posic

Два важнейших контрпримера -- одного из которых у меня десять лет недоставало! С весны 2008 года! -- другого всего три года (с поздней осени 2015). Первый найден в литературе (в книжке 1996 года), второй я вчера вечером придумал сам (обильно пользуясь литературой и консультациями со специалистами).

Есть такая книжка V.I. Arnautov, S.T. Glavatsky, A.V. Mikhalev, "Introduction to the theory of topological rings and modules", Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 197, Marcel Dekker, New York, 1996.

Теорема 4.1.48 на странице 292 там утверждает, что всякая отделимая топологическая абелева группа X является факторгруппой (с фактортопологией) некоторой полной отделимой топологической абелевой группы Y по замкнутой подгруппе. Берется Y, равная прямой сумме счетного числа копий X, и приводится явная конструкция полной отделимой топологии на Y по произвольной отделимой топологии на X.

Теорема 4.1.49 утверждает, что аналогично можно получить любое отделимое кольцо как факторкольцо полного отделимого кольца по замкнутому идеалу, с помощью той же конструкции. Но это утверждение уже явно неверно, по-моему (отображение не является гомоморфизмом колец). Интересно, верно ли доказательство теоремы 4.1.48 (про группы).

P.S. Да, мне кажется, доказательство теоремы 4.1.48 верно. Прекрасный контрпример!

Получается так: мы хотим доказать, что проективная размерность второго кольца как модуля над первым не превосходит единицы. Это выводится из некоторого свойства Hom-перпендикулярности некоторых модулей Ext. На самом деле, это эквивалентная переформулировка, как совсем нетрудно видеть.

Некоторые модули Hom в Q/Z, двойственные к модулям кручения, образуют намного более узкий класс модулей. Эти модули очевидным образом обладают некоторым более сильным свойством Ext-перпендикулярности. Нам нужно выразить произвольный модуль Ext определенного типа через модули Hom в Q/Z так, чтобы известное нам свойство Ext-перпендикулярности, которым обладают вторые, влекло за собой интересующее нас свойство Hom-перпендикулярности, которым хотелось бы, чтобы обладали первые.

К интересующим нас модулям Ext определенного типа сходится спектралка от модулей Ext более частного вида, образующих класс, промежуточный между двумя классами модулей, о которых шла речь выше. Грубо-приблизительно говоря, мы хотим свести интересующий нас вопрос Hom-перпендикулярности модулей Ext определенного типа к такому же свойству Hom-перпендикулярности модулей Ext более частного вида, а этот вопрос потом свести к свойству Ext-перпендикулярности модулей Hom в Q/Z.

И вот на этом-то этапе мы замечаем, что все модули Ext более частного вида являются контрамодулями над некоторым топологическим кольцом. Предположение счетной базы окрестностей нуля у этого топологического кольца делает теорию таких контрамодулей технически достаточно мощной, чтобы обеспечить возможность сведения интересующих вопросов перпендикулярности с широкого класса модулей Ext определенного типа к классу всех контрамодулей над этим топологическим кольцом, а там и к модулям Hom, двойственным к модулям кручения.

При этом без предположения счетности базы теорема, которую мы таким образом доказали, просто неверна, конечно.

Как все это называется? "Из пушки по воробьям", все это называется! Контрамодули выступают здесь в роли вспомогательного технического инструмента гомологической алгебры колец и модулей. Вся надежда на то, что инструмент этот окажется достаточно эффективным.

Говоря о математическом содержании всей этой деятельности, можно сказать, что есть как бы три слоя:

0. Классическая гомологическая алгебра Гротендика, Вердье и Делиня (середина 1960х -- середина 1980х годов). Это такая гомологическая алгебра, в которой левые производные функторы обычно определены только на комплексах, ограниченных сверху, а правые -- на комплексах, ограниченных снизу.

I. Гомологическая алгебра неограниченных комплексов и DG-модулей, имени Спалтенштейна и Келлера (конец 1980х -- середина 1990х годов). Это то, что в моих работах стало называться (на языке, восходящем к работе Хьюзмоллера, Мура и Сташефа 1974 года) "производными категориями и функторами первого рода".

II. Теории второго рода и все, что с ними связано. Здесь нужно назвать имена Хинича и Краузе (из ранних работ) и Ханно Беккера (из поздних), а также, может быть, кого-то из людей, писавших про операдную кошулеву двойственность. Сюда относится моя деятельность, основные компоненты которой составляют такой комплект "неклассических направлений в гомологической алгебре":

1. алгебры с кривизной (CDG-алгебры);
2. копроизводные и контрапроизводные категории;
3. комодули и контрамодули;
4. промежуточные, относительные и смешанные с классическими конструкции (полупроизводные и псевдопроизводные категории, слабо искривленные алгебры и т.д.)

По большей части, в последние 12 (а то, так и почти 20) лет я занимался поиском примеров, проявлений и приложений этих сущностей в разных областях алгебраической части математики. То есть, цель состояла в том, чтобы интегрировать это неклассическое в основное тело современной алгебры, идентифицировав и проработав по одному те ее (современной алгебры) аспекты, в которой его (этого неклассического) особенно недостает. В которых оно может сыграть важную проясняющую роль, и т.д.

Одновременно я стремился развивать и поддерживать существование "теорий второго рода в гомологической алгебре" как целостного направления со своей философией и общим комплектом технических средств. В целом идея состояла в том, что есть такой важный круг идей в алгебре, пропущенный классиками, разработка которого поможет прояснить мутное, укрепить шатающееся, соединить разъединенное, влить жизнь в иссушенное и т.д.

Мне кажется, что в целом все это неплохо получается, как сейчас уже видно. Это важно -- то, что я сделал за эти годы и делаю. И мысль об этом очень утешительна.

Между прочим, мне иногда везет. Как многие слыхали (я, например -- еще будучи школьником, от Ю.П. Размыслова), все люди в теории некоммутативных колец делятся на "левых" и "правых". В смысле, тех, для кого слова "модуль над кольцом" означают по умолчанию -- левый модуль, и тех, для кого этот модуль правый.

Вопрос связан с тем, с какой стороны от аргумента писать функцию -- f(x) или (x)f, с известной проблемой контринтуитивности обозначений для композиции отображений, и т.д. В целом, как я понимаю, история некоммутативной алгебры сложилась так, что более старорежимные люди предпочитают правые модули, а испытавшие больше современных влияний -- левые. Условно говоря, можно ожидать, что алгебраист с мехмата МГУ будет писать элементы кольца справа от элементов модуля, а алгебраист с матфака ВШЭ -- слева.

В Праге модули по умолчанию правые. Для меня модули по умолчанию левые.

Так или иначе, в классической монографии Бо Стенстрёма про некоммутативные кольца частных предпочитаются правые модули. Рассматриваются топологии Габриэля, состоящие из правых идеалов, каждому правому модулю сопоставляется его модуль частных относительно такой топологии, и т.д. Произвольная категория Гротендика представляется в виде факторкатегории категории правых модулей над ассоциативным кольцом по локализующей подкатегории модулей кручения относительно такой топологии, и т.д. Конечно, там встречаются и левые модули (например, совершенным топологиям Габриэля правых идеалов соответствуют плоские слева эпиморфизмы колец), но правых больше.

В оригинальной диссертации Габриэля, как я сейчас погляжу, использовалась та же конвенция -- конструкция локализации применяется к правым модулям. Но Бурбаки, вставившие конструкцию некоммутативной локализации в упражнения к своей книге по коммутативной алгебре, написали ее для левых модулей.

Я еще в 2000-02 и 2006 годах, начиная писать про контрамодули над коалгебрами, полуалгебрами, кокольцами и т.д., принял конвенцию, что комодули могут быть как левыми, так и правыми, но контрамодули практически всегда левые. На самом деле, в этой науке нередко нужно рассматривать бикомодули (левые над одной коалгеброй и правые над другой, или даже над той же самой одновременно); но биконтрамодули, кажется, никогда не встречаются.

В 2007-08 годах у меня появились левые контрамодули над топологическими кольцами. Для того, чтобы их определение имело смысл, кольцо должно иметь базу топологии, состоящую из правых идеалов. Наряду с левыми контрамодулями, над таким кольцом имеет смысл рассматривать правые дискретные модули (они же модули кручения -- грубо говоря, примерно то же самое, что комодули).

Десять лет прошло, длинный ряд текстов про (естественно, всегда левые) контрамодули я постепенно понаписал за эти годы. Наконец, и конструкция некоммутативной локализации из книжки Стенстрёма привлекла к себе мое внимание. И -- ура! Там топологии правых идеалов, и у меня топологии правых идеалов. Там правые модули кручения, и у меня дискретные правые модули. Моя конвенция про левое и правое оказалась совместима с классической!

А что у классиков не было контрамодулей (ни правых, ни левых), так у меня зато они есть.

Я, кстати, вовсе не стал бы об этом думать, если бы не было конкретной цели и задачи. Я вообще человек в таких делах осторожный и нерешительный, и ни над чем не начинаю размышлять, пока не увижу с разных точек зрения, что оно должно быть там такое и нужно мне.

Я знаю, что я хочу контраполнять (S-топологии, фильтры Габриэля, подмножества Томасона в спектрах и т.д.) и что потом с этим делать (доказывать полную строгость забывающего функтора из контрамодулей в модули, строить MGM-двойственность в контексте теоремы Попеску-Габриэля и т.д). Другой вопрос, получится ли оно.

Ладно, поздно уже. Попробую заснуть.

Топологическая абелева группа с отделимой линейной топологией называется контраполной, если всякое, индексированное произвольным множеством, сходящееся к нулю семейство элементов этой группы имеет в ней сумму. Т.е., предел конечных частичных сумм существует в такой ситуации.

Подгруппа топологической абелевой группы с отделимой линейной топологией называется в ней контраплотной, если всякий элемент объемлющей группы можно получить как сумму сходящегося к нулю семейства элементов подгруппы.

Контрапополнением топологической абелевой группы с отделимой линейной топологией называется ... подгруппа обычного пополнения (проективного предела дискретных факторов), состоящая из всех сумм сходящихся к нулю последовательностей? ... Группа, элементами которой являются сходящиейся к нулю последовательности с отношением эквивалентности -- сумма дизъюнктного объединения одной последовательности с минус другой равна нулю? ... Это одно и то же?

Вот это, действительно, всем определениям определение!

(В случае счетной базы окрестностей нуля теория совпадает с классической, конечно.)

Одна идея вертится у меня в голове в последние недели: что контрамодули над целыми p-адическими числами являются неархимедовыми аналогами банаховых пространств. Что делать с этой идеей и куда ее положить, не соображу.

Что такое банахово пространство (над вещественными или комплексными числами)? Правильная категория банаховых пространств -- это та, в которой морфизмы -- не произвольные непрерывные ( = ограниченные) линейные операторы, а контракции. Линейные операторы, по норме не превосходящие единицы. Эта категория даже не аддитивна, зато в ней есть бесконечные прямые суммы и произведения (в категории банаховых пространств и непрерывных линейных отображений их не существует).

Другими словами ту же мысль можно выразить так: правильный забывающий функтор из банаховых пространств в множества сопоставляет банахову пространству его замкнутый единичный шар. Замкнутый единичный шар банахова пространства -- это такой, практически, алгебраический объект. Множество с операциями. Какими операциями?

Любой последовательности векторов из единичного шара банахова пространства и любому ряду числовых коэффициентов (вещественных или комплексных -- смотря над каким из этих полей наше банахово пространство) с суммой абсолютных величин этих числовых коэффициентов, не превосходящей единицы -- сопоставляется вектор из единичного шара: сумма этих векторов с этими коэффициентами. Уравнения, которым удовлетворяет эта бесконечноместная алгебраическая операция, нетрудно выписать (что бывает, когда один и тот же вектор с разными коэффициентами складывают (унитальность) + от перестановки слагаемых значение суммы не меняется (коммутативность) + в сумме ряда сумм рядов можно раскрыть скобки и просуммировать сразу по всей двухиндексной последовательности (ассоциативность) -- я ничего не пропустил?) Тогда множество с такой операцией, удовлетворяющей таким аксиомам, однозначно определяет банахово пространство, замкнутым единичным шаром которого оно является.

На современном жаргоне можно сказать, что категория банаховых пространств с контракциями в качестве морфизмов эквивалентна категории алгебр над соответствующей монадой на категории множеств. Что это за монада? Если быть точным, то она сопоставляет произвольному множеству X подлежащее множество единичного шара банахова пространства эль-один последовательностей чисел, индексированных элементами Х. Т.е., множество всех таких последовательностей с суммой абсолютных величин значений во всех точках, не превосходящей единицу. Конечно, носитель каждой такой последовательности не более, чем счетен (какова бы ни была мощность X). Поэтому говорят, что категория банаховых пространств с контракциями в качестве морфизмов "алеф-один локально представима" (алеф-один здесь фигурирует как кардинал, непосредственно следующий за счетным кардиналом).

Update: оказывается, вышеизложенное совершенно неверно, а я запутался. Объекты вышеописанной "алгебраической версии категории банаховых пространств" называются тотально выпуклыми пространствами. Банаховы пространства образуют в их категории полную подкатегорию, как утверждается, рефлективную. Обе категории алеф-один локально представимы.

Вот пример тотально выпуклого пространства, не являющегося единичным шаром банахова пространства: взять замкнутый единичный шар любого банахова пространства (например, одномерного -- отрезок [-1,1]) и профакторизовать по отношению эквивалентности, склеивающему все внутренние точки в одну толстую точку. Кроме того, открытый единичный шар любого банахова пространства тоже является тотально выпуклым пространством.

Частным случаем контрамодуля над коалгеброй является контрамодуль над коалгеброй, двойственной к алгебре формальных степенных рядов от одной переменной. Аналогом предыдущего является контрамодуль над кольцом целых p-адических чисел. Обобщением предыдущего является левый контрамодуль над топологическим ассоциативным кольцом с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов.

Частным случаем предыдущего является контрамодуль над проартиновым топологическим локальным коммутативным кольцом. Частным случаем предыдущего явлется контрамодуль над полным нетеровым коммутативным локальным кольцом. Обобщением предыдущего является контрамодуль над нетеровым коммутативным кольцом в адической топологии идеала.

Обобщением предыдущего является контрамодуль над произвольным коммутативным кольцом в адической топологии конечно-порожденного идеала. Частным случаем предыдущего является контрамодуль над коммутативным кольцом в адической топологии главного идеала. Обобщением предыдущего является контрамодуль над коммутативным кольцом с мультипликативным подмножеством.

Вы прослушали краткую историю моих математических занятий за последние пятнадцать лет. Поводом к ее публикации стало то, что сейчас, кажется, наклевывается очередной переход в этой цепочке (некое обобщение...)

1. Бывают науки, в которых сильные на вид утверждения оказываются неожиданно верны. Такова, например, наука про теории кокручения и тильтинг (в которой теперь оказались релевантны мои контрамодули). И бывают науки, в которых слабые на вид утверждения оказываются неожиданно неверны. Такова наука про производную кошулеву двойственность (для нужд которой я когда-то придумал производные категории второго рода).

Классические примеры областей математики, в которых слабые на вид утверждения оказываются неожиданно неверными -- это общая топология, топологическая алгебра, и т.д. В этом смысле, производная кошулева двойственность оказывается похожей на общую топологию.

Сильные общие утверждения в таких областях (теорема Тихонова, "три теоремы теории банаховых пространств" и т.д.) редки и высоко ценятся. А главной целью деятельности там, видимо, является поиск контекстов и уровней общности ("категорий", как на современном языке говорится), в которых такие утверждения оказываются верны чаще, чем обычно бывает.

2. Мои ланкастерские собеседники очень оптимистичны, на мой старческий вкус. С моей точки зрения, это выдает их неопытность в этой области.

Сам я, когда начинал размышлять об этих вещах четверть века назад, тоже был очень оптимистичен, с точки зрения моих тогдашних собеседников. Это, конечно, обычная ситуация: кто-нибудь приходит и делает то, что казалось невозможным признанным специалистам. Так происходит прогресс наук, вообще говоря.

3. Настало время "спуститься с горы в долину" в относительной неоднородной кошулевой двойственности, в том же смысле, в котором я сделал это в MGM-двойственности на протяжении последних двух-трех лет. Аудитория для таких текстов и спрос на них имеются в Ланкастере и окрестностях.

Ситуация, когда про D-Ω двойственность у меня только и написано, что приложение к мемуару про два рода производных категорий (плюс есть еще статья Сережи Р.) -- а вообще про отностительную неоднородную двойственность имеются только раздел 0.4 и глава 11 полубесконечного трактата -- по нынешним временам, просто неадекватна. (Скажем, статья про контрамодули над просовершенными топологическими кольцами, которую я писал в последние недели, ни в каком отношении не может быть названа более важной, чем то, что я имею сообщить про относительную неоднородную двойственность.)

Мои задумки насчет того, что можно было бы написать про неоднородную двойственность (собранные в мартовском, 2015 года, подзамочном ЖЖ-постинге http://posic.livejournal.com/1167120.html и по ссылкам оттуда), видимо, несколько подавляют меня самого своей обширностью -- что и становится причиной того, что они не осуществляются. Выход состоит, очевидно, в том, что на эту тему должен быть написан не один, а еще несколько текстов (в дополнение к уже имеющимся). Начиная с самых элементарных.

В конце концов, про MGM-двойственность только в 2015-16 годах я написал четыре препринта (которые все уже вышли из печати в той или иной степени, к настоящему времени). Плюс сколько-то там еще навеянных и сопутствующих. Про кошулевость, капиодинность и квазиформальность написал статью; про гладкую двойственность препринт; и т.д. Относительная неоднородная кошулева двойственность тоже заслуживает внимательного отношения. Много времени это не займет (ну, сколько там может на это уйти? полгода? вряд ли год; скорее, два-три месяца).

Три года прошло. Множество задумок осуществилось за это время. Постинг https://posic.livejournal.com/1167453.html следует признать устаревшим. Это моя традиционная тематика, и тезис об отсутствии аудитории после поездки в Ланкастер можно считать опровергнутым. Этот материал заслуживает лучшей участи, чем оказаться пропавшим и забытым. Вчера, может быть, было рано (были более насущные проекты); сегодня уже пора.