Тоже задача по алгебре
Mar. 30th, 2023 11:26 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПридумать пример кольца A и в нем подкольца B, таких что
1. кольцо A имеет конечную глобальную (гомологическую) размерность;
2. кольцо A -- свободный правый модуль над своим подкольцом B;
3. полная подкатегория всех левых B-модулей, допускающих продолжение структуры B-модуля до структуры A-модуля, не замкнута относительно расширений в категории B-Mod.
Легко удовлетворить условиям 1. и 2., но не 3. Нетрудно удовлетворить условиям 1. и 3., но не 2. Я умею удовлетворить условиям 2. и 3., но не 1. Можно ли удовлетворить всем трем условиям?
Upd.: можно, и даже очень несложно. Взять за A обертывающую алгебру sl_3(C), за B -- обертывающую алгебру максимальной унипотентной подалгебры (строго верхнетреугольных матриц) в sl_3(C), рассмотреть какой-нибудь нетривиальный нильпотентный двумерный модуль над унипотентной подалгеброй.
А вот если я хочу
3'. полная подкатегория всех левых B-модулей, являющихся прямыми слагаемыми B-модулей, допускающих продолжение структуры B-модуля до структуры A-модуля, не замкнута относительно расширений в категории B-Mod.
Снова опять, нетрудно удовлетворить условиям 1. и 3'., но не 2. Я умею удовлетворить условиям 2. и 3'., но не 1. Можно ли удовлетворить условиям 1., 2. и 3'.?
UUpd.: https://mathoverflow.net/questions/443843/modules-over-the-unipotent-subalgebra-as-direct-summands-of-modules-over-a-semis
1. кольцо A имеет конечную глобальную (гомологическую) размерность;
2. кольцо A -- свободный правый модуль над своим подкольцом B;
3. полная подкатегория всех левых B-модулей, допускающих продолжение структуры B-модуля до структуры A-модуля, не замкнута относительно расширений в категории B-Mod.
Легко удовлетворить условиям 1. и 2., но не 3. Нетрудно удовлетворить условиям 1. и 3., но не 2. Я умею удовлетворить условиям 2. и 3., но не 1. Можно ли удовлетворить всем трем условиям?
Upd.: можно, и даже очень несложно. Взять за A обертывающую алгебру sl_3(C), за B -- обертывающую алгебру максимальной унипотентной подалгебры (строго верхнетреугольных матриц) в sl_3(C), рассмотреть какой-нибудь нетривиальный нильпотентный двумерный модуль над унипотентной подалгеброй.
А вот если я хочу
3'. полная подкатегория всех левых B-модулей, являющихся прямыми слагаемыми B-модулей, допускающих продолжение структуры B-модуля до структуры A-модуля, не замкнута относительно расширений в категории B-Mod.
Снова опять, нетрудно удовлетворить условиям 1. и 3'., но не 2. Я умею удовлетворить условиям 2. и 3'., но не 1. Можно ли удовлетворить условиям 1., 2. и 3'.?
UUpd.: https://mathoverflow.net/questions/443843/modules-over-the-unipotent-subalgebra-as-direct-summands-of-modules-over-a-semis
