой и проч.)

А который, насколько я мог понять, аспирант в Ланкастере -- очень подчеркнуто вежливо спрашивал, что это за глупость у меня там такая написана (во второй фразе на странице 115 в http://arxiv.org/abs/0905.2621v10 ). И действительно, глупость. Пришлось столь же вежливо благодарить за указание на ошибку, вкупе с объяснением, что там имелось в виду и как это сказать правильно.

К Ханно Беккеру про производные категории второго рода (декабрь 2013, март 2014):
http://positselski.narod.ru/to-hb.pdf
http://positselski.narod.ru/to-hb2.pdf

К Кирстен Уикелгрен, Майклу Хопкинсу и Идо Ефрату про кошулевость, (не)формальность и умножения Масси в когомологиях Галуа (июль 2014):
http://posic.livejournal.com/1076714.html
http://positselski.narod.ru/to-kirsten.pdf

Интересная презентация -- http://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/Univalent_Foundations_files/2014_IAS.pdf

via http://mathoverflow.net/questions/176372/proof-correctness-problem

Нематричные операции Масси и свойства подъема гомоморфизмов абсолютных групп Галуа в верхнетреугольные группы над конечными полями -- http://arxiv.org/abs/1403.4586

Сравнить с "некоммутативной теорией Куммера" -- http://posic.livejournal.com/118138.html

Хорошо бы также проверить связь с гипотезами 1-порожденности/квадратичности/кошулевости аннуляторных идеалов элементов степени 1.

Dear Kirsten,

I am now visiting Ben Gurion University of the Negev in Be'er Sheva,
and Ido Efrat here kindly told me about your paper with
Michael Hopkins about splitting varieties for triple Massey products
http://www.math.harvard.edu/~kwickelg/papers/MPSV.pdf
I didn't yet have the time to read it properly, but there is one question
asked there which I think I know the answer to.

You are asking whether the cochain DG-algebra of an absolute Galois
group of a field F with the coefficients Z/2 is formal. The answer is,
I believe, "not in general", for the following reason.

( Read more... )

( Технич. сохр. )

From: Alexander Efimov
To: Leonid Positselski
Date: June 10, 2014
Subj: Locally free matrix factorizations

Привет!

Я обнаружил, что наши предположения про локально свободные факторизации оказались не верны. Точнее, не верна теорема о локализации.

А именно, возьмем квадратичный конус X={xy=zw}\subset \C^4, в качестве потенциала на X возьмем w, и открытое подмножество U\subset X, являющееся дополнением к дивизору D={z=0}\subset X. Тогда ясно, что MF_{l.f.}(U,w)=MF_{coh}(U,W)=D^b_{\Z/2}(\C-{0}), где MF_{l.f.} --- лок. своб. матричные факторизации, MF_{coh} --- когерентные м.ф., и D^b_{\Z/2} --- 2-периодическая производная категория когерентных пучков. В то же время можно проверить, что MF_{l.f.}(X,w)=D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C), т.е. подкатегория D^b_{\Z/2}(\C), состоящая из комплексов, у которых носитель когомологий содержится в \C-{0} (т.е. носитель --- конечное множество, не содержащее 0). Функтор ограничения MF_{l.f.}(X,w)\to MF_{l.f.}(U,w) --- это просто вложение D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C)\to D^b_{\Z/2}(\C-{0}). В частности , этот функтор никоим образом не является локализацией (наоборот, он вполне строгий), а его ядро равно 0.

Кроме того, категория MF_{l.f.}(X,w)=D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C) не порождена одним объектов (минимальное порождающее множество объектов континуально).Возможно, есть другая версия определения локально свободных матричных факторизаций, для которой локализация верна.

Саша

***

Ср. с параграфом 3.1 препринта http://arxiv.org/abs/1102.0261 (включая предложение, сформулированное в начале, и замечание в конце параграфа), написанным в ответ на Сашины вопросы и идеи на эту тему. Вот годичной давности постинг, упоминающий об этом -- http://posic.livejournal.com/974440.html

Если Саша посчитал свой пример правильно, то, помимо прочего, мы, наконец, получаем также контрпример многообразия с не делящим ноль потенциалом, для которого абсолютная производная категория когерентных матричных факторизаций отличается от своей полной подкатегории, состоящей из локально свободных матричных факторизаций конечного ранга (и от ее толстого замыкания). Ср. с двумя абзацами между формулировкой и доказательством следствия в параграфе 2.5 того же препринта, а также с почти трехлетней давности постингами http://posic.livejournal.com/661487.html , http://posic.livejournal.com/661680.html и http://posic.livejournal.com/662001.html , написанными под впечатлением от моих собственных попыток такой контрпример построить.

http://arxiv.org/abs/1312.2714
http://arxiv.org/abs/1010.4386
http://arxiv.org/abs/0902.4378

http://arxiv.org/abs/1404.6333

http://arxiv.org/abs/1404.5011

Это называется:

а) как я провел свои пражские каникулы;

б) мой двенадцатый архивный препринт с 2007 года (он же двенадцатый с 2003 года) -- и первый новый препринт с октября 2012 года;

в) принцип 80/20 (или, может быть, в данном случае 95/5, или еще какая такая пропорция): чтобы на небольшую дельту усилить результаты предыдущей работы (http://arxiv.org/abs/1012.3735 ) -- придать им определенную там завершенность и т.п. -- надо написать тексту в несколько раз больше, чем в той работе;

а если клики по ссылкам показывают, что пока еще там не в несколько раз и не больше -- то

г) никогда еще, кажется, я не посылал в Архив текстов в такой стадии неоконченности (типа, технический аппарат более-менее развернут, но основные результаты как есть отсутствуют, только коротко рассказано во введении, в чем они предполагаются состоять);

д) почему? -- потому что пражские каникулы подходят к концу, и что успелось то успелось (я еще здесь, однако, второе письмо Х.Б. дописал-отправил, и презентацию на 55 слайдов подготовил, и три доклада сделал) -- а что ждет меня/всех нас дальше, как есть неведомо.

Текущая версия -- http://positselski.narod.ru/reduction.pdf (22 страницы).

Тут тем временем немножко проходит такой подводный процесс переосмысления концепции в разделе 1. Может быть, максимальной естественной общностью для длинной точной последовательности Бокштейна нужно считать не пару точных функторов η_s, η_t: F_st → F_s, F_t плюс естественное преобразование s: Id → (1) на F_st, а тройку таких функторов ρ_st, ρ_s, ρ_t: F → F_st, F_s, F_t плюс, может быть, какие-то естественные преобразования s и t между функтором ρ_st и его сдвигами, что-то такое. А то, что в нынешней версии прописано -- это частный случай, когда F = F_st.

А, например, длинная точная последовательность для проективного предела цепочки функторов редукции (перехода от совокупности категорий с Z/l^r-коэффициентами к категории с Z_l-коэффициентами) -- это мог бы быть частный случай, когда F = F_t и F_st = F_s (в контексте обозначений для длинной точной последовательности в разделе 1 по ссылке). Только при этом естественное преобразование t нужно нетривиальное. И еще бывает ситуация, когда F -- категория с l-адическими коэффициентами, а F_s, F_t и F_st -- три ее редукции (по числам s, t и st, являющимся степенями l), то есть все четыре категории разные (тогда длинная последовательность Бокштейна оказывается определенной для пары объектов из F, а не из F_st, что слабее, но может быть и выводимо при более слабых предположениях). Такой примерно замысел.

Но доедет ли новая концепция до первой архивной версии, или только до второй, это я не знаю еще пока. Как будет со временем.

Постпубликационная архивная версия (новый для меня жанр) -- http://arxiv.org/abs/0905.2621

В конце раздела 5.5 появилась "Note added three years later", в которой объясняется, как доказать утверждение, остававшееся недоказанным в опубликованном тексте работы в Memoirs AMS, пользуясь результатами работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky и принципом Вопенки в теории множеств (на котором они основаны). В конце списка литературы добавлено пять новых наименований, ссылки на которые приводятся в этой самой "note".

Также исправлено некоторое количество опечаток (еще больше осталось, конечно).

Развитие постинга http://posic.livejournal.com/1024084.html

Пусть B -- CDG-кольцо; обозначим через Hot(B-mod) гомотопическую категорию левых CDG-модулей над B. Триангулированная категория Hot(B-mod) является гомотопической категорией следующей (стабильной) модельной структуры на абелевой категории Z⁰(B-mod) левых CDG-модулей над B и замкнутых морфизмов между ними: корасслоения суть инъективные морфизмы, являющиеся вложениями прямых слагаемых в категории градуированных B^#-модулей; расслоения, аналогичным образом, суть сюръективные морфизмы, расщепимо сюръективные в категории градуированных B^#-модулей; слабые эквивалентности суть просто гомотопические эквивалентности CDG-модулей.

Заметим, что подлежащая категория Z⁰(B-mod) абелева и эквивалентна категории градуированных модулей над подходящим кольцом (обозначаемым обычно через B~ = B[δ]). Вышеописанная модельная структура на ней не является "абелевой модульной структурой" (в смысле известного определения Hovey); это "точная модельная структура", согласованная со структурой точной категории на Z⁰(B-mod), в которой тройка CDG-модулей точна, если она расщепимо точна в категории градуированных B^#-модулей. Тем не менее, это некоторая модельная структрура на абелевой категории Гротендика.

Соответственно, к триангулированной категории Hot(B-mod) применима теорема 2.4 из работы http://arxiv.org/abs/1106.2218 , согласно которой в гомотопической категории стабильной модельной структуры на локально представимой категории всякая полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно бесконечных произведений, является компонентой полуортогонального разложения (в предположении принципа Вопенки). В частности, это применимо к наименьшей полной триангулированной подкатегории в Hot(B-mod), замкнутой относительно бесконечных произведений и содержащей тотализации точных троек CDG-модулей над B. Применимо это и к каким-нибудь расширительным определениям подкатегории контраацикличных объектов, использующим трасфинитно-итерированные расширения, как описано в постинге по ссылке.

Что можно сказать о CDG-модуле, перпендикулярном слева ко всем тотализациям точных троек CDG-модулей? Ко всем трансфинитно-итерированым расширениям стягиваемых CDG-модулей и т.д.? Верно ли, что всякий такой CDG-модуль гомотопически эквивалентен CDG-модулю с проективным подлежащим градуированным B^#-модулем?

Если нет, то не получается ли отсюда новый вариант "контрапроизводной модельной структуры" (ср. http://posic.livejournal.com/1023730.html и http://arxiv.org/abs/1205.4473 ) на категории CDG-модулей над B? Или даже серия из нескольких таких новых вариантов?

P.S. Заметим, что изложенный аргумент не выглядит прямо применимым к копроизводным модельным структурам, поскольку теоремы 3.7 и 3.9 из той же работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky гарантируют существование полуортогонального разложения с заданной компонентой -- полной триангулированной подкатегорией, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм, только в предположениях, что эта подкатегория порождена множеством объектов или большая триангулированная категория является гомотопической категорией кофибрантно порожденной модельной структуры на локально представимой категории. Модельная структура на Z⁰(B-mod), о которой идет речь в начале этого постинга, не похожа на кофибрантно порожденную.

С другой стороны, вполне удовлетворительное описание копроизводной модельной структуры для CDG-модулей над произвольным CDG-кольцом можно получить средствами из работы Ханно Беккера (по существу, у него это все написано); так что методы, основанные на принципе Вопенки, для копроизводных категорий, может быть, просто и не нужны.

Листок 3, про контрамодули над целыми l-адическими числами (и не только):

http://positselski.narod.ru/contra-listok3.pdf [текущая версия 3 от 18 февраля, дополненная и исправленная]

Предыдущие листки (см. http://posic.livejournal.com/1041248.html ):

http://positselski.narod.ru/contra-listok2.pdf [текущая версия от 5 февраля]
http://positselski.narod.ru/contra-listok1.pdf [текущая версия 2 от 7 февраля]
http://positselski.narod.ru/contra-listok0.pdf [текущая версия 2 от 6 февраля]

обнародована этим утром -- http://arxiv.org/abs/1209.2995

Добавлены почти все результаты, систематически прорабатывавшиеся в набросках в этом ЖЖ во второй половине марта -- первой половине апреля прошедшего года (и что-то там сверх того).

Такие постинги, как http://posic.livejournal.com/930755.html , http://posic.livejournal.com/935955.html и http://posic.livejournal.com/944604.html составляют немногие исключения. (Кроме того, из обсуждавшегося в ЖЖ в тот период, сюжет про котензорное произведение квазикогерентных пучков частично вошел во вторую часть приложения B к статье про матричные факторизации и относительные особенности.)

В общем, короче, сейчас это мыслится примерно так. Основным исходным данным является некоторый морфизм Y → X. Здесь:

- X -- это, примерно, инд-нетеров инд-стэк с дуализирующим комплексом; в общем, что-то вроде индуктивного предела цепочки замкнутых вложений конечномерных многообразий, профакторизованного по действию проаффинной проалгебраической группы;
- Y -- ну, что тут скажешь, что-то совсем большое; бесконечномерный во все стороны инд-стэк;
- морфизм Y → X -- что-то вроде расслоения; как минимум, плоский морфизм; или, хотя, наверное, не обязательно гладкий, но, может быть, что-то лучшее, чем произвольный плоский морфизм;
- слои морфизма Y → X -- примерно, квазикомпактные полуотделимые схемы; в общем, что-то бесконечномерное, но не сложно собранное-склеенное; наверное, не обязательно аффинные схемы, но не намного сложнее того.

В этом мире должны жить такие звери, как
- полу(ко)производная категория квазикогерентных пучков кручения на Y ("полупроизводная" -- значит копроизводная вдоль X и обычная производная вдоль слоев морфизма Y → X);
- полу(контра)производная категория контрагерентных копучков контрамодулей на Y;
- эквивалентность этих двух полупроизводных категорий, зависящая (как и последующие два пункта) от выбора дуализирующего комплекса на X;
- двусторонний производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y ("полутензорного" -- значит котензорного (т.е., !-тензорного) произведения вдоль X и обычного тензорного (*-тензорного) вдоль слоев);
- двусторонний производный функтор полугомоморфизмов из квазикогерентных пучков кручения в контрагерентные копучки контрамодулей на Y.

В этом контексте, полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур (таких, как полуобертывающая полуалгебра тейтовской алгебры Ли, типа алгебры Вирасоро или Каца-Муди, и т.п.) превращается в частный случай нарисованной выше картины, рассматриваемой в рамках некоммутативной алгебраической геометрии.

Пространством X в этой ситуации будет такой стэк -- фактор точки по действию проалгебраической группы, соответствующей положительной части нашей Вирасоро. А (не вполне корректно определенным, т.к. геометрия некоммутативная, но в грубом приближении) слоем морфизма Y → X будет некоммутативная аффинная схема -- спектр обертывающей алгебры (несуществующей) факторалгебры Вирасоро по ее положительной части (т.е., совсем грубо, обертывающей алгебры неположительной подалгебры в Вирасоро). Скажем, четвертый пункт в перечне выше будет в этой ситуации полубесконечными гомологиями этой Вирасоро (а пятый -- полубесконечными когомологиями, а третий -- соответствием между комплексами представлений на дополнительных уровнях, а первый -- полупроизводной категорией категории O).

В описанной ситуации с алгеброй Ли как бы отсутствует инд-измерение (есть только стэковое -- хотя я не уверен, что в некоммутативной геометрии грань между ними так уж отчетлива -- наверное, можно и на проалгебраическую группу как на инд-нульмерную некоммутативную инд-схему посмотреть, с неприводимыми представлениями в роли точек), и дуализирующий комплекс банален. Но, вообще говоря, все эти ингредиенты там могут быть. Скажем, если сделать структуру тейтовской алгебры Ли зависящей от параметров, а параметры заставить пробегать какое-нибудь особое алгебраическое многообразие, дуализирующий комплекс как раз понадобится.

P.S. Собственно, что во всем этом нового, по сравнению с тем, что написано в полубесконечной монографии? Возможность использования контрагерентных копучков для глобализации контрамодулей на неаффинные схемы -- да. Но помимо этого, еще и такое замечание (восходящее к Иенгару-Краузе, Нееману-Мурфету и т.д.)

В полубесконечной книжке рассматривалась "трехэтажная" ситуация с базовым некоммутативным кольцом A, над ним кокольцом C, над ним полуалгеброй S. Кольцо A должно было иметь конечную гомологическую размерность, без этого ничего не работало. В этом смысле говорилось, что "нулевой этаж у нас небольшой (конечной высоты), первый и второй полноразмерные (бесконечные)".

Теперь можно считать более-менее установленным, что нулевой этаж можно сделать намного выше, если включить в рассмотрение дуализирующий комплекс для кольца А (в некоммутативной ситуации -- вообще говоря, связывающий кольцо A с другим некоммутативным кольцом B). В полной общности это, конечно, еще не проработано и там могут быть трудности (например, с существованием резольвент), но ряд частных случаев вполне себе прописаны.

"Размер" колец с дуализирующими комплексами, конечно, тоже где-то там ограничен, но все же их разнообразие гораздо больше, чем просто колец конечной гомологической размерности.

называется "FP". На самом деле, теория эта нужна для того, чтобы работать с когерентными кольцами (такими как, например, факторкольцо кольца многочленов от бесконечного числа переменных по конечно-порожденному идеалу соотношений) так, как без нее можно было бы работать только с нетеровыми (такими как, например, факторкольцо кольца многочленов от конечного числа переменных по идеалу соотношений).

Напомним, что ассоциативное кольцо R называется когерентным слева, если любой конечно-порожденный подмодуль конечно-представимого левого R-модуля конечно-представим. Конечно-преставимые левые модули над когерентным слева кольцом R образуют абелеву категорию (с точным функтором вложения в категорию всех модулей).

Пусть R -- когерентное слева кольцо. Левый R-модуль J называется FP-инъективным, если Ext_R¹(M,J) = 0 для любого конечно-представимого левого R-модуля M, или, что эквивалентно, Ext_R^>0(M,J) = 0 для любого такого M. (Утверждение об эквивалентности этих двух условий уже использует когерентность слева кольца R.)

Лемма 1. Класс FP-инъективных левых R-модулей замкнут относительно операций перехода к коядру вложения, расширений, бесконечных прямых сумм и произведений, а также относительно направленных индуктивных пределов.

Левый R-модуль P называется FP-проективным, если Ext_R¹(P,J) = 0 для любого FP-инъективного левого R-модуля J, или, что эквивалентно, Ext_R^>0(P,J) = 0 для любого такого J. (Утверждение об эквивалентности этих определений выводится из леммы 1.)

Лемма 2. а) Класс FP-проективных левых R-модулей замкнут относительно операций перехода к ядру сюръекции, расширений и бесконечных прямых сумм, а также, более общим образом, относительно трансфинитно-итерированных (в смысле индуктивного предела) расширений.
б) Левый R-модуль FP-проективен тогда и только тогда, когда он изоморфен прямому слагаемому трансфинитно-итерированного расширения конечно-представимых левых R-модулей.

Утверждение леммы 2а), понятное дело, доказывается гораздо легче утверждения леммы 2б), доказательство которого требует теоретико-множественной техники и проводится одновременно с доказательством следующей леммы 3.

Лемма 3. а) Всякий левый R-модуль является фактормодулем подходящего FP-проективного левого R-модуля по некоторому его FP-инъективному R-подмодулю.
б) Всякий левый R-модуль можно вложить в подходящий FP-инъективный левый R-модуль так, чтобы фактормодуль был FP-проективен.

Следующая лемма демонстрирует идею использования FP-инъективных модулей в контексте дуализирующих комплексов, ковариантной двойственности и т.п.:

Лемма 4. Пусть S -- ассоциативное кольцо, R -- когерентное справа кольцо, J -- инъективный левый S-модуль, и K -- S-R-бимодуль, являющийся FP-инъективным правым R-модулем. Тогда левый R-модуль Hom_S(K,J) является плоским.

Зачем все это нужно? Ответ на этот вопрос можно дать на двух уровнях:

- Нетеровы слева кольца хороши тем, что над ними класс инъективных модулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм (а не только относительно бесконечных произведений, как над произвольным ассоциативным кольцом). Замена инъективных модулей на FP-инъективные позволяет иметь свойство замкнутости относительно бесконечных прямых сумм не только над нетеровыми, но и над когерентными слева кольцами.

При этом над нетеровым слева кольцом классы инъективных и FP-инъективных левых модулей совпадают, все левые модули FP-проективны. Когерентные слева кольца, с другой стороны, характеризуются условием, что над ними класс плоских правых модулей замкнут относительно бесконечных произведений. В этом смысле можно сказать, что (над когерентными кольцами) FP-инъективные модули находятся в том же отношении к инъективным, как плоские к проективным.

- Да, но зачем нужны когерентные кольца? -- Чтобы заниматься бесконечномерной и полубесконечной алгебраической геометрией. См. первый абзац этого постинга.

Кроме того, когерентными являются некоторые интересные некоммутативные кольца. Например, свободная некоммутативная алгебра с ≥2 образующими когерентна, но не нетерова.

Литература:
1. http://maths.nju.edu.cn:8001/portals/blog/nqding/pdf/Notes%20on%20FP-projective%20modules%20and%20FP-injective%20modules.pdf (Notes on FP-projective modules and FP-injective modules, by Lixin Mao and Nanquing Ding) и далее по ссылкам
2. http://posic.livejournal.com/774605.html (см. также http://posic.livejournal.com/776156.html )
3. http://posic.livejournal.com/815381.html и далее по ссылкам