posic | Entries tagged with math3

Юзер misha2 убедил меня в комментариях к предыдущему постингу, что поставленная в нем задача вряд ли разрешима, но я не хочу сдаваться и сделаю следующую попытку.

Как известно, все алгебраически замкнутые поля фиксированной характеристики элементарно эквивалентны, т.е. если какая-то формула в языке теории колец истинна в одном из них, то она истинна и в остальных. Если какая-то формула истинна в алгебраически замкнутых полях всех простых характеристик, то она истинна и в алгебраически замкнутых полях характеристики нуль.

Нельзя ли распространить эти результаты на кольца, не имеющие целых алгебраических расширений? Допустим, некоторая формула в языке теории колец истинна во всех коммутативных алгебрах над полями, содержащих корни всех многочленов от одной переменной со старшим коэффициентом 1 (для моих целей, я готов предположить, что она истинна во всех вообще коммутативных алгебрах над полями). Следует ли из этого, что она истинна в кольце всех целых алгебраических чисел?

P.S. http://www.math.uga.edu/~rr/ArithAllAlgInt.pdf

P.P.S. В частности, по ссылке выше автор отмечает, что (2x-1)(3x-1) = 0 разрешимо в любом поле, но не в кольце целых алгебраических чисел. Так что ответ на мой вопрос отрицательный. Но по ссылке есть и некоторый положительный результат.

Есть известный тезис, что целые числа похожи на многочлены от одной переменной с коэффициентами в поле, особенно если "поле" пробегает все конечные поля. Можно ли как-нибудь формализовать этот тезис в рамках математической логики?

Я могу рассмотреть язык теории колец, т.е. один сорт переменных "элементы кольца", бинарные операции "сложение", "вычитание", "умножение", константы "ноль" и "единица". Рассмотреть в этом языке все формулы, истинные во всех кольцах k[x], где k -- (конечное) поле. И задаться вопросом, истинны ли все такие формулы в кольце Z.

Проблема в том, что ответ очевидно отрицательный. Глупейшее утверждение "или 1+1=0, или 1+1+1=0, или существуют три попарно различных обратимых элемента" выполнено во всех кольцах k[x], но не в Z.

Можно ли как-то разумно ограничить класс рассматриваемых формул, так чтобы любая формула из этого класса, истинная во всех k[x], была истинна в Z, и при этом класс формул был достаточно богатым, чтобы включать всякие содержательные алгебраические утверждения?

В развитие http://posic.livejournal.com/425027.html

Гипотеза. Существует понятие кошулевости для неотрицательно градуированных модулей над неотрицательно градуированными кошулевыми кольцами (без каких-либо условий плоскости), со следующими свойствами.

0. Модуль M, у которого все компоненты, кроме M₀, равны нулю, кошулев над любым кошулевым кольцом. Свободный модуль с образующими в градуировке 0 кошулев над любым кошулевым кольцом.

1. Замена нулевой компоненты кошулева кольца не влияет на кошулевость модулей над ним.

2. Левый модуль M над A₀-плоским справа кошулевым кольцом A кошулев тогда и только тогда, когда Tor^A_ij(A₀,M) = 0 при i≠j. A₀-плоский левый модуль М над A₀-плоским слева кошулевым кольцом A кошулев тогда и только тогда, когда Tor^A_ij(A₀,M) = 0 при i≠j.

3. Если A → B -- морфизм неотрицательно градуированных колец, кольцо A кошулево, и B_≥1 -- кошулев левый A-модуль (в градуировке, сдвинутой на 1), то и кольцо B кошулево.

4. Левый A-модуль M кошулев тогда и только тогда, когда тривиальное расширение A &oplus M (где градуировка на M сдвинута на 1, два из четырех умножений тривиальны, а два других суть умножение на A и левое действие A на M) является кошулевой алгеброй. Заметим, что в этой конструкции непонятно, как определять "тривиальное" умножение M × A₀ → M, но да это нам и неважно, поскольку A₀ всегда можно заменить на Z.

5. Обычные общегомологические свойства: поведение в точных последовательностях/фильтрациях, при замене кошулева кольца и проч. (?)

26.12.10 - Update. Видимо, технически правильное определение такое. Градуированный A-модуль M кошулев, если кошулевым является большое градуированное кольцо B с двумя объектами α и μ, определяемое правилами B_αα = A, B_αμ = M со сдвигом на 1 (так чтобы B_αμ жило в градуировках начиная с 1), B_μα = 0, и B_μμ = Z. Если A изначально было большим градуированным кольцом, то B строится как большое градуированное кольцо, множество индексов которого состоит из множества индексов кольца A и одного дополнительного элемента μ.

27.12.10 - UUpdate. А еще более правильное техническое определение такое. Кошулевость градуированного A-модуля M определяется через существование точной категории G', порожденной своими подкатегориями E', E_0, E_1, ..., и функтора сдвига на точной подкатегории G ⊂ G', порожденной одними только E_i. Точная категория E' (с тривиальной точной структурой) состоит при этом из конечных прямых сумм одного-единственного фиксированного объекта, а кольцо эндоморфизмов этого объекта может быть каким угодно, причем замена этого кольца ничего не меняет (так что можно считать его всегда равным Z).

Ниже следует комментарий к препринту А.Л. про пучки Ходжа-Тейта (что лежит на сервере Института Макса Планка) + моей заметке про кошулевость алгебры замкнутых форм (что лежит в Архиве).

Пусть A = ⊕ A_nⁱ -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k с дифференциалом d, повышающим на единицу когомологическую градуировку i и не меняющим внутреннюю градуировку n. Слова "положительно внутренне градуированная" означают, что A_n = 0 при n<0 и A₀ = k.

Предположим, что когомологии H(A) сосредоточены на объединении двух диагоналей i=1 и i=n. Скажем даже точнее, что имеется гомоморфизм биградуированных алгебр из H(A) в положительно градуированную алгебру Z над k, помещенную в диагональную биградуировку. Ядро этого гомоморфизма сосредоточено в когомологической градуировке i=1. Предположим дополнительно, что алгебра Z кошулева.

Рассмотрим приведенную бар-конструкцию алгебры A; это некоторая положительно внутренне градуированная DG-коалгебра C. Утверждается, что в предположениях выше когомологии H(C) сосредоточены в когомологической градуировке 0. Коалгебра H⁰(C), как внутренне градуированная (или просто конильпотентная) коалгебра, косвободно копорождена своей факторкоалгеброй, квадратично двойственной к кошулевой алгебре Z, и набором косвободных градуированных кообразующих, соответствующих базису ядра отображения из H(A) в Z, рассматриваемого как внутренне градуированное векторное пространство.

Таким образом, в частности, квадратичная часть коалгебры H⁰(C) совпадает с ее частью, копорожденной ее компонентой (внутренней) градуировки 1 и кошулева. Эта часть не совпадает со всей H⁰(С), если только H(A) не лежит на самом деле на диагонали. Квадратичная часть H⁰(С) косвободно порождена коалгеброй, квадратично двойственной к Z, и набором косвободных кообразующих, соответствующих базису ядра отображения из H¹(A₁) в Z₁.

Доказательство: рассмотреть спектральную последовательность, сходящуюся от когомологий бар-конструкции биградуированной алгебры H(A) к когомологиям бар-конструкции A.

Решение упражнения, сформулированного в http://posic.livejournal.com/517640.html

Пусть C и D -- триангулированные категории, F и G -- пара сопряженных функторов между C и D, и пусть M и N -- полные подкатегории в C и D, замкнутые относительно расширений и переводимые функторами F и G одна в другую. Предположим, что всякий объект из N является итерированным расширением прямых слагаемых объектов, приходящих из M. Тогда если всякий морфизм степени >1 в C между объектами из M разлагается в композицию морфизмов положительной степени между объектами из M, то то же верно для морфизмов между объектами из N в D.

В самом деле, достаточно проверять разложимость для морфизмов степени >1 в D между объектами из N, один из концов которых приходит из M (в силу условия и известного общего результата об условиях разложимости высших морфизмов), а это следует из сопряженности и разложимости в C.

Пусть k -- коммутативное кольцо и C -- k-линейная DG-категория. Предположим, что для каждой k-линейной DG-категории D с гомотопически k-плоскими комплексами морфизмов нам дана производная категория DG-модулей над D⊗_kC, совершенных вдоль по C для каждого фиксированного объекта из D, рассматриваемая как k-линейная аддитивная категория с функтором сдвига. Предположим далее, что для каждого k-линейного DG-функтора D' → D'' между DG-категориями D как выше задан индуцированный функтор между производными категориями DG-модулей как выше (тот или те из них, которые всегда имеются -- это нужно посмотреть). Можно ли по этим данным восстановить класс DG-эквивалентности k-линейной DG-категории C?

Вполне возможно, что ответ на этот вопрос несложен или известен, я просто ничего про это не знаю, кроме того, что подобного рода вопрос всегда казался мне естественной отправной точкой.

Известное их описание в терминах этальных когомологий опирается на два довольно разных утверждения:

1. Гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума об этальном спуске: Z(j) = τ_{≤ j} Rπ_{_*}π*Z(j) = τ_{≤ j+1} Rπ_{_*}π*Z(j), где π: Et → Zar.

2. Теорема жесткости Суслина: π* Z/m(j) = μ_m^⊗j для схем с характеристиками полей вычетов, не делящими m.

Для особых многообразий это описание неверно; достаточно рассмотреть мотивные когомологии аффинной прямой с двумя склеенными точками с коэффициентами в Z/m(0), определяемые как соответствующий Hom из мотива этой особой кривой в Z/m в категории мотивов над полем (комплексных чисел, скажем). Пример этот, кстати, также показывает, что для особых многообразий Z(0) не есть постоянный пучок Z (если я правильно понимаю, что все это значит).

Какое из утверждений 1 и 2 нарушается в случае особых многообразий?

Похоже, что в этом примере с нодальной прямой и j=0 утверждение 2. сохраняется, поскольку соответствующий класс первых мотивных когомологий с конечными коэффициентами умирает в этальных накрытиях. Получается, что 1. неверно, да?

Чему равны (ко)гомологии Хохшильда категории не более чем счетномерных векторных пространств над полем k? Неформально, такое ощущение, что

1. Гомологии Хохшильда состоят из следов, и бесконечномерность убивает все следы, так что гомологии Хохшильда такой категории должны быть равны нулю.

2. Когомологии Хохшильда суть, примерно, центр, а он у категории бесконечномерных пространств вполне себе есть, так что когомологии Хохшильда такой категории должны быть равны полю k (т.е. они такие же, как для конечномерных пространств).

Это правильно?

Пусть K ⊂ L ⊂ M -- башня полей, L/K -- конечное расширение, M/K -- расширение Галуа. Пусть k -- кольцо коэффициентов (Z, Q, Z/m, ...) Пусть DM(K,k) и DM(L,k) -- триангулированные категории мотивов над K и L, соответственно, с коэффициентами в k. Предположим, что vanishing conjectures выполнены для мотивов над K с коэффициентами в k. Пусть MAT(K,M,k) и MAT(L,M,k) -- точные подкатегории в DM(K,k) и DM(L,k), порожденные с помощью расширений тейтовски подкрученными мотивами спектров полей, конечных над K (соотв. L) и содержащихся в M. Тогда K(π,1)-гипотеза для MAT(K,M,k) влечет K(π,1)-гипотезу для MAT(L,M,k).

В самом деле, ( Read more... )

Лучше бы, конечно, уметь доказывать это без предположения vanishing и без точных категорий, пользуясь языком разложимости Ext-ов/глупых фильтраций.

Мотивы Тейта с рациональными коэффициентами варьируются в семействах. Здравый смысл и воспоминания о семинарах, посещавшихся в юности, подсказывают, что должен существовать мотивный пучок над G_m (над любым полем F), слой которого над точкой x ∈ G_m есть расширение Z с помощью Z(1), соответствующее элементу x ∈ Ext_F¹(Z,Z(1)) = F*.

Например, мотив первых гомологий G_m со склеенными точками 1 и x может быть искомым расширением, и, очевидно, когда x варьируется, это законное семейство многообразий над x ∈ G_m\1, по крайней мере. (Может быть, это неправильный пример. Будем считать его иллюстрацией меры моей необразованности.)

С конечными коэффициентами Z/n, обратный образ этого мотивного пучка при отображении возведения в n-ю степень G_m → G_m предположительно разваливается в прямую сумму Z/n и Z/n(1). Предположительно, это значит, что интересующий нас мотивный пучок есть под- и факторпучок прямого образа Z/n ⊕ Z/n(1) при отображении возведения x в степень n. Хорошо бы выловить этот объект в моей точной категории мотивных пучков Артина-Тейта.

Если этот пример репрезентативен (а на первый взгляд кажется, что он довольно репрезентативен), он может показывать, что всякий мотивный пучок с артин-тейтовскими слоями артин-тейтовский, когда коэффициенты конечны.

Впрочем нет, должен быть еще другой класс примеров, когда все слои одинаковы, но есть монодромия. Но с конечными коэффициентами монодромия должна быть конечной, так что вывод предположительно тот же самый -- в алгебраическом накрытии вариация тривиализуется. Так?

1. Мотив любой подсхемы аффинной прямой является тейтовским мотивом. Нельзя ли построить производные прямые образы при морфизме X × A¹ → X для моих мотивных пучков Артина-Тейта с конечными коэффициентами?

Вопрос загадочный, поскольку при итерировании получается X × A², а мотив произвольной подсхемы аффинной плоскости уже вовсе не обязательно тейтовский. (Вообще, как соотносятся артин-тейтовские мотивные пучки и мотивные пучки с тейтовскими слоями, в случае конечных коэффициентов?) [Upd: ну, видимо просто производные прямые образы при морфизме X × A¹ → X будут AT-мотивными пучками на X только для тейтовских (в смысле, артин-тейтовских с тейтовскими слоями) мотивных пучков на X × A¹.]

2. Допустим, мы пытаемся доказывать МБК-гипотезу путем доказательства кошулевости больших градуированных алгебр, отвечающих за мотивы Артина-Тейта над полями, как предлагается здесь. А кошулевость алгебры A или A', связанной с полем K, пытаемся доказывать возрастающей индукцией по K.

a) Может быть, проблему перехода от поля K к его алгебраическому расширению при такой индукции можно разрешить руками?

б) Может быть, проблему перехода от поля K к его чисто трансцендентному расширению при такой индукции можно разрешить, пользуясь пунктом 1?

Новая попытка, после неудачной этой -- http://posic.livejournal.com/502978.html

Рассматривается категория Sm/K гладких многообразий над полем K, снабженная двумя топологиями, этальной и Нисневича. Мы будем рассматривать этальные пучки Z/m-модулей на Sm/K, удовлетворяющие какому-нибудь теоретико-множественному ограничению на мощность (всего сечений меньше, чем какой-то там кардинал). Так, чтобы в этой абелевой категории было достаточно много инъективных объектов.

Пусть F -- такой этальный пучок. Для любого гладкого многообразия X/K, рассмотрим ограничение F на этальный сайт многообразий, этальных над X (строго говоря, это такой прямой образ, но в данном случае он точен). В абелевой категории этальных пучков Z/m-модулей над X, с данным ограничением на мощность, построим комплекс C_F(X), считающий Ext из Z/m в ограничение F. Функтор, сопоставляющий многообразию X комплекс C_F(X), является комплексом предпучков на Sm/K.

Утверждается, что пучковизация Нисневича комплекса предпучков C_F вычисляет производный прямой образ этального пучка F при отображении сайтов Et -> Nis.

( Доказательство )

Конструкция упроектирования, изложенная здесь, по-прежнему кажется мне правильной, но теперь я думаю, что почти столь же хорошего результата можно добиться простым известным способом. Существует функтор, сопоставляющий DG-алгебре A над k ее кофибрантную резольвенту C(A). При этом квазиизоморфизм DG-алгебр C(A) → A можно сделать имеющим естественное сечение A → C(A), переводящее ноль в ноль и коммутирующее с дифференциалом. Единственный недостаток этой конструкции по сравнению с намеченной по ссылке в том, что это сечение не мультипликативно (что является обратной стороной преимущества кофибрантных DG-алгебр над k над DG-алгебрами, кофибрантными как комплексы k-модулей).

Функториальная кофибрантная резольвента строится так. DG-алгебра C_1(A), как градуированная k-алгебра, свободно порождена образующими, соответствующими однородным элементам A; образующие, соответствующие нулевым однородным элементам, объявлены равными нулю (т.е. по порожденному ими идеалу профакторизовано). Дифференциал образующей C₁(A) равен другой соответствующей образующей. Чтобы получить DG-алгебру C_n+1(A), нужно добавить к C_n(A) по одной образующей для каждой пары (однородный коцикл в C_n(A); однородная коцепь в A, заклеивающая образ этого коцикла).

P.S. Но этого "почти столь же хорошего" результата недостаточно для моих целей конструкции комплексов, вычисляющих Ext в точной категории. В отсутствие мультипликативности сечения, индуцированные отображения между комплексами Ext перестают быть согласованными с композицией морфизмов в точной категории; и аксиому про ацикличность тотального комплекса бикомплекса, связанного с точной тройкой, становится невозможно даже сформулировать (композиция перестает быть равной нулю).

Задачи гомологической алгебры имеют решения. Поставьте себе задачу гомологической алгебры, разумную (объективно) и интересную (для вас), работайте над ней, и через N десятилетий у вас будет прекрасное решение, устраивающее вас во всех отношениях. Например, задача о неограниченных производных категориях была полностью решена прямо на моих глазах. Задача о правильном утончении структуры триангулированной категории является самым известным на сегодняшний день кандидатом в контрпримеры к моему тезису. Последнее время над ней много работают, и я думаю, что полное решение не за горами.

Важнейшие задачи алгебраической топологии не имеют решений. Надежду и попытки получить полные решения важнейших задач своей науки топологи в последнее время, кажется, вообще оставили. Вместо этого они развивают методы или преодолевают препятствия к естественным конструкциям. Каждый новый метод позволяет отщипнуть еще немножко от краешка неразрешимой проблемы и, в лучшем случае, посмотреть на нее в целом с новой стороны, но он ее не решает. Конкретное препятствие к конструкции можно преодолеть, но вполне естественной формулировки у нее нет и никогда не будет.

Задача о вычислении гомотопических групп сфер сегодня не ближе к своему решению, чем в 1930-х, когда она была поставлена. От нее поотщипывали по краям, и неплохо поотщипывали, это да. Продолжают отщипывать и сейчас. Но я не знаю, чтобы кто-либо из современных специалистов пытался или надеялся ее полностью решить. Модели для спектров изобретаются, и каждая следующая может быть лучше предыдущей, но ответа на вопрос, что такое спектр, кроме как с точностью до гомотопии, нет и, насколько можно судить, не будет. Задача о классификации узлов столь же неразрешима сейчас, как и когда-либо. И т.д.

Поскольку предыдущая попытка не удалась, сделаем другую, еще более странную.

Пусть k -- коммутативное кольцо. Попробуем построить псевдотензорный (или как он называется? слабо тензорный?) функтор P из категории комплексов k-модулей в категорию гомотопически проективных комплексов k-модулей. Функтор P будет снабжен естественным преобразованием P(A) → A, являющимся квазиизоморфизмом комплексов k-модулей, и естественным сечением этого естественного преобразования A → P(A), являющимся отображением градуированных множеств, переводящим нули в нули и коммутирующим с дифференциалом (но не сохраняющим ни сложение, ни умножение на константы из k).

Псевдотензорность состоит в том, что для любых комплексов A и B должно существовать естественное отображение комплексов k-модулей P(A)⊗_kP(B) → P(A⊗_kB), согласованное, как минимум, с ассоциативностью (а то и с градуированной коммутативностью) в тензорной категории комплексов. Должна быть также подходящая согласованность с единицей.

Применение функтора P к DG-алгебре A над k должно давать гомотопически k-проективную DG-алгебру P(A) вместе с квазиизоморфизмом DG-алгебр P(A) → A над k и однородным, мультипликативным и унитальным, но не аддитивным и не k-эквивариантным сечением A → P(A). Больше всего по своим формальным свойствам эта конструкция напоминает вектора Витта, что ли.

Чтобы убедиться, что такое вообще в принципе возможно, рассмотрим сначала простой случай, когда кольцо k содержит какое-то поле f. Тогда за P(A) можно взять (приведенную или нет, неважно) бар-конструкцию A над k относительно f. Желаемая псевдотензорная структура задается операцией shuffle product на бар-конструкциях. Отображение сечения в этом случае даже аддитивно и f-линейно, но не k-линейно.

Как предполагается достичь нашей ужасной цели в общем случае? Функтор P переводит k-модуль M в его проективную резольвенту, нулевым членом которой является k-модуль, свободно порожденный всеми элементами M, профакторизованный по подмодулю k, натянутому на образующую, соответствующую нулевому элементу M. Эта процедура итерируется, чтобы получить всю резольвенту. Комплексу k-модулей A сопоставляется тотальный комплекс бикомплекса, составленного из комплексов, соответствующих членам комплекса A, построенный с помощью взятия бесконечных прямых сумм вдоль диагоналей.

( Надо только построить отображение, определяющее псевдотензорную структуру. Пока что кажется, что это удается сделать. )

Зверская конструкция, продиктованная малодушным желанием отсрочить неизбежное, в смысле необходимости изучения науки имени Лурье и Ко.

Постановка задачи: требуется сопоставить каждой малой точной категории Е с парой объектов X, Y комплекс абелевых групп C_E(X,Y) со следующими свойствами.

1. Комплекс C_E(X,Y) контравариантно функториален по X и ковариантно по Y.
2. Точному функтору между точными категориями γ: E → F сопоставлены морфизмы комплексов C_E(X,Y) → C_F(γ(X),γ(Y)), согласованные с композициями функторов γ и с функториальностью из п.1.
3. Трехчленные последовательности комплексов C_E(X,Y), соответствующие точным тройкам по любому из аргументов X,Y, рассматриваемые как бикомплексы с тремя строками, имеют ацикличные тотальные комплексы.
4. Имеются изоморфизмы между когомологиями комплексов C_E(X,Y) и группами Ext по Ионеде между X и Y в точной категории E, согласованные с функториальностями из пп. 1 и 2.

Решение: ( планировался грубый хак, пока что не получился )

1. Точная категория АТ-мотивных пучков над гладким многообразием. Объекты Тейта, функторы прямого и обратного образа, гомологические и когомологические мотивы квазиконечных многообразий. Сопряженности точных функторов и индуцированных триангулированных функторов. http://posic.livejournal.com/509139.html

Дальнейшие пункты следуют, с вариациями, наброску http://posic.livejournal.com/494906.html#cutid1

2. Комплексы, вычисляющие Ext в точных категориях. Функториальность относительно точных функторов, желательно строгая. Согласованность с точными тройками, (влекущая) согласованность с бесконечными влево резольвентами первого аргумента. (Локализация по Др.? Локализация по К.? Что-то еще?) http://posic.livejournal.com/510980.html , http://posic.livejournal.com/511264.html

3. Свойство по отношению к выделенным парам в топологии Нисневича. Его доказательство. Вывод из него изоморфизма Ext-ов c гиперкогомологиями Нисневича соответствующих пучковизаций. http://posic.livejournal.com/501499.html

4. Отождествление производного прямого образа из этальной топологии в Нисневича с подходящей пучковизацией комплексов предпучков, считающих Ext. http://posic.livejournal.com/502978.html , http://posic.livejournal.com/515693.html

5. Вычисление слоев комплексов предпучков Ext в топологии Нисневича в терминах точных категорий, связанных с группами Галуа полей вычетов. Категория конструктивных пучков на гензелевой локальной схеме как прямой предел категорий конструктивных пучков на этальных окрестностях. Пара сопряженных точных функторов между точными категориями, связанными с гензелевой локальной схемой и ее замкнутой точкой. http://mathoverflow.net/questions/44676/etale-cohomology-of-regular-local-rings

Итак, что все-таки теперь утверждается.

Пусть X -- гладкое многообразие над полем F, а m -- простое число, не делящееся на характеристику F. Рассмотрим точную категорию E_X фильтрованных этальных пучков Z/m-модулей над X, присоединенные факторы которых обладают тем свойством, что их слои над схемными точками X суть перестановочные представления групп Галуа полей вычетов этих схемных точек над Z/m, подкрученные на циклотомические этальные пучки в соответствующих тензорных степенях.

Точные тройки в E_X суть последовательности из трех фильтрованных пучков и двух морфизмов между ними, с нулевой композицией, присоединенные факторы которых суть точные тройки этальных пучков над X, расщепимые над каждой схемной точкой X.

На точных категориях E_X действуют точные функторы обратного образа по отношению к произвольным морфизмам гладких многообразий над F и прямого образа с компактным носителем по отношению к квазиконечным морфизмам. Прямые образы с компактным носителем (= продолжения нулем) при замкнутых вложениях и этальных морфизмах сопряжены к обратным образам с положенных (разных) сторон.

В частности, прямой образ с компактным носителем постоянного пучка Z/m с квазиконечного морфизма гладких многообразий Y → X -- это некоторый объект точной категории E_X, сосредоточенный целиком в компоненте фильтрации 0. Кажется, его естественно считать "относительным мотивом когомологий с компактным носителем Y над X".

Чтобы определить относительные мотивы гомологий, нужно сначала понять, что это такое, на уровне (этальных) пучков. Пусть имеется морфизм Y → X; что есть пучок послойных гомологий Y над X? Кажется, естественным кандидатом в такие пучки выглядит пучок на X, двойственный по Вердье к прямому образу постоянного пучка с Y. Или, что то же самое, прямой образ с компактным носителем дуализирующего пучка на Y. Если Y гладко, это отличается от прямого образа с компактным носителем постоянного пучка только гомологическим сдвигом и тейтовской подкруткой.

Если это правильно, то относительные мотивы гомологий Y над X отличаются от определенных выше относительных мотивов когомологий с компактным носителем только гомологическим сдвигом и тейтовской подкруткой на размерность Y. Может быть, лучше использовать относительную размерность Y над X (если X фиксировано).

Подкреплена эта интерпретация пока что в основном наброском вычисления групп Ext в точной категории E_X между тейтовскими мотивами (очевидным образом рассматриваемыми как объекты E_X). Если подумать, то это не так уж мало, хотя и не в каком понятном смысле не достаточно.

Ext из тейтовского мотива, продолженного нулем с этального морфизма, в тейтовский мотив, можно тогда посчитать по сопряженности. То же и Ext из тейтовского мотива в тейтовский мотив, продолженный нулем с замкнутого вложения. Далее, Ext из тейтовского мотива, продолженного нулем с замкнутого вложения, можно посчитать, разложив такой мотив в точный треугольник, включающий продолжение нулем с открытого дополнения. Аналогично для Ext в продолжение нулем с открытого вложения. Наконец, Ext в прямой образ тейтовского мотива при конечном этальном морфизме можно посчитать, пользуясь тензорной структурой и (частично определенной) двойственностью на E_X.

Но вот как считать Ext в продолжение нулем тейтовского мотива с этального морфизма или из прямого образа тейтовского мотива при конечном этальном морфизме на замкнутое подмногообразие, остается непонятным.

В то же время, мы знаем, что ограниченная производная категория E_X порождена тейтовскими подкрутками мотивов многообразий, конечных и этальных над локально замкнутыми подмногообразиями X (см. предыдущий постинг).

1. Эти точные категории, о которых так долго говорили большевики, вообще не существуют. Можно рассмотреть точную категорию конструктивных этальных пучков Z/m-модулей на многообразии, с точными тройками, расщепимыми в каждой схемной точке. Но чтобы подкатегория этой точной категории сама была точной, она должна быть замкнута относительно расширений (или, в другом варианте, содержать вместе со средним членом точной тройки оба крайних). Ниоткуда не следует, что класс этальных пучков Z/m-модулей, связанных с конструктивными этальными пучками множеств, замкнут относительно расширений. Т.е. чтобы получить точную категорию, надо его замыкать относительно расширений.

2. А нам это надо? Рассмотрим класс конструктивных этальных пучков Z/m-модулей, слои которых во всех схемных точках суть (конечно порожденные) перестановочные модули над группой Галуа. Он замкнут относительно расширений интересующего нас типа по определению. Далее, всякий такой пучок на каком-то открытом помногообразии нашего многообразия гладок и описывается перестановочным представлением этальной группы Галуа этого открытого подмногообразия. Факторпучок по продолжению нулем ограничения на это открытое подмногообразие обладает тем же свойством на плотном открытом подмножестве своего носителя, и т.д. Т.е. всякий пучок интересующего нас класса является итерированным расширением пучков, связанных с конечными (т.е. собственными) этальными морфизмами в локально замкнутые подмногообразия (которые можно считать гладкими). По-моему, так гораздо проще.

3. Если заглянуть в учебник (SGA 4 1/2), можно убедиться, что на пучках интересующего нас класса (описанного в п.2) действуют прямые образы с компактным носителем относительно квазиконечных морфизмов (многообразий над полем). Ну и чего еще нам нужно для щастья? Вот; и никаких топосов.

Короткий ответ: непонятно.

Длинный ответ: может быть, первое, чему нас должен научить этот сюжет, это то, что подход к гипотезе М.-Б.-К. из нашей с Сашей В. работы 95-го года может/должен применяться не к алгебре Милнора поля, а к алгебре диагональных Ext-ов между мотивами Артина-Тейта, связанными с произвольными (конечными сепарабельными) расширениями этого поля.

Пусть F -- поле, не имеющее алгебраических расширений степени, взаимно-простой с простым числом l, не равным его характеристике. Рассмотрим следующую большую градуированную алгебру/предаддитивную категорию A. Индексы/объекты соответствуют конечным сепарабельным расширениям F. Компонента А, соответствующая паре полей E', E'' над F в градуировке n, есть прямая сумма K^M_n/l от прямых слагаемых разложения E'⊗_FE'' в прямую сумму полей. Это то же самое, что Hom в производной категории мотивов над F с Z/l-коэффициентами между мотивом спектра E' и мотивом спектра E'', подкрученным на (n) и сдвинутым на [n].

Заменим компоненту A₀ (в которой сидят операторы, связанные с действием вложений, трансферов и групп Галуа на милноровской K-теории) на тривиальное большое кольцо A'₀, в котором паре полей E', E'' соответствует группа Z/l, если эти поля совпадают, и 0 иначе. Пусть A' -- большое кольцо, полученное из A такой заменой нулевой компоненты (при сохранении всех компонент положительной градуировки неизменными). Большие кольца A и A' кошулевы одновременно, но для кольца A' легче понять, что кошулевость означает.

Допустим, что отображение символа Галуа/норменного вычета для конечных расширений поля F является изоморфизмом в степени 2 (это теорема Меркурьева-Суслина) и мономорфизмом в степени 3 (с этим сложнее, но так или иначе теперь это уже тоже известно). Тогда если большое кольцо A или A' кошулево, то гипотеза М.-Б.-К. для поля F следует из теоремы в секции 8 статьи про мотивы Артина-Тейта.

Может быть, кошулевость А или A' доказать легче, чем кошулевость K^M(F)/l?