posic | Entries tagged with math14

У меня получается длинная книжная рукопись на две основные темы, главную и побочную. Главная -- это, конечно, контрагерентные копучки. А побочная -- это как между собой соотносятся производные категории второго рода в моем смысле и в смысле Беккера. Те и другие подробно обсуждаются в тексте, и делается попытка доказывать многие результаты одновременно и параллельно для тех и для других.

Дисклеймер: до сих пор неизвестно ни одного контрпримера, который показывал бы, что ко/контрапроизводная категория в моем смысле может отличаться от ко/контрапроизводной категории в смысле Беккера (в области разумной применимости обеих конструкций). Нет и доказательства того, что они совпадают в сколько-нибудь полной общности (даже для категорий модулей над кольцами). Но рабочая гипотеза, из которой я в последнее время исхожу, состоит в том, что эти два подхода к определению производных категорий второго рода не обязательно дают одинаковые результаты.

На основании опыта работы над книжной рукописью, дело сейчас выглядит следующим образом. Копроизводную категорию в моем смысле можно определить для любой точной категории, хотя разумным представляется потребовать, чтобы в ней существовали бесконечные копроизведения и функторы таких копроизведений были точны. Копроизводную категорию в смысле Беккера тоже можно определить для любой точной категории, хотя разумным представляется потребовать, чтобы в ней было достаточно много инъективных объектов. Условия это разные, хотя взаимосвязь между ними имеется (если бесконечные копроизведения существуют и инъективных объектов достаточно много, то бесконечные копроизведения точны).

Всякий комплекс, коацикличный в моем смысле, коацикличен в смысле Беккера. Обратное неизвестно. Всякий комплекс, коацикличный в моем смысле, ацикличен (если функторы бесконечных копроизведений точны). Верно ли при разумных предположениях, и при каких именно, что всякий комплекс, коацикличный в смысле Беккера, ацикличен -- уже открытый вопрос.

Всякий точный функтор между точными категориями, сохраняющий бесконечные копроизведения, сохраняет коацикличность в моем смысле. Чтобы доказать, что точный функтор между точными категориями сохраняет коацикличность в смысле Беккера, приходится предполагать, что у него есть правый сопряженный функтор (лучше я в общем случае не умею). Это намного более ограничительное условие, особенно, когда категории не абелевы, а именно точные.

Есть общие теоремы о сохранении производных категорий второго рода в моем смысле при переходе к (ко)разрешающим подкатегориям. В некотором виде, соответствующие результаты теперь известны и для производных категорий второго рода в смысле Беккера, но там бывают нужны более сильные накладываемые условия.

В целом впечатление такое, что конструкции производных категорий второго рода в моем смысле ведут себя более регулярно, что ли, и применимы к широким классам точных категорий. Теоремы, гарантирующие хорошее поведение, можно про них доказывать в большой теоретико-категорной общности с помощью стандартного комплекта приемов и рассуждений. Я занимался разработкой этой техники и в немалой степени преуспел.

Ко/контрапроизводные категории второго рода в смысле Беккера более капризны, что ли, и требуют неожиданных рассуждений ad hoc для доказательства своих простейших свойств. При этом для самых интересных точных и абелевых категорий, возникающих в теории колец и (очень алгебраической) алгебраической геометрии, результаты, которые удается доказать с помощью этих рассуждений ad hoc для ко/контрапроизводных категорий в смысле Беккера -- лучше, чем те, что удается получить регулярным, стандартным образом для ко/контрапроизводных категорий в моем смысле.

Похоже, что кроме вялых пучков и ковялых копучков, мне нужны еще разведенные пучки. Разведенные -- не в смысле divorced, а в смысле dilute. Их придумал Мурфет много лет назад, и я читал о них в его знаменитых заметках, но почему-то у меня было внутреннее сопротивление к их использованию. Мне казалось, что у меня есть мои контраприспособленные пучки, которые совсем как разведенные, только лучше.

Проблема в том, что класс контраприспособленных квазикогерентных пучков не замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Поэтому контраприспособленных пучков для некоторых целей недостаточно, и нужны именно разведенные.

При этом коразведенные копучки мне, я думаю, вряд ли понадобятся. Антилокальных копучков должно быть достаточно для всех целей. Потому, что класс антилокальных контрагерентных копучков замкнут относительно бесконечных произведений. Это-то и запутывает. Осложняет восприятие ситуации.

Ну, не самодвойственно понятие схемы (или стэка), и ничего с этим не поделаешь. Нет полной двойственность-аналогии между пучками и копучками, есть только частичная. В чем-то и копучки ведут себя проще, чем пучки. Постепенно приходится к этому привыкать.

В общем, у химиков бывают dilute solutions, а у меня, вслед за Мурфетом, похоже, будут dilute coresolutions.

Ну, дыру в рассуждении. В доказательстве основной теоремы раздела A.5, для обычных производных категорий. Проблема с прямыми слагаемыми, как часто бывает.

Подумав часок, кажется, научился ее заделывать. Обычный трюк. Если C -- ацикличный комплекс (т.е., прямое слагаемое точного) в слабо идемпотентно-полной точной категории, то комплекс C ⊕ C[1] точен.

В ней подробно, с теоремами, доказательствами и многочисленными примерами описывается некое весьма распространенное явление природы, но только в узком контексте квазикомпактных полуотделимых схем и их аффинных покрытий в топологии Зарисского. Что соответствует этому явлению в плоской топологии, для стэков и т.д. -- я совершенно не знаю и не понимаю.

С другой стороны, что действительно показывает публикация этой работы -- так это то, что моя деятельность во-многом уже переместилась из области притяжения контрамодулей и полуалгебр в область притяжения контрагерентных копучков. У этих областей притяжения есть большое пересечение, которым я долго занимался, но статья про антилокальность уже не имеет отношения к контрамодулям, а только к контрагерентным копучкам. В данном случае, речь идет о контрагерентных копучках на квазикомпактных полуотделимых схемах.

над коммутативным кольцом стягиваем. Это утверждается в аппендиксе к новому препринту https://arxiv.org/abs/2402.04605 Амнона Неемана с его коллегами.

https://posic.dreamwidth.org/2058460.html

Так и изучение ядра теории контрагерентных копучков на схемах было в основном закончено с доказательством очень плоской гипотезы летом 2017 года. Теоремы периодичности релевантны для ненетеровых схем (или нетеровых схем бесконечной размерности Крулля), так что это уже периферия.

Собственно, это меня и тревожит. Понятие о контрагерентных копучках и само по себе далеко от современного мейнстрима и не решает его задач. А кого заинтересует периферия этого понятия и его технические аспекты, такие как разница между локально контраприспособленными контрагерентными копучками и контрагерентными копучками локально кокручения? Какое значение будут иметь эти технические аспекты когда-если, в конечном итоге, контрагерентные копучки кому-то понадобятся?

Опыт предшествующих больших проектов, таких как книжка по полубесконечной гомологической алгебре и т.д., показывает, что от них бывает большой полезный побочный эффект в виде обнаружения и решения менее сложных сопутствующих задач, более близких к тому, чем занимаются другие люди. Так и от изучения контрагерентных копучков ожидается побочная сопутствующая польза. Отсюда моя склонность отвлекаться от основной задачи по переписыванию длинного текста на вырастающие из нее побочные проекты.

В первом январском, 2024 года, препринте, в последнем абзаце доказательства теоремы 4.2, в третьей строке, показатель степени должен быть тройка, а не четверка. И вообще там надо ссылаться не на теорему 2.2 в целом, а конкретно на теорему 2.2(а). Не знаю, исправлять ли на Архиве или сойдет пока и так. Если пока сойдет, то надо не забыть исправить на следующем обороте.

25.01.2024 - Update: Исправил на Архиве.

на том месте, где могли бы быть абсорбированы результаты неопубликованного препринта Ульмера 1977 года. Для каких колец R и кардиналов λ категория R-коалгебр (или кокоммутативных R-коалгебр, или R-коколец и т.д.) локально λ-представима? Стыдно должно быть современным математикам не знать в 2023 году нормального ответа на этот вопрос. Позорище.

префикс "2-" означает строгие (strict) конструкции, префикс "би-" -- расслабленные, префикс "псевдо-" -- промежуточные. 2-категории строги, бикатегории расслаблены. Слишком строгие конструкции могут давать неправильные, плохо себя ведущие ответы, а со слишком расслабленными сложнее работать, там много данных. Поэтому "2-предел" -- это часто не то, что нужно; "бипредел" в полной общности -- нечто сложное; "псевдопредел" -- компромиссное решение.

Ну как "у себя" -- конкретной работы, в которой сделано это неверное утверждение, я сейчас указать не могу. Когда-то я, видимо, понимал, что не умею это доказывать, и проявлял осторожность в этом месте. Но контрпримера не придумал (хотя он очень простой), и постепенно стал считать и, как минимум, говорить в разговорах, что это верно. Так вот, неверно.

Пусть имеется мультипликативное спаривание между алгеброй К и коалгеброй С над полем k. То есть, попросту, гомоморфизм алгебр K --> C*. При каких условиях соответствующий функтор из C-комодулей в К-модули вполне строгий? Достаточно того, чтобы спаривание было невырожденным по C, то есть, другими словами, чтобы гомоморфизм K --> C^* имел плотный образ в линейно компактной топологии C^*. Но нет, это достаточное условие совершенно не является необходимым.

Потому, что существуют несюръективные эпиморфизмы (в категории) конечномерных алгебр над полем. Например, если K -- трехмерная алгебра верхнетреугольных матриц 2x2, а C -- четырехмерная кополупростая коалгебра, двойственная к алгебре всех матриц 2x2, то образ естественного инъективного гомоморфизма K --> C* не разу не плотен в (дискретной) топологии конечномерной алгебры C*, но функтор C-Comod --> K-Mod вполне строгий.

На самом деле меня тревожит, что непонятно, хватит ли оставшихся годов эффективной работоспособности, чтобы подготовить к печати книжку про контрагерентные копучки. С другой стороны, почти никто не читает математических монографий дальше введения и оглавления, а что должно быть написано во введении к контрагерентным копучкам, я примерно понял только в последние 6-8 месяцев.

Вот я и думаю: какой должен быть формат? Может быть, подготовить слайды и сделать по ним доклад где-нибудь, а потом выложить их на домашней странице? Будет хоть какая-то слабенькая надежда, что все это сохранится.

Или лучше написать архивный препринт? Типа обзора, только обращенного не в прошлое, а в будущее. Предварительный обзор (обычно называется "анонс"). Под названием типа The philosophy of contraherent cosheaves. О том, как необходимость в контрагерентных копучках возникает в связи с глобализацией кошулевой двойственности на контрамодульной стороне -- над коалгеброй в категории квазикогерентных пучков над схемой, над кольцом дифференциальных операторов. В связи с глобализацией контрамодулей над формальной схемой, и т.д.

И дальше о том, как проблема упирается в разницу между проективными и плоскими модулями. И про два решения этой проблемы -- 1. локально контраприспособленные контрагерентные копучки и 2. контрагерентные копучки локально кокручения. Что означает 1. очень плоскую гипотезу и 2. теоремы периодичности.

Будет ли это носиться? Следует ли это сшить? По правде сказать, мне этой бессонной ночью кажется, что я просто буду чувствовать себя морально намного лучше, зная, что у разрозненной серии препринтов про теоремы периодичности появилась "головная" работа, объясняющая связь с контрагерентными копучками и философию. Наполняющая смыслом всю эту деятельность с теоремами периодичности и объясняющая, как нужно думать про контрагерентные копучки.

Опять же, если устраивать семинар по контрамодулям и контрагерентным копучкам в алгебраической геометрии, то к семинару пригодился бы и вводный текст.

How to assign an abelian or exact category to a geometric shape?

Аннотация:

Let us define the context of the discussion by saying that to an affine scheme we assign the abelian category of arbitrary modules over the commutative ring of functions. What categories can one then assign to a nonaffine scheme, a formal scheme, or an ind-scheme? We'd argue that there are two abelian categories to be assigned to an ind-affine ind-scheme, one abelian and one exact category to be assigned to a nonaffine scheme or stack, and one abelian and three exact categories to be assigned to a nonaffine formal scheme. Subcategories are not counted.

В принципе, если так подумать, то если устраивать в следующем учебном году такой семинар по контрамодулям и контрагерентным копучкам, то моя деятельность закончившегося учебного года -- и предшествующих лет тоже, но в частности и в особенности, 22-23 учебного года -- была к тому неплохой подготовкой. С очень плоской гипотезой мы в основном разобрались в предшествующие годы. Но говоря о произвольных плоских модулях -- одно дело только размахивать руками, заявляя что, мол, теоремы периодичности иллюстрируют, что плоские модули не так уж далеко ушли от проективных -- другое дело, когда есть серия архивных препринтов про это.

Кстати, другой вариант названия семинара: Contramodules and contraherent cosheaves in algebraic geometry.

- с аффинной схемой можно связать одну абелеву категорию
- с аффинной формальной схемой (или инд-аффинной инд-схемой) можно связать две абелевы категории
- с неаффинной схемой можно связать одну абелеву и одну точную категорию
- с неаффинной формальной схемой можно связать одну абелеву и три точные категории

Это не считая подкатегорий -- выше посчитаны только такие категории, которые не вкладываются одна в другую. (Иначе уже с аффинной схемой можно связать категорию всех модулей, инъективных, плоских, проективных и т.д.)

Более того -- все это только разновидности когерентных пучков. Ну, квазикогерентных. Ничего конструктивного, ничего D-модульного здесь не посчитано. Пучки модулей над пучком колец функций, не обладающие свойствами когерентности, не рассматриваются.

С каждой абелевой или точной категорией можно связать две-три триангулированные категории (обычную и экзотические производные категории неограниченных комплексов). Многочисленные триангулированные эквивалентности связывают между собой многочисленные триангулированные категории, которые можно породить из упомянутых абелевых и точных категорий...

Вот я думаю: by any stretch of the imagination, конструкции и свойства таких категорий могут представлять интерес для алгебраического геометра?

версус копроизводные категории в смысле Беккера. С одной стороны, вопрос формально остается открытым, контрпримера нет. Я надеялся на доказательство и перестал надеяться. С другой стороны, очень многое вокруг понято. Задача не решилась, но как бы постепенно рассасывается. Перестает казаться важной открытой проблемой, торчащей, как заноза. Начинает выглядеть не столько задачей, сколько логичной, естественной частью ландшафта.

То, что у плоских модулей, плоских пучков, плоского чего угодно копроизводная категория совпадает с производной. Когда этому можно придать смысл, то и с контрапроизводной категорией совпадает. При подходящих предположениях, естественно: все должно быть достаточно плоским. А определять копроизводную категорию, ну в смысле коацикличные объекты, надо беря замыкание абсолютно ацикличных относительно прямых пределов. А не прямых сумм, как в моем традиционном подходе. Вот, что я понял за последний год. Все это не очень ново, конечно. Но всему свое время. Иногда наступает время и продумывать идеи изначально не свои.

А что отсюда следует? Например, то, что двум рукавам теории контрагерентных копучков должны, по идее, соответствовать два рукава теории плоских матричных факторизаций бесконечного ранга на бесконечномерной схеме. Можно рассматривать очень плоские матричные факторизации и определять коацикличные объекты как замыкание абсолютно ацикличных относительно прямых сумм (как бы "в моем смысле"). А можно рассматривать произвольные плоские матричные факторизации, и определять коацикличные объекты как замыкание абсолютно ацикличных относительно прямых пределов (как бы "в смысле Беккера"). В итоге копроизводная категория должна получаться при обоих подходах одинаковая.

Придумать пример кольца A и в нем подкольца B, таких что

1. кольцо A имеет конечную глобальную (гомологическую) размерность;
2. кольцо A -- свободный правый модуль над своим подкольцом B;
3. полная подкатегория всех левых B-модулей, допускающих продолжение структуры B-модуля до структуры A-модуля, не замкнута относительно расширений в категории B-Mod.

Легко удовлетворить условиям 1. и 2., но не 3. Нетрудно удовлетворить условиям 1. и 3., но не 2. Я умею удовлетворить условиям 2. и 3., но не 1. Можно ли удовлетворить всем трем условиям?

Upd.: можно, и даже очень несложно. Взять за A обертывающую алгебру sl_3(C), за B -- обертывающую алгебру максимальной унипотентной подалгебры (строго верхнетреугольных матриц) в sl_3(C), рассмотреть какой-нибудь нетривиальный нильпотентный двумерный модуль над унипотентной подалгеброй.

А вот если я хочу

3'. полная подкатегория всех левых B-модулей, являющихся прямыми слагаемыми B-модулей, допускающих продолжение структуры B-модуля до структуры A-модуля, не замкнута относительно расширений в категории B-Mod.

Снова опять, нетрудно удовлетворить условиям 1. и 3'., но не 2. Я умею удовлетворить условиям 2. и 3'., но не 1. Можно ли удовлетворить условиям 1., 2. и 3'.?

UUpd.: https://mathoverflow.net/questions/443843/modules-over-the-unipotent-subalgebra-as-direct-summands-of-modules-over-a-semis

Терминологию, связанную со стэками, надо изучить. Но в первом приближении, будем называть стэк X квазикомпактным, если он допускает плоское покрытие аффинной схемой U, и полуотделимым, если декартово произведение U×_XU -- аффинная схема. Такие стэки описываются кокольцами -- категория квазикогерентных пучков на X эквивалентна категории комодулей над кокольцом C = O(U×_XU) над кольцом A = O(U).

Кокольца (коалгебры над алгебрами) -- это такой объект полубесконечной гомологической алгебры, но не очень хорошо себя ведущий. Хорошо себя ведущий объект полубесконечной гомологической алгебры -- это полуалгебры (алгебры над коалгебрами). В результате у меня получается, что для того, чтобы работать с кокольцом, надо делать дополнительные предположения, так или иначе связанные с конечностью гомологической размерности в одном из двух направлений -- или кольцо A имеет конечную гомологическую размерность, или кокольцо C имеет, в подходящем смысле слова, конечную гомологическую размерность "относительно A".

Этот постинг про такой конкретный вопрос: при каких предположениях можно утверждать, что на стэке X есть достаточно много плоских квазикогерентных пучков (т.е., любой квазикогерентный пучок является факторпучком плоского)? Я умею это доказывать, с помощью явных конструкций, в двух случаях:

1. X -- квазикомпактная полуотделимая схема (а не стэк); или
2. Х -- гладкий квазикомпактный полуотделимый стэк.

Здесь в случае 2. слово "гладкий" означает "регулярный нетеров конечной размерности Крулля". Попросту, мне нужно, чтобы кольцо A = O(U) имело конечную глобальную размерность, или хотя бы "конечную слабую размерность" -- чтобы у всякого A-модуля была конечная плоская резольвента. Тогда применима конструкция накрывающего A-плоского C-комодуля из книжки "Homological algebra of semimodules..."

В случае 1., применима другая известная конструкция, о которой писали Мурфет и мы с Сашей Е. В этом контексте, можно утверждать даже больше -- на квазикомпактной полуотделимой схеме достаточно много очень плоских квазикогерентных пучков (о чем написано в моем препринте про контрагерентные копучки).

Можно ли в общем случае доказать, что на квазикомпактном полуотделимом стэке достаточно много плоских квазикогерентных пучков?

Я все еще повышаю уровень моря вокруг понятия контрагерентного копучка, придуманного в 2012 году с целью повысить уровень моря вокруг понятия контрапроизводной категории, придуманного в 1999 году с целью повысить уровень моря вокруг производной неоднородной кошулевой двойственности, о которой я начал размышлять в 1992 году.

И я считаю, что это хорошо и правильно, так и надо. Помимо прочего, с тех пор обнаружилась масса приложений, начиная с полубесконечной гомологической алгебры и т.д. Выношу из-под замка короткую математическую мораль, к которой мы, кажется, постепенно приходим:

В статье с Сашей Е. все было хорошо написано, но с тех пор прошли 12 лет, и мы тут поняли такую простую вещь, что при определении полной подкатегории коацикличных объектов замыкать нужно относительно прямых пределов, а не прямых сумм.

Звучит банально, но за этим стоят сложные теоремы, показывающие, что с замыканием относительно прямых пределов конструкция хорошо работает в большой общности. А что мораль короткая, так это лучше, чем длинная.

У разных людей, конечно, могут быть разные резоны интересоваться прямыми пределами (или может не быть никаких). Мои состоят в том, что плоские модули -- это прямые пределы проективных, а вокруг разницы между проективными и плоскими модулями в основном вращаются технические трудности теории контрагерентных копучков. Впрочем, и теории квазикогерентных пучков -- отчасти тоже.

Таким образом, плоские модули оказались как бы в перекрестье троп, ведущих вниз от двух главных технических вершин моей деятельности периода, предшествовавшего эмиграции -- полубесконечной гомологической алгебры и контрагерентных копучков. Неудивительно, что когда в 2015-16 годах настала пора спускаться из-под облаков ближе к населенным долинам, я стал писать про плоские модули.

И тогда два рукава теории контрагерентных копучков нашли свое продолжение в виде двух рукавов теории плоских модулей.

С одной стороны, можно подбирать какие-то классы "хороших плоских модулей", особенно просто устроенных и удобных для использования. В таком контексте, надо доказывать, что те или иные плоские модули, возникающие где-то каким-то образом -- или, при каких-то ограничительных предположениях, все плоские модули -- достаточно хороши.

Так я стал писать про сильно плоские модули, очень плоские модули, вполне плоские модули... про плоские эпиморфизмы колец счетного типа, про плоские эпиморфизмы колец относительной размерности Крулля ноль...

С другой стороны, можно пытаться продемонстрировать, что в сущности, даже совершенно произвольные плоские модули не так уж и далеко ушли от проективных. Да, вне узких рамок нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля -- которые, конечно, типичный коммутативный алгебраист или алгебраический геометр считает, наоборот, широченными и включающими весь предмет -- вне этих рамок плоские модули не обязаны иметь конечную проективную размерность.

Но, говорит нам второй рукав теории, не в конечности гомологической размерности счастье. Надо пользоваться копроизводными и контрапроизводными категориями в смысле Беккера. Надо пользоваться теоремами периодичности.

В конце концов, что такое плоские модули? Это всего лишь прямые пределы проективных. Прямые пределы, говорит нам второй рукав теории -- не такая уж и сложная штука. Если знать, с какой стороны к ним подойти.

Так я стал писать про fp-проективную периодичность, про периодичность кокручения, про обобщенные теоремы периодичности, про плоскую/проективную периодичность...

Прошли три года, и с апреля 2012 по февраль 2014 года основным объектом моего интереса стали контрагерентные копучки. Это двойственно-аналогичное понятие к квазикогерентным пучкам, которое на протяжении всего периода с весны 2009 по весну 2012 я пытался придумать, и в итоге придумал.

Обнаружилось при этом, что главное явление природы, ответственное за хорошие гомологические свойства категории квазикогерентных пучков, состоит в том, что кольцо функций на аффинной открытой подсхеме аффинной схемы является плоским модулем над кольцом функций на объемлющей аффинной схеме. А главной проблемой, ответственной за более сложное (по сравнению с квазикогерентными пучками) поведение контрагерентных копучков, оказалось то, что модуль этот -- плоский, да, но не проективный.

Сразу же, весной 2012, наметились как бы два рукава, два потока теории контрагерентных копучков. Один состоял в том, чтобы попытаться ограничить масштабы проблемы -- убедиться в том факте, что плоские модули, возникающие в контексте предыдущего абзаца, являются относительно несложно устроенными, в гомологическом смысле, плоскими модулями. Намного проще произвольных плоских модулей над коммутативными кольцами. Следить за этим фактом и пользоваться им.

Второй подход состоял в том, чтобы смириться с необходимостью, в конечном итоге, иметь дело с произвольными плоскими модулями вместо проективных. Первый подход стал называться "локально контраприспособленные контрагерентные копучки", а второй -- "контрагерентные копучки локально кокручения".

***

Вершиной первого подхода стала очень плоская гипотеза, сформулированная в начале 2014 года в Москве и доказанная летом 2017 в Праге и Хайфе. Вершиной второго подхода по состоянию на сегодняшний день представляются теоремы периодичности в гомологической алгебре.