А вот задачка. Кому задачку?
Apr. 15th, 2025 04:35 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть X -- гладкое аффинное алгебраическое многообразие над полем (скажем, нулевой характеристики), и пусть Y -- открытое аффинное подмногообразие в X. Пучок колец дифференциальных операторов DX на X квазикогерентен как пучок OX-модулей слева и справа, поэтому
O(Y)⊗O(X)D(X) = D(Y) = D(X)⊗O(X)O(Y).
Отсюда легко следует, что если M -- (скажем, левый) D(X)-модуль, то тензорное произведение O(Y)⊗O(X)M имеет естественную структуру D(Y)-модуля. При этом если F -- плоский левый D(X)-модуль, то O(Y)⊗O(X)F -- плоский левый D(Y)-модуль. То же самое для правых модулей.
Задачка: пусть дополнительно к вышеперечисленному дано кольцо A и гомоморфизм колец A → D(X). Пусть M -- (скажем, левый) D(X)-модуль, плоский над A. То есть, ограничение скаляров с D(X) до A снабжает M структурой A-модуля; предположим, что этот A-модуль M плоский. Рассмотрим D(Y)-модуль O(Y)⊗O(X)M. Ограничение скаляров с D(Y) до D(X) и далее до A снабжает O(Y)⊗O(X)M структурой A-модуля. Верно ли, что A-модуль O(Y)⊗O(X)M плоский?
За то, что этот вопрос на самом деле является открытым, не поручусь. Но я уперся в эту задачку сегодня, попробовал решить ее, и не смог.
O(Y)⊗O(X)D(X) = D(Y) = D(X)⊗O(X)O(Y).
Отсюда легко следует, что если M -- (скажем, левый) D(X)-модуль, то тензорное произведение O(Y)⊗O(X)M имеет естественную структуру D(Y)-модуля. При этом если F -- плоский левый D(X)-модуль, то O(Y)⊗O(X)F -- плоский левый D(Y)-модуль. То же самое для правых модулей.
Задачка: пусть дополнительно к вышеперечисленному дано кольцо A и гомоморфизм колец A → D(X). Пусть M -- (скажем, левый) D(X)-модуль, плоский над A. То есть, ограничение скаляров с D(X) до A снабжает M структурой A-модуля; предположим, что этот A-модуль M плоский. Рассмотрим D(Y)-модуль O(Y)⊗O(X)M. Ограничение скаляров с D(Y) до D(X) и далее до A снабжает O(Y)⊗O(X)M структурой A-модуля. Верно ли, что A-модуль O(Y)⊗O(X)M плоский?
За то, что этот вопрос на самом деле является открытым, не поручусь. Но я уперся в эту задачку сегодня, попробовал решить ее, и не смог.
