posic | Entries tagged with math15

С чем он связан по значению и с чем не связан?

Можно сказать по-русски "производный феномен" или что-нибудь подобное, в общегуманитарном смысле слова, вовсе не имея в виду никакой математики. В финансах есть термин "деривативы", и т.д. В финансах я не разбираюсь, но за производную категорию могу объяснить.

Читатель моих блогов, получивший университетское образование, но не являющийся математиком, может воображать, что "производная категория" имеет какое-то отношение к понятию "производной от функции", которое ему преподавали в институте. Чтобы завершить путаницу, в моих постингах можно также встретить словосочетание "производный функтор". Тут уж, конечно, не остается никаких сомнений, что "производный функтор" -- это какая-то навороченная версия той производной от функции, что в институте проходили.

Сомнений может не оставаться, но вывод ошибочен. Навскидку, вот четыре омонимических значения прилагательного "производный/ая/ое", встречающихся в математике (я думаю, что на самом деле их больше):

1. производная от функции (дальше идут вторая-третья-... и т.д. производная; частная производная; обратная операция -- первообразная, известная также как интеграл, и т.д.)

2. производная группа (коммутант)

3. производное множество (множество предельных точек)

4. производная категория (дальше в ту же степь производный функтор).

Пункты 2. и 3., как я понимаю, образованы от пункта 1. по аналогии в видах удобства обозначений. Есть общеизвестные обозначения для второй, третьей и т.д. производных -- штрихи сверху справа от буквы, циферка или буковка в скобочках сверху справа, и т.д.

Чтобы применять такие же обозначения к итерированным коммутантам (которые важны в контексте понятия разрешимой группы, в теории Галуа и задаче о разрешимости полиномиальных уравнений в радикалах) и к итерированным множествам предельных точек (которые рассматриваются в теории функций действительного переменного и общей топологии), люди стали обозначать эти операции, как производную от функции, и называть тоже "производными".

Это у меня такая фольк-этимология; она кажется мне правдоподобной. Истории вопроса я не изучал; если что, пусть специалисты меня поправят.

С пунктом 4. еще интереснее. Никаких вторых производных категорий (производных категорий от производных категорий) или вторых производных функторов (производных функторов от производных функторов) никто никогда не рассматривает, насколько я могу об этом судить.

Понятие о "частном производном функторе" имеет смысл для функтора нескольких аргументов (хотя я не видел, чтобы его так называли в литературе), но во всех классических примерах функторов двух аргументов, производный функтор по первому аргументу совпадает с производным функтором по второму аргументу. То есть, неожиданное для мат. анализа уравнение типа ∂f/∂x = ∂f/∂y выполнено в большинстве случаев.

(В редких сложных случаях, когда оно не выполнено, вы, конечно, предпочтете довести процесс взятия производного функтора до конца и работать с полноценным производным функтором типа ∂²f/∂x∂y.)

Обозначения для производных функторов, конечно, не те, что в двух предыдущих абзацах, а совершенно другие. Я их здесь не выписываю.

По содержанию соответствующих понятий, ни производная категория, ни производный функтор не имеют к производной от функции никакого отношения. Единственный общий элемент семантики прилагательного "производный" в словоупотреблениях 1. и 4. в списке выше можно усмотреть на общегуманитарном уровне. Та и другая производная суть "производные феномены" от соответствующих исходных феноменов, в самом расплывчатом и неконкретном смысле слова. Никакой другой связи или аналогии между 1. и 4. нет.

...Главное, что надо понимать про математическую терминологию -- это что понятий в математике намного больше, чем подходящих к ним слов в естественном языке. Поэтому (а) омонимия цветет и пахнет и/или (б) в роли точных терминов используются длиннейшие словосочетания.

Я в своих терминологических решениях обычно предпочитаю опцию (б). Поэтому у меня речь идет о "контрапроизводной категории W-локально контрагерентных копучков локально кокручения на квазикомпактной полуотделимой схеме X" и т.п. нагромождениях слов и букв.

Похоже, что Джозеф Липман, как и его соавторы по интересующим меня работам Лео Алонсо и Ана Херемиас -- крупные специалисты по схемам и формальным схемам. Две их статьи про MGM-двойственность, в которые я гляжу, полны технических деталей, мне совершенно непонятных.

Стыдно, конечно, что я до сих пор не ссылался на эти статьи (на них ссылался Йекутиели, на которого ссылался я). Но там действительно трудно понять, о чем идет речь, и нет большого смысла ссылаться, не понимая.

В основы теории формальных схем мне еще придется вникать (если я буду жив и работоспособен). Конечно, в каком-то смысле формальные схемы суть частный случай инд-схем, а в инд-схемы я уже в немалой степени вник при написании одной из предыдущих книжек. Но дело к этому ни разу не сводится.

Конечно, контрамодули (а в неаффинном случае, и контрагерентные копучки) очень сильно проясняют MGM-двойственность. Но тут как обычно -- я "генералист", все время пересекающий границы областей; а которые авторы сконцентрированы в одной области, те лучше в ней разбираются. Контрамодули и т.д. -- весьма универсальный инструмент, они много чего проясняют. А в детали придется вникать, насколько это возможно.

Одна из проблем в том, что интересующие меня работы этих авторов -- довольно старые. Деталей-то в них много, а ясности-то в них меньше (на мой вкус). В чем смысл ссылаться на переусложненные старые, отчасти устаревшие работы, что эти ссылки реально дадут читателю? Впрочем, то же самое кто-то когда-то в будущем скажет и про мои тексты. Я-то старался навести ясность, но по итогу мои статьи и книги тоже переполнены деталями, только это другие детали.

Допустим, еще в 2012-13 годах была у меня голубая мечта -- рассмотреть контрапроизводную категорию контрагерентных DG-контрамодулей над комплексом де Рама-Витта. Я даже вставил упоминание этой мечты во введение к препринту про контрагерентные копучки.

Что такое комплекс де Рама-Витта, я до сих пор не выучил, и даже толком не пытался. Не знаю, получится ли, когда-если попытаюсь. Но я давно знаю, что есть такой комплекс де Рама-Витта. Идея в том, что он, видимо, важен для алгебраической теории чисел и арифметической геометрии.

Зато я последовательно рассматривал:

- контрапроизводную категорию CDG-контрамодулей над CDG-коалгеброй над полем;
- производную и контрапроизводную категорию контрагерентных копучков над схемой;
- производную категорию контрамодулей над адическим пополнением коммутативного кольца;
- контрапроизводную категорию CDG-модулей над CDG-кольцом;
- контрапроизводную категорию контрамодулей над топологическим кольцом;
- контрапроизводную категорию контрагерентных DG-модулей над комплексом де Рама.

Чего недостает в этом списке частичных комбинаций основных ингредиентов? Кроме комплекса де Рама-Витта?

Конечно, недостает контрагерентных копучков контрамодулей! Контрагерентные копучки контрамодулей я пока еще не рассматривал. Но собираюсь.

Вчера ввечеру, выпив два бокала красного бурчака в районе математического здания университета и вернувшись на работу, приключилась у меня небольшая когнитивная катастрофа. Открылось мне, что понятие беккеровской ко/контрапроизводной категории присуще не точной DG-категории, а точной DG-паре. Это грозило еще существенно усложнить и без того запутанный клубок теорий, которые я разрабатываю.

Но я не испугался, а сегодня на ночь глядя отправился на прогулку, и выпил стаканчик белого бурчака на Малостранской площади. И мне повезло: вернувшись домой, открылось мне, что такой проблемы, кажется, нет. Понятие беккеровской ко/контрапроизводной категории не зависит от точной DG-пары, а зависит только от ее подлежащей точной DG-категории.

[Здесь я собирался написать простое и короткое утверждение из области теории точных категорий, объясняющее, почему такой проблемы нет. Но сообразил, что утверждение мое неверно. После этого я придумал другое рассуждение, доказывающее все-таки, что проблемы нет. Но это более сложное рассуждение принадлежит уже не к теории точных категорий, а к теории точных DG-категорий; и поля этой записи слишком узки, чтобы воспроизвести его здесь.]

Таким образом, если я в этот раз нигде не ошибся, то у меня теперь есть 1. встающая на, казалось бы, ровном месте неожиданная, пугающая проблема, и 2. счастливое решение, показывающее, что такой проблемы нет. Я был наивен, а стал мудрее. Да здравствует бурчак!

(в обоих случаях, квазикогерентного пучка и контрагерентного копучка; как в недавнем репосте постинга 2012 года) -- это яркий пример, конечно. Или двойственная пара понятий -- квазикогерентный пучок Hom (каллиграфическими буквами написанный Hom) между двумя квазикогерентными пучками версус контрагерентный копучок Hom (готическими буквами написанный Hom) между двумя квазикогерентными пучками.

[Квазикогерентный пучок Hom между двумя квазикогерентными пучками -- очень осмысленное понятие, кстати, только оно нелокально. Которые не доучились до этой точки, думают, что пучок Hom между двумя квазикогерентными пучками обычно не квазикогерентен, зато локален. Первый из двух пучков Hom в этом абзаце-отступлении в квадратных скобках получается применением ко второму пучку Hom нелокального функтора "когератор". Это я просто объясняю на случай, если какой невежда решит, что я не понимаю, о чем пишу. Пусть пополнит свое образование. Кстати, остальные три функтора, упомянутые в заголовке и первом абзаце, тоже нелокальны.]

Яркими примерами чего являются эти пары понятий? Да вот именно того, что выучить эту мою науку современный математический мир не в состоянии. Тринадцать лет прошло; множество всех людей, способных без подготовки объяснить хотя бы очень приблизительно, что такое контрагерентное тензорное произведение и чем оно отличается от контратензорного произведения -- состоит по-прежнему из одного человека (меня). Насколько я могу об этом судить. Причем это было абсолютно очевидно заранее; ничего другого не ожидалось и не могло ожидаться в 2012 году. Если еще через тринадцать лет это множество будет состоять из двух человек, это будет очень хороший результат.

Какой же смысл подробно писать книгу за книгой о том, чего никто не понимает? Во-первых, есть надежда, что когда-нибудь кто-нибудь разберется. Во-вторых, поднявшись на заледеневшую вершину, можно посмотреть сверху на долины внизу и увидеть что-то ускользнувшее от взоров людей, на эту вершину не поднимавшихся. Да, тринадцать лет прошли, и контрагерентных копучков по-прежнему почти никто, кроме меня, не понимает. (Оговорка "почти" существенна -- ситуация все-таки медленно улучшается.) Зато кто-то изучил и понял другие мои идеи, до которых я никогда бы не додумался, если бы не провел много месяцев или лет в размышлениях о контрагерентных копучках.

Это известно со времен диссертации Басса (конец 1950х годов), а может быть, и раньше. В частности, над конечномерной ассоциативной алгеброй над полем, все плоские модули проективны.

После недели размышлений, сегодня вечером я нашел новое и поистине удивительное доказательство этого факта. Вернее, не только этого факта, а его обобщения на относительный случай, когда базовое поле заменяется на произвольное ассоциативное кольцо. Поля этого блога слишком узки, но я надеюсь, что мое доказательство увидит свет в новой версии препринта, который я пишу.

Пусть A → B -- гомоморфизм коммутативных колец, пусть С и D -- коммутативные алгебры над кольцом B, и пусть f: C → D -- их гомоморфизм как алгебр над кольцом A (но не над кольцом B). Тогда, вопреки изложению в EGA, нет никакого способа построить по f отображение квазикогерентных пучков алгебр над Spec B, соответствующих B-алгебрам C и D. В смысле, не обязательно B-линейный, но даже A-линейный гомоморфизм пучков колец на Spec B соответствующих построить нельзя.

В самом деле, пусть b ∈ B -- какой-то элемент, и пусть U = Spec B[b⁻¹] -- соответствующая главная аффинная открытая подсхема в Spec B. Тогда кольца сечений наших двух пучков колец на Spec B над аффинной открытой подсхемой U ⊂ B суть C[b⁻¹] и D[b⁻¹]. Если гомоморфизм f: C → D не обязан переводить образ элемента b в C в образ элемента b в D, то f индуцирует гомоморфизм колец C[b⁻¹] → D[f(b)⁻¹], а гомоморфизм колец C[b⁻¹] → D[b⁻¹] построить по f нет никакой возможности.

Утверждение [EGA, Proposition IV.16.5.2] верно, конечно; оно несложное. У меня есть технология доказательства таких вещей. На этой почве я заинтересовался случайно замеченной в EGA пропозицией, в том плане, что у Гротендика это получается проще, чем у меня, и не надо ли сослаться. Но на данный момент вывод состоит в том, что доказательство этого утверждения в EGA ошибочно.

Свести понятие о дифференцировании (derivation) к понятию о гомоморфизме колец -- можно. Это сводит разрешимую в общем виде задачу о локализации дифференцирований к неразрешимой в общем виде задаче о локализации гомоморфизмов. Потому что инфинитезимальные гомоморфизмы колец локализуются, даже если они нелинейны, а настоящие нелинейные гомоморфизмы колец не локализуются.

Никаких упоминаний об этой ошибке я в интернете не нашел. Однако, нашлось упоминание другой и, видимо, гораздо более содержательной ошибки в EGA IV, которую признал в другой публикации Гротендик, а потом исправили Рэйно и Грюзон (допустив, в свою очередь, ошибку, которую позже исправил Перри) -- https://mathoverflow.net/questions/10731/possible-formal-smoothness-mistake-in-ega

https://posic.dreamwidth.org/286504.html

Впечатляющий тем, насколько он остается актуальным сегодня. Насколько мало изменилось за 16 лет. Ну, то есть, что-то изменилось: 16 лет назад я только сокрушался, а теперь я действительно пишу на все эти темы. Понимания стало больше. Но не так уж и намного -- на вопросы, поставленные в том постинге, ответов нет как нет. За 16 лет я смирился с тем, что их нет...

в смеси с ко-контра соответствием над неаффинным многообразием -- https://posic.dreamwidth.org/2114968.html

Пять лет прошли. Теперь я пишу об этом. Про эквивалентность производных категорий квазикогерентных пучков D-модулей и контрагерентных копучков D-модулей уже написал.

Наряду с математическими, в моей жизни бывают, или когда-то бывали, также и педагогические открытия. Из области преподавания научной математики. Когда-то давно я открыл прекрасный способ объяснять, что такое трансфинитные числа (они же ординалы). Трансфинитные числа -- это вот что:

ноль, один, два, три, ..., бесконечность, бесконечность плюс один, бесконечность плюс два, бесконечность плюс три, ..., бесконечность плюс бесконечность, бесконечность плюс бесконечность плюс один, бесконечность плюс бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс бесконечность плюс бесконечность, ..., бесконечность плюс бесконечность бесконечное число раз, бесконечность плюс бесконечность бесконечное число раз плюс один, бесконечность плюс бесконечность бесконечное число раз плюс два, ...

по сравнению с беккеровскими -- https://posic.dreamwidth.org/3013311.html

Сейчас мне кажется, что в защиту моего подхода можно сказать три вещи:

1. абсолютные производные категории не имеют беккеровского определения, а только мое;

2. во многих контекстах, в предположениях типа нетеровости, нетрудно доказать, что мои ко/контрапроизводные категории совпадают с беккеровскими; и

3. мои ко/контрапроизводные категории проще определить, и с ними намного проще работать. В частности, скажем, в контексте плоских/локально свободных матричных факторизаций -- что для того, чтобы определить их производную категорию второго рода в смысле Беккера, надо рассматривать произвольные квазикогерентные (а не только когерентные) пучки, это пункт 1.

Но пункт 3. состоит в том, что даже для произвольных плоских пучков, чтобы определить копроизводную категорию в смысле Беккера, надо рассматривать плоские пучки кокручения (!). Вряд ли кто из современных алгебраических геометров, специалистов по каким-нибудь производным стэкам и т.п. вещам, использующих матричные факторизации в своих работах, слыхал когда-либо слова "пучки кокручения" или хотя бы реалистически способен выучить, что они значат.

Тотализации коротких точных последовательностей и замыкание относительно прямых сумм понять проще.

Пусть X -- гладкое аффинное алгебраическое многообразие над полем (скажем, нулевой характеристики), и пусть Y -- открытое аффинное подмногообразие в X. Пучок колец дифференциальных операторов D_X на X квазикогерентен как пучок O_X-модулей слева и справа, поэтому

O(Y)⊗_O(X)D(X) = D(Y) = D(X)⊗_O(X)O(Y).

Отсюда легко следует, что если M -- (скажем, левый) D(X)-модуль, то тензорное произведение O(Y)⊗_O(X)M имеет естественную структуру D(Y)-модуля. При этом если F -- плоский левый D(X)-модуль, то O(Y)⊗_O(X)F -- плоский левый D(Y)-модуль. То же самое для правых модулей.

Задачка: пусть дополнительно к вышеперечисленному дано кольцо A и гомоморфизм колец A → D(X). Пусть M -- (скажем, левый) D(X)-модуль, плоский над A. То есть, ограничение скаляров с D(X) до A снабжает M структурой A-модуля; предположим, что этот A-модуль M плоский. Рассмотрим D(Y)-модуль O(Y)⊗_O(X)M. Ограничение скаляров с D(Y) до D(X) и далее до A снабжает O(Y)⊗_O(X)M структурой A-модуля. Верно ли, что A-модуль O(Y)⊗_O(X)M плоский?

За то, что этот вопрос на самом деле является открытым, не поручусь. Но я уперся в эту задачку сегодня, попробовал решить ее, и не смог.

Делается так. Открывается Notepad. В нем редактируется html-файл. Ставится таг font size="4" (это для любителей крупного шрифта вроде меня). Постинги открываются в ЖЖ на edit и их html-код переносится мышкой в открытый в блокноте файл. Заголовки постингов оформляются тагом h2. Остается всего ничего: вручную расставить таги p и br для разделения текста на абзацы и строки в соответствии с тем, как это было в исходных ЖЖ-постингах. Готовый html-файл открывается в браузере и распечатывается на бумагу браузерной функцией печати.

Цель всего упражнения, естественно, в том, чтобы (помимо размера шрифта и т.д.) сохранить при распечатке 1. подиндексы и надиндексы и 2. математические символы, использовавшиеся в математических постингах.

Двадцать вторая версия, или шестнадцатая в новой серии -- https://arxiv.org/abs/1209.2995

Ошибка, внесенная при предыдущей правке доказательства леммы 6.7.2 + ошибка, обнаруженная в доказательстве основной теоремы главы 8 (о чем я писал здесь) в новой версии исправлены.

Плюс к тому добавлен контрпример к сохранению контрагерентности прямыми образами при неаффинных морфизмах. Производный функтор прямого образа контрагерентных копучков при неаффинных морфизмах, конечно, существует и обсуждается в тексте в разных вариантах, а непроизводный функтор прямого образа лишь частично определен (определен только на приспособленных объектах), как это бывает с неточными функторами между точными категориями.

Читал, читал и нашел вопиющую ошибку в доказательстве основного результата главы 8 (полуко-полуконтра соответствия). Формула согласованности контратензорных произведений с прямыми образами (3.25) доказана в разделе 3.8 только для аффинных морфизмов, для морфизма π в контексте раздела 8.4 ее использовать нельзя.

Надо заделывать теперь как-то. Я надеюсь, изоморфизм (3.25) для неаффинных морфизмов должен быть верен для подходящих классов приспособленных копучков, и доказываться из соображений антилокальности (редукции к аффинному случаю)...

Текст очень сложный, тяжелый. Я сам все время путаюсь. Вот и в последней архивной версии вставил одно "напрашивавшееся" неверное пояснение (первой фразой в начале доказательства леммы 6.7.2). Понятно, что я постараюсь в следующей версии это исправить, но вообще так нельзя. При этом мне очевидно, что я уже несколько раз на протяжении долгих лет работы над рукописью рассматривал идею вставить в этом месте такое полезное, упрощающее пояснение, но успевал сообразить, что оно неверно.

Оставив в стороне причитания о смысле многопроходной доработки и вычитки трактата, детали концепций в котором неспособен удержать в голове даже автор -- сосредоточимся на полезной морали, которую надо извлечь из этого случая. Мораль состоит в том, что если в сложном тексте в каком-то месте подмывает что-то сказать, но приходит second thought, что это неверно -- то надо не оставлять этого дела так, а все-таки вставлять подходящее пояснение. Только не неверное, а верное. Типа, "при таком-то дополнительном предположении, то-то совпадает с тем-то". Или в форме вопроса: а вот верно ли то-то? Это неочевидно потому-то. Или в форме замечания: давайте напомним и суммируем полученные результаты по вопросу...

Хотя, конечно, и без причитаний тут трудно обойтись. Что ж я могу поделать? Бог сохраняет все. Если на то будет Господня воля, то что-то важное вырастет из этого моего труда.