Производный прямой образ Et -> Nis
Dec. 3rd, 2010 05:21 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНовая попытка, после неудачной этой -- http://posic.livejournal.com/502978.html
Рассматривается категория Sm/K гладких многообразий над полем K, снабженная двумя топологиями, этальной и Нисневича. Мы будем рассматривать этальные пучки Z/m-модулей на Sm/K, удовлетворяющие какому-нибудь теоретико-множественному ограничению на мощность (всего сечений меньше, чем какой-то там кардинал). Так, чтобы в этой абелевой категории было достаточно много инъективных объектов.
Пусть F -- такой этальный пучок. Для любого гладкого многообразия X/K, рассмотрим ограничение F на этальный сайт многообразий, этальных над X (строго говоря, это такой прямой образ, но в данном случае он точен). В абелевой категории этальных пучков Z/m-модулей над X, с данным ограничением на мощность, построим комплекс C_F(X), считающий Ext из Z/m в ограничение F. Функтор, сопоставляющий многообразию X комплекс C_F(X), является комплексом предпучков на Sm/K.
Утверждается, что пучковизация Нисневича комплекса предпучков C_F вычисляет производный прямой образ этального пучка F при отображении сайтов Et -> Nis.
Доказательство.
Прежде всего, сечение пучка F над X есть морфизм Z/m -> F этальных пучков над X, а таковому соответствует цикл степени 0 в комплексе C_F(X) [надо бы прояснить этот момент аксиоматике для комплексов, вычисляющих Ext-ы]. Поэтому имеется естественный морфизм F -> C_F комплексов предпучков на Sm/K. Кроме того, применив каноническое обрезание, можно считать, что комплекс предпучков C_F сосредоточен в неотрицательных степенях.
Пусть теперь J -- инъективная резольвента этального пучка F. Тогда имеется бикомплекс предпучков C_J на Sm/K и пара морфизмов комплексов предпучков J -> Tot(C_J) <- С_F. Второй является квазиизоморфизмом комплексов предпучков в силу свойства комплексов, вычисляющих Ext, по отношению к точным тройкам в точной/абелевой категории. Первый -- тоже квазиизоморфизм комплексов предпучков, в силу отсутствия высших Ext'ов в инъективный пучок (прямой образ Sm/K -> Et/X сохраняет инъективность).
Пучковизация Нисневича превращает квазиизоморфизмы комплексов предпучков в квазиизоморфизмы комплексов пучков Нисневича (а комплекс этальных пучков J, рассматриваемый как комплекс предпучков, оставляет неизменным).
Рассматривается категория Sm/K гладких многообразий над полем K, снабженная двумя топологиями, этальной и Нисневича. Мы будем рассматривать этальные пучки Z/m-модулей на Sm/K, удовлетворяющие какому-нибудь теоретико-множественному ограничению на мощность (всего сечений меньше, чем какой-то там кардинал). Так, чтобы в этой абелевой категории было достаточно много инъективных объектов.
Пусть F -- такой этальный пучок. Для любого гладкого многообразия X/K, рассмотрим ограничение F на этальный сайт многообразий, этальных над X (строго говоря, это такой прямой образ, но в данном случае он точен). В абелевой категории этальных пучков Z/m-модулей над X, с данным ограничением на мощность, построим комплекс C_F(X), считающий Ext из Z/m в ограничение F. Функтор, сопоставляющий многообразию X комплекс C_F(X), является комплексом предпучков на Sm/K.
Утверждается, что пучковизация Нисневича комплекса предпучков C_F вычисляет производный прямой образ этального пучка F при отображении сайтов Et -> Nis.
Доказательство.
Прежде всего, сечение пучка F над X есть морфизм Z/m -> F этальных пучков над X, а таковому соответствует цикл степени 0 в комплексе C_F(X) [надо бы прояснить этот момент аксиоматике для комплексов, вычисляющих Ext-ы]. Поэтому имеется естественный морфизм F -> C_F комплексов предпучков на Sm/K. Кроме того, применив каноническое обрезание, можно считать, что комплекс предпучков C_F сосредоточен в неотрицательных степенях.
Пусть теперь J -- инъективная резольвента этального пучка F. Тогда имеется бикомплекс предпучков C_J на Sm/K и пара морфизмов комплексов предпучков J -> Tot(C_J) <- С_F. Второй является квазиизоморфизмом комплексов предпучков в силу свойства комплексов, вычисляющих Ext, по отношению к точным тройкам в точной/абелевой категории. Первый -- тоже квазиизоморфизм комплексов предпучков, в силу отсутствия высших Ext'ов в инъективный пучок (прямой образ Sm/K -> Et/X сохраняет инъективность).
Пучковизация Нисневича превращает квазиизоморфизмы комплексов предпучков в квазиизоморфизмы комплексов пучков Нисневича (а комплекс этальных пучков J, рассматриваемый как комплекс предпучков, оставляет неизменным).
