posic | Entries tagged with math15

по сравнению с беккеровскими -- https://posic.dreamwidth.org/3013311.html

Сейчас мне кажется, что в защиту моего подхода можно сказать три вещи:

1. абсолютные производные категории не имеют беккеровского определения, а только мое;

2. во многих контекстах, в предположениях типа нетеровости, нетрудно доказать, что мои ко/контрапроизводные категории совпадают с беккеровскими; и

3. мои ко/контрапроизводные категории проще определить, и с ними намного проще работать. В частности, скажем, в контексте плоских/локально свободных матричных факторизаций -- что для того, чтобы определить их производную категорию второго рода в смысле Беккера, надо рассматривать произвольные квазикогерентные (а не только когерентные) пучки, это пункт 1.

Но пункт 3. состоит в том, что даже для произвольных плоских пучков, чтобы определить копроизводную категорию в смысле Беккера, надо рассматривать плоские пучки кокручения (!). Вряд ли кто из современных алгебраических геометров, специалистов по каким-нибудь производным стэкам и т.п. вещам, использующих матричные факторизации в своих работах, слыхал когда-либо слова "пучки кокручения" или хотя бы реалистически способен выучить, что они значат.

Тотализации коротких точных последовательностей и замыкание относительно прямых сумм понять проще.

Пусть X -- гладкое аффинное алгебраическое многообразие над полем (скажем, нулевой характеристики), и пусть Y -- открытое аффинное подмногообразие в X. Пучок колец дифференциальных операторов D_X на X квазикогерентен как пучок O_X-модулей слева и справа, поэтому

O(Y)⊗_O(X)D(X) = D(Y) = D(X)⊗_O(X)O(Y).

Отсюда легко следует, что если M -- (скажем, левый) D(X)-модуль, то тензорное произведение O(Y)⊗_O(X)M имеет естественную структуру D(Y)-модуля. При этом если F -- плоский левый D(X)-модуль, то O(Y)⊗_O(X)F -- плоский левый D(Y)-модуль. То же самое для правых модулей.

Задачка: пусть дополнительно к вышеперечисленному дано кольцо A и гомоморфизм колец A → D(X). Пусть M -- (скажем, левый) D(X)-модуль, плоский над A. То есть, ограничение скаляров с D(X) до A снабжает M структурой A-модуля; предположим, что этот A-модуль M плоский. Рассмотрим D(Y)-модуль O(Y)⊗_O(X)M. Ограничение скаляров с D(Y) до D(X) и далее до A снабжает O(Y)⊗_O(X)M структурой A-модуля. Верно ли, что A-модуль O(Y)⊗_O(X)M плоский?

За то, что этот вопрос на самом деле является открытым, не поручусь. Но я уперся в эту задачку сегодня, попробовал решить ее, и не смог.

Делается так. Открывается Notepad. В нем редактируется html-файл. Ставится таг font size="4" (это для любителей крупного шрифта вроде меня). Постинги открываются в ЖЖ на edit и их html-код переносится мышкой в открытый в блокноте файл. Заголовки постингов оформляются тагом h2. Остается всего ничего: вручную расставить таги p и br для разделения текста на абзацы и строки в соответствии с тем, как это было в исходных ЖЖ-постингах. Готовый html-файл открывается в браузере и распечатывается на бумагу браузерной функцией печати.

Цель всего упражнения, естественно, в том, чтобы (помимо размера шрифта и т.д.) сохранить при распечатке 1. подиндексы и надиндексы и 2. математические символы, использовавшиеся в математических постингах.

Двадцать вторая версия, или шестнадцатая в новой серии -- https://arxiv.org/abs/1209.2995

Ошибка, внесенная при предыдущей правке доказательства леммы 6.7.2 + ошибка, обнаруженная в доказательстве основной теоремы главы 8 (о чем я писал здесь) в новой версии исправлены.

Плюс к тому добавлен контрпример к сохранению контрагерентности прямыми образами при неаффинных морфизмах. Производный функтор прямого образа контрагерентных копучков при неаффинных морфизмах, конечно, существует и обсуждается в тексте в разных вариантах, а непроизводный функтор прямого образа лишь частично определен (определен только на приспособленных объектах), как это бывает с неточными функторами между точными категориями.

Читал, читал и нашел вопиющую ошибку в доказательстве основного результата главы 8 (полуко-полуконтра соответствия). Формула согласованности контратензорных произведений с прямыми образами (3.25) доказана в разделе 3.8 только для аффинных морфизмов, для морфизма π в контексте раздела 8.4 ее использовать нельзя.

Надо заделывать теперь как-то. Я надеюсь, изоморфизм (3.25) для неаффинных морфизмов должен быть верен для подходящих классов приспособленных копучков, и доказываться из соображений антилокальности (редукции к аффинному случаю)...

Текст очень сложный, тяжелый. Я сам все время путаюсь. Вот и в последней архивной версии вставил одно "напрашивавшееся" неверное пояснение (первой фразой в начале доказательства леммы 6.7.2). Понятно, что я постараюсь в следующей версии это исправить, но вообще так нельзя. При этом мне очевидно, что я уже несколько раз на протяжении долгих лет работы над рукописью рассматривал идею вставить в этом месте такое полезное, упрощающее пояснение, но успевал сообразить, что оно неверно.

Оставив в стороне причитания о смысле многопроходной доработки и вычитки трактата, детали концепций в котором неспособен удержать в голове даже автор -- сосредоточимся на полезной морали, которую надо извлечь из этого случая. Мораль состоит в том, что если в сложном тексте в каком-то месте подмывает что-то сказать, но приходит second thought, что это неверно -- то надо не оставлять этого дела так, а все-таки вставлять подходящее пояснение. Только не неверное, а верное. Типа, "при таком-то дополнительном предположении, то-то совпадает с тем-то". Или в форме вопроса: а вот верно ли то-то? Это неочевидно потому-то. Или в форме замечания: давайте напомним и суммируем полученные результаты по вопросу...

Хотя, конечно, и без причитаний тут трудно обойтись. Что ж я могу поделать? Бог сохраняет все. Если на то будет Господня воля, то что-то важное вырастет из этого моего труда.