posic | Entries tagged with math5

1. Можно перейти к пределу по коэффициентам и рассматривать фильтрованные конструктивные пучки модулей над целыми l-адическими числами, у которых в каждой схемной точке присоединенные факторы образуют, с точностью до циклотомической подкрутки, дискретный перестановочный модуль над группой Галуа с целыми l-адическими коэффициентами.

2. Хорошо бы иметь категорную конструкцию факторизации по l^r, восстанавливающую по такой точной категории целых l-адических артин-тейтовских мотивных пучков точные категории, похожие на категории ат-мотивных пучков с конечными l^r-коэффициентами. Можно надеяться приспособить здесь конструкцию из параграфа 4 статьи MMJ-2011. Объектом новой категории считать диаграмму U → V → U → V в l-адической категории, где обе композиции являются умножениями на l^r, и т.д.

3. Хорошо бы, чтобы такая конструкция производила точную категорию вместе соответствующей длинной точной последовательностью, связывающей группы Ext в новой категории и в старой. С другой стороны, имея такую конструкцию, можно попытаться сравнить полученную Z/l^rZ-линейную категорию с настоящей категорией ат-мотивных пучков с конечными коэффициентами. Благо доказывать, что функтор между точными категориями является эквивалентностью, мы умеем. Здесь, конечно, нужно пользоваться какими-то результатами о мотивных когомологиях, типа гипотез МБК/БЛ.

4. В результате можно надеяться получить длинную точную последовательность, о которой шла речь здесь -- http://posic.livejournal.com/744187.html

23.05.12 -- Update: как сформулировать аналог условия точности присоединенного фактора из параграфа 4 статьи в MMJ для диаграммы U → V → U → V в пункте 2? Надо ли говорить, что мы рассматриваем только такие диаграммы, которые после приведения mod l^r становятся точными последовательностями в точной категории ат-мотивных пучков с коэффициентами mod l^r? Или это будет круговое определение, поскольку последнюю точную категорию мы как раз и хотели построить? Или это ничего страшного, и так и надо? Или это ничего страшного, потому что можно проговорить эту точность на языке присоединенных факторов по фильтрации F и слоев в схемных точках?

Как доказывать сформулированное в предыдущем постинге? В общем и в целом, речь идет о редукции к случаю одномерного регулярного локального кольца, рассматривавшемуся (без определения понятия "контрамодуль", конечно) в известной статье Continuous étale cohomology и далее в Appendix A к моей полубесконечной книжке.

Конкретнее, доказать, что R-контрамодуль P обладает свойством б), можно так. Прежде всего утверждается, что для любого R-модуля M и R-контрамодуля P, R-модуль Hom_R(M,P) всех R-модульных гомоморфизмов M → P имеет естественную структуру R-контрамодуля с "поточечными" операциями бесконечного суммирования. Отсюда следует, что и R-модули Ext_Rⁱ(M,P) имеют естественные структуры R-контрамодулей.

С другой стороны, если в R-модуле L элемент s ∈ m действует обратимым оператором, то тем же свойством обладает и R-модуль Ext_Rⁱ(L,N), для любого R-модуля N и любого i ≥ 0. Остается отметить, что R-контрамодуль Q с таким свойством всегда равен нулю по (контрамодульной) лемме Накаямы: mQ = Q влечет Q = 0.

Чтобы построить на R-модуле P, обладающем свойством в), структуру R-контрамодуля, можно рассуждать примерно так. Выберем конечный набор образующих x_j идеала m. Рассмотрим кольцо T формальных степенных рядов от переменных t_j с коэффициентами в R, и наделим его обычной (t-адической) топологией формальных степенных рядов. Тогда T, конечно, не топологическое локальное кольцо в смысле моей обычной терминологии, но это полное отделимое топологическое кольцо с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых идеалов. Поэтому имеется абелева категория T-контрамодулей.

Далее, имеется естественный гомоморфизм топологических колец T → R, тождественный в ограничении на R и переводящий t_j в x_j. Поскольку x_j порождают m, это открытое отображение, т.е. топология R является фактортопологией топологии на T. Дальше предлагается сначала построить (пользуясь свойством в)) структуру T-контрамодуля на P, а потом убедиться, что она спускается до структуры R-контрамодуля. (Для последнего, полезно иметь описание ядра гомоморфизма T → R -- похоже, оно просто порождается элементами t_j−x_j как идеал, даже без перехода к замыканию.)

Пусть R -- полное нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом m, рассматриваемое как топологическое кольцо в m-адической топологии. Хотелось бы доказать примерно следующее.

1. Забывающий функтор из категории R-контрамодулей в категорию R-модулей является вполне строгим.

2. Образ функтора R-contra → R-mod состоит из всех R-модулей P, удовлетворяющих одному из следующих эквивалентных условий:

а) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S ⊂ R и любого целого i ≥ 0, группа Ext_Rⁱ(R[S⁻¹], P), посчитанная в абелевой категории R-модулей, равна нулю, за исключением случая, когда S не пересекается с m и i = 0;

б) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S ⊂ R, имеющего непустое пересечение с m, любого R[S⁻¹]-модуля L, и любого целого i ≥ 0, группа Ext_Rⁱ(L,P) равна нулю;

в) для любого элемента s ∈ m и любого i, равного нулю или единице, группа Ext_Rⁱ(R[s⁻¹], P) равна нулю.

Слабо искривленные DG-алгебры над топологическим локальным кольцом не могут быть модельной категорией, поскольку их категория не имеет всех пределов и копределов. Но на них можно определить то, что называется "модельную структуру" -- набор данных модельной категории, удовлетворяющий всем аксиомам, кроме существования пределов и копределов.

При этом можно надеяться, что конкретные рассуждения/конструкции с модельными категориями, использующие пределы и копределы, будут обычно применимы к слабо искривленным DG-алгебрам, поскольку используемые в них конкретные частные случаи пределов и копределов будут фактически существовать.

Хотелось бы утверждать, что категория wcDG-алгебр над R имеет модельную структуру, в которой
- слабые эквивалентности суть "полуизоморфизмы" (квазиизоморфизмы по модулю m);
- расслоения суть сюръективные отображения (или точнее, морфизмы wcDG-алгебр, у которых подлежащие морфизмы градуированных алгебр сюръективны);
- корасслоения суть морфизмы, становящиеся корасслоениями DG-алгебр над полем после приведения по модулю m.

Напомним, что корасслоения DG-алгебр над полем суть ретракты морфизмов DG-алгебр A → B, в которых B есть DG-алгебра, свободно порожденная над A как градуированная алгебра вполне упорядоченной последовательностью элементов, причем дифференциал каждого следующего из них лежит в подалгебре, порожденной (над A) предыдущими.

Сформулированное выше означает, что корасслоения wcDG-алгебр определяются другим и более слабым условием: они суть ретракты морфизмов DG-алгебр A → B, в которых градуированная R-контрамодульная алгебра B свободно порождена над A вполне упорядоченной последовательностью элементов, дифференциал каждого следующего из которых лежит в подалгебре, порожденной (над A) всеми предыдущими образующими и всеми элементами B, делящимися на m.

Доказывать это предлагается так же, как в предыдущих постингах предполагалось доказывать сформулированные там утверждения: индукцией по степени нильпотентности коэффициентов с базой в виде теоремы о модельной категории DG-алгебр над полем. Корректное обращение с операцией перехода к ретрактам будет, видимо, основной технической трудностью.

Продолжение http://posic.livejournal.com/753725.html

Похоже, что сформулированное по ссылке утверждение доказывается. При этом в доказательстве возможности продолжить A_∞-структуру по модулю mⁿ плюс A_k−1-структуру по модулю mⁿ⁺¹ на B до A_∞-структуры по модулю mⁿ плюс A_k-структуры по модулю mⁿ⁺¹ используется инъективность отображения H(B/mB) → H(A/mA).

А в доказательстве возможности одновременно модифицировать эту εⁿ-компоненту k-й операции высшего умножения на B и подобрать εⁿ-компоненту k-й операции высшего отображения A → B так, чтобы получился A_k-морфизм по модулю mⁿ⁺¹, используется сюръективность отображения H(B/mB) → H(A/mA).

Теперь следующий шаг должен состоять в том, чтобы стриктифицировать единицу слабо искривленной A_∞-алгебры, редукция которой по модулю m является A_∞-алгеброй над полем с нулевым дифференциалом и унитальной двуместной операцией (заведомо ассоциативной, т.к. дифференциал нулевой).

Соответствующее утверждение могло бы формулироваться так: пусть A -- слабо искривленная А-бесконечность алгебра над R/mⁿ⁺¹, строго унитальная по модулю mⁿ. Тогда должно быть можно подобрать "модифицирующий" слабо искривленный А-бесконечность изоморфизм между заданной и новой структурой А-бесконечность алгебры на A, тождественный по модулю mⁿ, и подъем строгой единицы A/mⁿA в A, такой что поднятый элемент является строгой единицей в модифицированной структуре A_∞-алгебры на A.

Более инвариантно, речь идет о слабо искривленном А-бесконечность изоморфизме A' → A, являющемся строгим изоморфизмом (т.е. со всеми нулевыми компонентами кроме f₁) по модулю mⁿ.

Upd.: например, чтобы поднять элемент 1 ∈ A/mⁿA до элемента 1' ∈ A, удовлетворяющего уравнению μ₁(1')=0, достаточно сначала поднять 1 до любого элемента 1'' ∈ A, а потом положить 1' = 1'' + 1'' − μ₂(1''⊗1''). (Это если A/mA произвольная А-бесконечность алгебра; если A/mA -- А-бесконечность алгебра с нулевым дифференциалом, вообще любой подъем годится, в чем можно убедиться, посчитав μ₁(μ₂(1''⊗1'')).)

UUpd.: вообще, эта стриктификация единицы при переходе от mod mⁿ к mod mⁿ⁺¹ должна доказываться не так, как в ситуации над полем. В ситуации над полем, рассуждение Л.-Х. предполагает А-бесконечность алгебру с нулевым дифференциалом, следовательно, со строго ассоциативной и унитальной двухместной операцией μ₂, и дальше использует f₂, чтобы унитализовать μ₃, и т.д.

Переход же от mod mⁿ к mod mⁿ⁺¹ не требует никаких ограничений на μ₁. В предположении μ₁ = 0 mod m он, похоже, становится совсем простым (построенный выше элемент 1' является строгой единицей для A, и никакого f вообще не нужно). В общем же случае он использует f₂, чтобы унитализовать μ₂, и т.д. Грубо-приблизительно, нужно брать f₂(1'⊗x) = μ₃(1'⊗1'⊗x), что-то в этом роде.

Речь идет о том, как доказывать результаты типа стриктификации единиц, существования минимальных моделей и т.п.

Впечатление такое, что рассуждения, аналогичные случаю (неискривленных) А-бесконечность алгебр над полем, связанные с возрастающей индукцией по номерам высших операций, не проходят в слабо искривленной ситуации. А должны проходить рассуждения, использующие ситуацию над полем как базу для индукции по степени нильпотентности максимального идеала локального кольца коэффициентов.

Это соответствует общей философии, согласно которой (условные) компоненты операций в слабо искривленных алгебрах естественно упорядочены по доминированию лексикографическим образом, причем первым по значимости идет показатель при параметре ε в коэффициентах (с ростом которого значение членов убывает), а вторым -- номера высших операций (с ростом которых значение операций тоже убывает).

Конкретный пример утверждения, которое хотелось бы доказать: пусть A -- слабо искривленная А-бесконечность алгебра над проартиновым локальным кольцом R с максимальным идеалом m, пусть mⁿ обозначает замыкание идеала в R, порожденного произведениями n штук элементов из m, и пусть B_(n) -- слабо искривленная А-бесконечность алгебра над R/mⁿ. Пусть f_(n): B_(n) → A/mⁿA -- морфизм слабо искривленных А-бесконечность алгебр, являющийся квази-изоморфизмом по модулю m.

Хотелось бы построить слабо искривленную А-бесконечность алгебру B_(n+1) над R/mⁿ⁺¹ и морфизм слабо искривленных А-бесконечность алгебр f_(n+1): B_(n+1) → A/mⁿ⁺¹A, редукция которого по модулю mⁿ даст исходный морфизм f_(n).

Развитие http://posic.livejournal.com/571928.html , см. также http://posic.livejournal.com/752004.html

Пусть группа G действует на CDG-алгебре (B,d,h) автоморфизмами в категории CDG-алгебр. Что это значит? Для любого элемента g ∈ G должен быть задан автоморфизм ρ_g градуированной алгебры B и элемент a_g ∈ B¹, удовлетворяющие уравнениям d(ρ_g(b)) = ρ_g(d(b)) − [a_g,ρ_g(b)] для всех b ∈ B и d(a_g) + a_g² = 0. Кроме того, должно быть выполнено условие согласования с композицией: ρ_st = ρ_sρ_t и a_st = a_s + ρ_s(a_t).

Пример такой ситуации: пусть H -- группа Ли, P -- главное H-расслоение на многообразии M, B -- алгебра дифференциальных форм на M с коэффициентами в расслоении алгебр Ли на M, связанном с главным расслоением P и присоединенным действием H на своей алгебре Ли (расслоении Н-инвариантных вертикальных векторных полей на P). Пусть (B,d_∇,h_∇) -- структура CDG-алгебры на B, связанная с (произвольно выбранной) связностью ∇ в P (как написано в статье FAA-93). Тогда группа G сечений расслоения групп Ли на M, связанного с главным расслоением P и присоединенным действием H на себе (она же группа автоморфизмов главного расслоения P) действует автоморфизмами CDG-алгебры (B,d_∇,h_∇).

Другой пример такой ситуации: пусть (B,d,h) -- произвольная CDG-алгебра, G -- группа обратимых элементов некоммутативного кольца B⁰. Тогда G действует автоморфизмами на CDG-алгебре B; действие это задается правилами ρ_z(b) = zbz⁻¹ и a_z = −d(z)z⁻¹. (Отметим, что на DG-алгебре (A,d) естественно действует автоморфизмами только группа обратимых элементов кольца A⁰, аннулируемых d.)

Развитие http://posic.livejournal.com/752004.html

Похоже, что задача, отмеченная под пунктом 4. по ссылке, решается чисто формально. Неудобство в том, что все это не имеет большого смысла в топологии Зарисского, поскольку H_Zar²(X,O*) = 0 для регулярной схемы X. Нужно пользоваться либо этальной топологией, либо аналитической.

Но, скажем, в аналитической топологии: можно называть стек квазиалгебр (с сопряжениями на обратимые элементы в качестве 2-твистов, или как там это называется) квазикогерентным, если он изоморфен квазикогерентному пучку квазиалгебр (без всяких 2-твистов) в ограничении на каждый открытый диск. Зануление H_an²(D,O*) для диска D должно влечь достаточность проверки этого условия для сколь угодно малых открытых дисков.

Аналогичным образом, в этальной топологии придется требовать выпрямляемости и квазикогерентности ограничений на строгие гензелизации локальных колец схемных точек. Разумность такого определения упирается в утверждения вроде того, что квазикогерентность пучка O_X-модулей достаточно проверять в ограничениях на спектры локальных колец точек, или даже на их гензелизации. Не знаю, правда ли это, но на первый взгляд похоже.

P.S. Важно еще, чтобы обратимые элементы в нулевых компонентах CDG-колец, скручивания на которые входят в структуру стека CDG-колец, коммутировали с элементами структурного пучка схемы. В этих предположениях можно говорить о стеке CDG-алгебр над структурным пучком схемы, и рассматривать пучок модулей над стеком CDG-алгебр как имеющий подлежащую структуру пучка модулей над структурным пучком схемы.

0. Предполагаемое название: "Стеки CDG-алгебр".
1. Основное базовое определение: 2-категория CDG-алгебр -- http://posic.livejournal.com/571928.html
2. Тематический пример: скрученные дифференциальные операторы и модули над ними (плюс, м.б., какие-нибудь алгеброиды Ли и т.п.).
3. Направление движения: от 2-категорного продолжения результатов работы FAA-93 и параграфа 0.4 полубесконечной книжки к (частичному) продолжению результатов первой секции статьи Coherent analogues... на случай стеков CDG-квазиалгебр.
4. Задача: определить понятия "квазикогерентного стека (квази)алгебр над схемой" и "квазикогерентного пучка модулей" над таким стеком -- http://posic.livejournal.com/572380.html
5. Цель: расширение языка, связанного с искривленными алгебрами, путем включения калибровочных преобразований.

Через без малого 12 лет, наконец, дошло, кажется. Вот же оно, определение полубесконечных гомологий (в отличие от когомологий) конечномерных ассоциативных алгебр в стиле нынешнего юзера roma (см. его препринт 2000 года в Архиве и нашу статью 2010 года в Compositio, где когомологии такие определяются).

Пусть A -- конечномерная ассоциативная алгебра, N -- подалгебра в A, над которой A -- проективный левый модуль и S = N*⊗_NA -- инъективный правый модуль, и пусть А# = S□_N*N -- соответствующая вторая алгебра.

Тогда:
- правые A-модули = правые S-полумодули;
- левые A-модули = левые S-полуконтрамодули;
- левые A#-модули = левые S-полумодули.
В частности, имеется эквивалентность точных категорий N-проективных конечномерных левых A-модулей и N-инъективных конечномерных левых A#-модулей.

Объявим теперь элементом группы Tor^A_∞/2+i(R,L), где R -- конечный комплекс конечномерных правых A-модулей, а L -- конечный комплекс конечномерных левых A#-модулей, следующий набор данных (элемент проективного предела). Каждой паре морфизмов комплексов R → R' и L → L', где R' -- конечный комплекс N-инъективных правых A-модулей, а L' -- конечный комплекс N-инъективных левых A#-модулей, должен быть сопоставлен элемент группы Tor^A_i(R',Ψ(L')), где Ψ(L') = Ψ_A/N(L') = Hom_N(N*,L') есть (примененный к комплексам) функтор эквивалентности точных категорий, упомянутый выше, так что Ψ(L') -- конечный комплекс N-проективных конечномерных левых A-модулей.

Условия согласования относительно морфизмов комплексов N-инъективных модулей R' → R'' и L' → L'', коммутирующих с морфизмами из R и L, очевидны. Все морфизмы комплексов имеется в виду заменить на морфизмы в ограниченных производных категориях конечномерных модулей (в которых выделены полные триангулированные подкатегории комплексов N-инъективных модулей).

Ср. старый постинг "поиск точки приложения для одной топологической аналогии" -- http://posic.livejournal.com/486715.html

P.S. А проблема неточности проективного предела не встает, поскольку в данном случае это должен быть направленный проективный предел конечномерных векторных пространств (который точен).

Много примеров точных категорий, в том числе весьма изощренных примеров, можно найти в разных текстах, в том числе, и в моих. А вот простой, естественный пример аддитивной категории с классом точных троек, не являющейся точной категорией.

Пусть G -- (скажем, конечная) группа, R -- (коммутативное) кольцо; нашей аддитивной категорией будет полная подкатегория в категории R[G]-модулей, состоящая из всех R[G]-модулей, индуцированных с R-модулей. Рассмотрим класс всех троек в этой категории, индуцированных с точных троек R-модулей.

Это не точная категория, потому что не выполнены аксиомы замены базы и кобазы. Если взять точную тройку R[G]-модулей A[G] → B[G] → C[G], индуцированную с точной тройки R-модулей A → B → C, и морфизм D[G] → C[G] в нашей аддитивной категории, то построить по этим данным точную тройку A[G] → X[G] → D[G] в нашей категории не получится, да и само расслоенное произведение X[G] объектов B[G] и D[G] над C[G] может не существовать в нашей аддитивной категории.

Потому что морфизм-то R[G]-модулей D[G] → C[G] может не быть индуцированным с морфизма R-модулей! В аксиоме замены базы, входящей в определение точной категории, это может быть любой морфизм в аддитивной категории, точная структура на которой рассматривается. А морфизмы между индуцированными G-модулями бывают всякие-разные.

Отметим, что для этого контрпримера нужно именно кольцо R, поля недостаточно. Потому что если в категории R-модулей все точные тройки расщепимы, то и наш класс точных троек индуцированных R[G]-модулей будет состоять ровно из всех расщепимых троек. И будет просто X[G] = A[G] ⊕ D[G].

Вот чего недостает в моей статье про Артин-Тейтовские мотивные пучки.

Пусть есть многообразие X и натуральное число m, для них соответствующая точная категория F_X^m. Если m делится на n, то из F_X^m в F_Xⁿ действует естественный функтор редукции коэффициентов, переводящий фильтрованный этальный пучок M в пучок M/nM = (m/n)M с индуцированной фильтрацией.

Пусть теперь m = m'm'', и пусть M, N -- два объекта F_X^m. Как насчет длинной точной последовательности

... → Ext_{F_X^m'}ⁱ(M/m'M, N/m'N) → Ext_{F_X^m}ⁱ(M, N) → Ext_{F_X^m''}ⁱ(M/m''M, N/m''N) → Ext_{F_X^m'}ⁱ⁺¹(M/m'M, N/m'N) → ... ?

Зачем это мне нужно: если немножко подумать, то в формулировке "K(π,1)-гипотеза для мотивов Артина-Тейта над полем K эквивалентна подходящей гипотезе кошулевости, если K содержит нужный корень из единицы" последнее условие все-таки лишнее. Оно у меня живет как рудимент эпохи, когда рассматривались прежде всего тейтовские, а не артин-тейновские мотивы.

Вернее, если под "мотивами Артина" понимаются мотивы полей, промежуточных между K и фиксированным L, то корень из единицы должен содержаться в L, но не обязательно в K. В ситуации же с категорией F_X^m для X = Spec K, в роли L у нас алгебраическое замыкание K, так что условие тривиализуется.

Но верно это в той мере, в которой циклотомическое представление группы Галуа поля K является прямым слагаемым перестановочного. Т.е. только в случае, когда порядок коэффициентов m -- простое число. Поэтому интерпретировать в терминах кошулевости K(π,1)-гипотезу для мотивов Артина-Тейта над полем K c непростыми коэффициентами Z/m в отсутствие в K корня из единицы напрямую все же нельзя, а нужно сначала свести ее к случаю простых делителей m, а потом уже можно интерпретировать.

И вот для этого сведения мне пригодилась бы длинная точная последовательность выше.

Развитие этого -- http://posic.livejournal.com/679739.html

Пусть Ch (от слова Чжоу) -- DG-категория, в которой все комплексы морфизмов сосредоточены в неположительных когомологических степенях. Предположим, что на Ch (дискретно) действует (проконечная) группа G (что это значит, еще надо разбираться отдельно, но будем надеяться, что разумный смысл этому можно придать).

Будем рассматривать то, что Б. и К. когда-то прозвали "скрученными комплексами" над Ch -- конечные формальные прямые суммы формальных когомологических сдвигов объектов из Ch, снабженные коцепями Маурера-Картана, скручивающими дифференциал на прямой сумме. В силу условия на Ch, все такие скрученные комплексы должны быть "односторонними" и, более того, на них есть естественные "глупые фильтрации" (насколько я понимаю).

Будем рассматривать такие скрученные комплексы, снабженные действием G. Хотелось бы организовать из таких скрученных комплексов точную DG-категорию, в которой морфизмы -- комплексы морфизмов скрученных комплексов, коммутирующих с действием G. А точная структура такая: точная тройка G-эквивариантных скрученных комплексов -- это, во-первых, расщепимая точная тройка в аддитивно-сдвиговой оболочке Ch. При этом G-эквивариантного расщепления быть вовсе не должно (иначе неинтересно), но требуется существование G-эквивариантных расщеплений на присоединенных факторах нашей тройки по глупой фильтрации.

У полученной точной DG-категории строится абсолютная производная категория, у которой есть также DG-модель (по Др.). В этой DG-модели сидит полная DG-подкатегория, состоящая из G-эквивариантных скрученных комплексов, подлежащие скрученные комплексы которых суть просто прямые суммы объектов из Ch (без сдвигов). Эта DG-подкатегория называется (в надежде, что конструкция правильная) результатом "мотивного" или "весового" спуска исходной DG-категории Ch с действием групы G и обозначается через Ch/G.

Прежде всего нужно доказывать, что
1. комплексы морфизмов в Ch/G имеют когомологии, сосредоточенные в неотрицательных когомологических степенях, и
2. конструкция инвариантна относительно квази-эквивалентностей DG-категорий Ch с действием G.

А также
3. Ch/{e} квази-эквивалентна Ch, и
4. (Ch/H)/(G/H) квази-эквивалентна Ch/G.

В целом же замах, конечно, на то, чтобы конструкция переводила DG-категорию мотивов над алгебраическим расширением L поля K с группой Галуа G в DG-категорию мотивов над K.

нет подлежащего градуированного векторного пространства. Точнее сказать, такое векторное пространство можно определить, и даже так, чтобы оно было функтором на категории искривленных А-бесконечность модулей и А-бесконечность морфизмов между ними.

Но такие функторы не будут образовывать коммутативных диаграмм с функторами ограничения скаляров по искривленным А-бесконечность морфизмам искривленных А-бесконечность алгебр. Другими словами, функтор подлежащего градуированного векторного пространства искривленного А-бесконечность модуля меняется на другой (похожий) функтор при замене искривленной А-бесконечность алгебры на искривленно А-бесконечность изоморфную ей.

В искривленной DG- (а не А-бесконечность) ситуации ничего подобного не происходит.

Разумеется, слово "векторное пространство" выше не следует понимать буквально. В ситуации над полем не бывает никаких "полноценно искривленных" А-бесконечность морфизмов искривленных А-бесконечность алгебр (потому что формальный степенной ряд с ненулевым свободным членом нельзя подставить в другой формальный степенной ряд). Чтобы наблюдать описанный эффект, нужно работать над полным локальным кольцом.

P.S. Ага, а подлежащее градуированное векторное пространство (т.е. на самом деле модуль над кольцом коэффициентов, конечно) искривленной А-бесконечность алгебры вообще не является функтором на категории искривленных А-бесконечность алгебр и искривленных А-бесконечность морфизмов между ними.

2-периодические комплексы или "прекомплексы" (CDG-модули) в последние годы приобрели популярность, но почему-то редко осознается, что в некоторых условиях имеет смысл и гомологическая алгебра 1-периодических (пре)комплексов. Т.е., просто неградуированных векторных пространств, снабженных оператором с нулевым квадратом (или даже с ненулевым, если CDG).

"Некоторые условия" здесь -- это когда характеристика равна 2. Тогда исчезает единственная проблема, обычно связанная с неградуированными комплексами -- невозможность расставить знаки в разного рода формулах (например, для дифференциала на тензорном произведении комплексов или комплексе Hom и т.п.).

Вспомнил об этом в ходе переписывания текста про кошулеву двойственность над полем в текст про кошулеву двойственность над локальным кольцом. Разница между этими уровнями общности перпендикулярна к вопросу о характеристике 2, но просто возможность работать в характеристике 2 с совсем неградуированными объектами некоторым образом успела просочиться в мои тексты за прошедшие со времен написания Two kinds of derived categories... годы.

Теперь стремление к поддержанию общей глобальной консистентности требует прописывания некой конструкции, нетривиальной только в этом полностью неградуированном случае, и соответственно, имеющей смысл только в характеристике 2.

странный очень у меня получается. (Стоило только пожаловаться (под замком) на усталость, как тут же выяснилось, что я не понимаю чего-то существенного.)

Обычно ограничение скаляров -- вообще точный функтор, так что производный функтор ему строить не нужно. Но тут изощренное определение полупроизводной категории wcDG-модулей; сохранение полуацикличности при ограничении коэффициентов неочевидно. Если строить производный функтор, это был бы очень странный двусторонний производный функтор функтора одного аргумента; такие до сих пор мне не встречались, кажется.

Стал думать, почему бы он был сопряжен (обычному) производному функтору расширения коэффициентов, и пришел к выводу, что все же ограничение коэффициентов сохраняет полуацикличность, поскольку расширение коэффициентов сохраняет гомотопическую проективность (подразумеваются контрамодульные коэффициенты).

Мир еще не видел столь сложного доказательства того, что ацикличный комплекс модулей остается ацикличным, если рассмотреть его как комплекс модулей над другим кольцом, отображающимся в первоначальное, вот что я вам скажу.

Ограничение скаляров для контрамодулей не коммутирует с бесконечными прямыми суммами. В том числе, ограничение на кольцо с факторкольца. Ограничение скаляров для контрамодулей не коммутирует с бесконечными прямыми суммами. В том числе, ограничение на кольцо с факторкольца. (Повторить 10 раз.)

Между тем, мне кажется, ограничение скаляров на кольцо с факторкольца коммутирует с бесконечными произведениями комодулей. Более того, у этого функтора есть сопряженный слева. Потому что дискретный модуль можно профакторизовать по действию идеала, хоть это и не очень правильно.

А вот максимальный подконтрамодуль, аннулируемый идеалом, не существует. Потому что структура контрамодуля есть некая бесконечноместная операция.

Вот, кстати, хороший вопрос про него: можно ли определить тензорное произведение контрамодулей над кокоммутативным кокольцом над коммутативным кольцом (скажем, в обычном предположении, что кокольцо является проективным модулем над кольцом)?

Свойства у этого тензорного произведения должны быть такие: коммутативность, ассоциативность, точность справа, коммутация с прямыми суммами (в категории контрамодулей), единичный объект -- свободный контрамодуль с одной образующей (т.е., индуцированный со свободного модуля с одной образующей).

И не является ли это частным случаем прописанного у меня определения тензорного произведения контрамодулей над коммутативным топологическим кольцом, у которого открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля?

Как заметил мне английский академик Майлз Р., бывают проективные резольвенты и инъективные резольвенты, но it is not necessary to inflict both on the audience.

Я смотрю на это по-другому: возможность вычислять функтор Ext в категории модулей над кольцом с помощью, на выбор, проективных или инъективных резольвент -- редкая удача. Чаще бывает, что есть либо то, либо другое; в популярных нынче контекстах с инд-объектами, категориями Гротендика и т.д., обычно есть только инъективные резольвенты. У пучков есть только инъективные резольвенты.

У комодулей или дискретных модулей есть только инъективные резольвенты, но это половина правильной картины: у контрамодулей есть только проективные резольвенты. Я давно хочу придумать аналогичную "вторую половину картины" для пучков -- какие-нибудь контрапучки, у которых были бы только проективные резольвенты. Пока что не получается.

Впрочем, речь не об этом. Наряду с функтором Hom, есть и другие функторы двух аргументов, действующие на комодулях и контрамодулях, производные функторы которых можно вычислять только по одному из аргументов, поскольку подстановка инъективного комодуля или проективного контрамодуля во второй аргумент не делает этот функтор точным. Таков функтор контратензорного произведения (производный функтор которого можно вычислять только по контрамодульному аргументу), и, как теперь выясняется, также функтор Ctrhom для контра/комодулей над коммутативным (ко)кольцом (тоже нужно разрешать контрамодульный аргумент).

Это разнообразно усложняет жизнь; зато облегчает ее наличие функтора Cohom из комодулей в контрамодули, производный функтор которого можно вычислять по любому из аргументов с одинаковым результатом. На этом основано доказательство равенства гомологических размерностей категорий комодулей и контрамодулей, упоминавшееся в одном из последних постингов.

27.12.2011 -- Update: я ошибся (все время спотыкаюсь на этом месте); ситуация еще сложнее. Подстановка проективного контрамодуля в аргумент Ctrhom тоже не делает этот функтор точным по остающемуся аргументу (поскольку бесконечные произведения комодулей не точны). То же относится и к функтору контрамодульного тензорного произведения (поскольку не точны бесконечные прямые суммы контрамодулей).

Для построения производных функторов контрамодульного тензорного произведения и Ctrhom нужно разрешать оба аргумента; никакого одного не достаточно.

1. Во всем должен быть порядок. Поэтому от того, чтобы называть один и тот же объект "полупроизводной категорией" или "производной категорией" в зависимости от того, находимся ли мы в общем случае или в случае конечной гомологической размерности коэффициентов, удержаться решительно невозможно.

2. Эту терминологию нужно разъяснять, что подразумевает необходимость определения понятия "гомологической размерности коэффициентов". Но категорий коэффициентов две -- контрамодули и комодули; о какой из гомологических размерностей идет речь? Говоря об этом, нельзя избежать утверждения, что эти две гомологические размерности на самом деле совпадают.

3. Но это утверждение нужно тогда доказывать; а если уж что-то доказывать, то естественно обсудить и смежные утверждения. Вероятный итог: плюс еще две-три страницы длины текста.