posic | Entries tagged with math9

1. Пусть A -- локально представимая абелева категория и F -- класс объектов в A, замкнутый относительно направленных прямых пределов. Тогда если некоторый объект категории A имеет F-предпокрытие, то он имеет и F-покрытие.

2. Пусть A -- локально представимая абелева категория, F -- класс объектов в A, замкнутый относительно расширений (и направленных прямых пределов, но это будет следовать из более сильного условия ниже), и C -- класс всех объектов в A, Ext_A¹-ортогональных ко всем объектам из F. Предположим, что некоторый объект X ∈ A обладает тем свойством, что направленные прямые пределы в категории морфизмов из X в произвольные объекты A сохраняют класс мономорфизмов с коядром из F. Тогда если X можно вложить в объект из C так, чтобы факторобъект принадлежал F, то X имеет C-оболочку.

Пусть S -- множество объектов в локально представимой абелевой категории A. Обозначим через C класс всех объектов, Ext_A¹-ортогональных справа к объектам из S и через F класс всех объектов, аналогично ортогональных слева ко всем объектам из C. Обозначим также через Filt(S) класс всех прямых слагаемых трансфинитно-итерированных (в смысле направленного прямого предела в A, пусть даже и не точного ни в каком смысле) расширений объектов из S.

Далее, пусть λ -- такой регулярный кардинал, что категория A является λ-представимой и все объекты из S являются λ-представимыми. Обозначим через S-λ-mono класс всех мономорфизмов с коядрами из S и λ-представимыми объектами в таргете. Тогда справедливы следующие утверждения.

0. Класс Filt(S) содержится в классе F.

1. Класс морфизмов, обладающих правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из S-λ-mono

- совпадает с классом морфизмов, обладающих правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из Filt(S)-mono;
- состоит из морфизмов с ядрами в C;
- содержит все эпиморфизмы с такими ядрами, т.е., класс C-epi;
- все морфизмы этого класса с объектами в таргете, представимыми в виде факторобъектов объектов из Filt(S), являются эпиморфизмами.

2. Класс морфизмов, обладающих левым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам, обладающим правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из S-λ-mono

- содержит все морфизмы из Filt(S)-mono;
- состоит из морфизмов с коядрами в F;
- все морфизмы этого класса с объектами в сорсе, являющимися подобъектами объектов из C, являются мономорфизмами.

Ввиду "рассуждения о малом объекте", из этих утверждений вытекает следующая

Теорема. 3) Всякий объект из A, который можно вложить в объект из C, можно вложить в объект из C так, чтобы коядро принадлежало F (и на самом деле, как видно из конструкции, даже Filt(S)).
4) Всякий объект из A, который можно представить в виде факторобъекта объекта из Filt(S), можно представить в виде факторобъекта объекта из F (и на самом деле, как видно из конструкции, даже из Filt(S)) по подобъекту, принадлежащему C.

В качестве следствия, отсюда получается

5) Всякий объект из F, который можно представить в виде факторобъекта объекта из Filt(S), является прямым слагаемым объекта из Filt(S).

Бэкграундный материал к постингу http://posic.livejournal.com/1226755.html

Пусть E -- точная категория (в смысле Квиллена; как обычно, мы будем для простоты предполагать E слабо идемпотентно замкнутой; на самом деле, нас будет интересовать случай, когда E абелева). Пусть F и C -- два класса объектов в E; обозначим через F-mono класс всех допустимых мономорфизмов с коядрами, принадлежащими классу F в категории E и через C-epi класс всех допустимых эпиморфизмов с ядрами, принадлежащими C в категории E.

Лемма. 1. Пусть A → B -- допустимый мономорфизм с коядром F и X → Y -- допустимый эпиморфизм с коядром C в категории E. Тогда если Ext_E¹(F,C) = 0, то морфизм A → B обладает левым свойством подъема (в смысле науки про модельные категории и weak factorization systems) по отношению к морфизму X → Y.

Наивно сформулированное обратное утверждение к пункту 1 неверно: например, расщепимый мономорфизм всегда обладает левым свойством подъема по отношению к расщепимому эпиморфизму (какие бы у них ни были коядро и ядро). Тем не менее, справедлива следующая более внимательно сформулированная форма обратного утверждения к пункту 1.

2. Если морфизм A → B с коядром F обладает левым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из класса C-epi, то Ext_E¹(F,C) = 0 для всех C ∈ C. Если морфизм X → Y с ядром C обладает правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из класса F-mono, то Ext_E¹(F,C) = 0 для всех F ∈ F.

Пункты 1.-2. оставляют открытым вопрос о том, могут ли морфизмы, не являющиеся допустимыми мономорфизмами, обладать левым свойством подъема по отношению к C-epi или могут ли морфизмы, не являющиеся допустимыми эпиморфизмами, обладать правым свойством подъема по отношению к F-mono. Вообще говоря, ответ на этот вопрос, конечно: могут; например, если C = 0, то C-epi -- это класс всех изоморфизмов, и по отношению к нему все морфизмы обладают свойством подъема. Следующий пункт дает более содержательный ответ.

3. Если из объекта A в категории E существует допустимый мономорфизм в некоторый объект из класса C, то всякий морфизм A → B в категории E, обладающий левым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из класса C-epi, является допустимым мономорфизмом. Если на объект Y в категории E существует допустимый эпиморфизм из некоторого объекта из класса F, то всякий морфизм X → Y в категории E, обладающий правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из класса F-mono, является допустимым эпиморфизмом.

Алгебраически делимая (абелева) группа -- это группа, в которой для каждого элемента g и для каждого натурального числа n выбран один из результатов деления g на n, т.е. указан фиксированный элемент h_n(g), такой что nh_n(g) = g. Никаких других уравнений на отображения g → h_n(g) не накладывается, никаких условий согласования.

Алгебраически делимые абелевы группы образуют категорию, морфизмами в которой являются все гомоморфизмы групп, коммутирующие с отображениями h_n. Это некоторая категория множеств с операциями, на которые наложены уравнения ("алгебр с сигнатурой и тождествами") -- отсюда термин "алгебраически". Категория эта неаддитивна (поскольку отображения h_n не обязаны быть аддитивными), но это категория алгебр над некоторой (неаддитивной) монадой на категории абелевых групп.

Аналогично, алгебраически инъективный левый модуль над кольцом R -- это такой модуль M, что для любого левого идеала I ⊂ R и гомоморфизма левых R-модулей I → M выбрано фиксированное продолжение этого гомоморфизма на R. Функториальное вложение произвольного R-модуля в инъективный можно построить, свободно породив этим модулем алгебраически инъективный R-модуль (функтор этот есть функтор свободной алгебры над некоторой неаддивной монадой на категории R-модулей, не коммутирующей даже с направленными прямыми пределами, если кольцо не нетерово; вообще, как мы знаем, построить функториальную инъективную резольвенту модуля можно и самыми элементарными средствами, но аддитивным такой функтор не будет, если кольцо не является алгеброй над полем).

Аналогично можно говорить об "алгебраических слабых системах факторизации", algebraic weak factorization systems (слабая система факторизации = "половина модельной структуры", в которой есть, допустим, только расслоения и ацикличные корасслоения). Задание множества образующих левого класса морфизмов порождает, в рамках "алгебраической" версии рассуждения о малом объекте (small object argument), соответствующую категорию "алгебраического правого класса морфизмов", у которых для каждого коммутативного квадрата с образующей левого класса зафиксировано поднятие. Эта категория монадична над категорией морфизмов в исходной объемлющей категории.

http://posic.livejournal.com/1227491.html

К предыдущему математическому постингу, к первому пункту его: вспомогательный производный функтор это, конечно, хорошо, но все-таки и без леммы Накаямы никак не обойтись. Подходящей формы ее, между тем, в моих текстах не было до сих пор пока; тут нужно некое обобщение.

Что такое, вообще, лемма Накаямы? В классической теории модулей есть, на самом деле, две ее версии, ни одна из которых не является частным случаем другой: 1. для радикала Джекобсона и конечно-порожденного модуля, и 2. для (конечно) нильпотентного идеала и произвольного модуля. Второй случай настолько прост, что обычно не удостаивается отдельного упоминания; но контрамодульная лемма Накаямы является именно его обобщением.

Пусть R -- ассоциативное кольцо, I -- его (скажем, двусторонний) идеал, такой что Iⁿ = 0 для некоторого натурального n, и пусть M -- левый R-модуль. Тогда если IM = M, то M = 0. Очевидное доказательство я опущу, но отмечу, что утверждение это допускает не менее очевидное обобщение, которое реже можно увидеть где-либо сформулированным.

Пусть R -- ассоциативное кольцо и I₁, …, I_n -- его (скажем, двусторонние) идеалы, произведение которых I₁ … I_n есть нулевой идеал. Пусть M -- левый R-модуль. Тогда если I_iM = M для всех i = 1,…,n, то M = 0.

Контрамодульный вариант этого последнего утверждения -- это то, что нам нужно.

Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть J₁, J₂, … -- последовательность (скажем, правых и, для простоты, замкнутых) идеалов в R, такая что последовательность правых идеалов J₁, J₁J₂, J₁J₂J₃, … сходится к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы в этой последовательности произведений). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения J_n[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.

Доказательство на этот раз уже отнюдь не тривиально, но писать его здесь я все-таки не буду; оно такое же, как доказательство более привычной формы контрамодульной леммы Накаямы в разделе 1.3 слабо искривленного препринта.

Вместо этого, поступим в духе ЖЖ и дадим ссылку на радостный постинг июня 2006 года, возвестивший миру об открытии первой сформулированной в разумной общности версии леммы Накаямы для контрамодулей (тогда еще только над коалгебрами над полями) -- http://posic.livejournal.com/191812.html

А вот, кстати, постинг сентября 2003 года (12 лет назад!) о контрамодулях над целыми p-адическими числами, содержащий, помимо разных прочих утверждений, и сжатую формулировку леммы Накаямы для них -- http://posic.livejournal.com/107398.html

1. Всякий контрамодуль над R = lim_n R_n, редукции которого до R_n-модулей -- плоские R_n-модули, является проективным пределом этих редукций. Другими словами, одно из двух условий в моем определении "плоского R-контрамодуля" (появившемся в разделе D.1 февральской 2014 года версии контрагерентного препринта) следует из другого. Доказательство: рассмотреть левые производные функторы функторов редукции, строящиеся с помощью проективных резольвент, и рассуждать как в приложении B к слабо искривленному препринту. Непонятно, как я ухитрился упустить это совершенно стандартное, в контексте моих работ по гомологической алгебре, рассуждение.

2. Поэтому, хотя направленные индуктивные пределы в категории R-контрамодулей (если они не λ-направленные для большого, сравнительно с мощностью базы окрестностей нуля в R, кардинала λ), ведут себя плохо, класс плоских R-контрамодулей они сохраняют.

3. Пользуясь этим и рассуждая как в теореме 2.5 статьи J. Rosicky "On projectivity in locally presentable categories" (с заменой прямых пределов последовательностей на прямые пределы по ординалу большой кофинальности в основном аргументе), можно показать, что в категории R-контрамодулей существуют "плоские покрытия" (в смысле знаменитой flat cover conjecture).

Current mood: не зря съездил в Брно!

Видимо, общая формулировка должна быть примерно такой. Пусть R₀ ← R₁ ← R₂ ← … -- проективная система ассоциативных колец и сюръективных отображений между ними, и пусть F_n -- деконструируемый класс левых R_n-модулей, замкнутый относительно прямых слагаемых, состоящий из (не всех, но только) плоских R_n-модулей, заданный для всех n и переводимый внутрь класса F_n−1 функтором редукции R_n−1⊗_{R_n}−. Предположим, кроме того, что класс F_n содержит все проективные R_n-модули и замкнут относительно операций перехода к ядру сюръективного морфизма R_n-модулей.

Тогда класс F всех плоских левых контрамодулей над топологическим кольцом R = lim R_n, редукции которых до R_n-модулей принадлежат F_n, является левой стороной полной наследственной теории кокручения на абелевой категории левых R-контрамодулей.

Доказательство основывается на следующих сообращениях:

1. Будем называть R_n-модулями F_n-кручения левые R_n-модули, Ext¹-перпендикулярные к модулям из класса F_n (заметим, что всякий R_n-модуль F_n-кокручения является одновременно R_n+1-модулем F_n+1-кокручения; обратное не утверждается). Проверяется, что все R_n-модули F_n-кокручения, рассматриваемые как левые R-контрамодули, Ext¹-перпендикулярны справа к классу F.

2. Всякий левый R-контрамодуль, перпендикулярный слева ко всем инъективным левым R_n-модулям, рассматриваемым как левые R-контрамодули, для всех n, -- является проективным пределом своих редукций до R_n-модулей. Левый R-контрамодуль перпендикулярен слева ко всем R_n-модулям F_n-кокручения тогда и только тогда, когда он принадлежит к классу F.

3. Функторы редукции R-контрамодулей до R_n-модулей, будучи левыми сопряженными функторами, коммутируют с индуктивными пределами. Индуктивный предел цепочки плоских R-контрамодулей, занумерованных вполне упорядоченным множеством индексов, с плоскими факторконтрамодулями каждого контрамодуля в цепочке по индуктивному пределу предыдущих, является плоским R-контрамодулем. Индуктивные пределы начальных отрезков такой цепочки являются подконтрамодулями индуктивного предела всей цепочки с плоским факторконтрамодулем, изоморфным индуктивному пределу факторконтрамодулей контрамодулей из остатка (конечного отрезка) цепочки по индуктивному пределу начального отрезка. В этом смысле можно говорить о трансфинитно-итерированных расширениях плоских R-контрамодулей.

4. Класс левых R-контрамодулей F "деконструируем": он состоит в точности из трансфинитно-итерированных расширений контрамодулей этого класса с мощностью, ограниченной достаточно большим кардиналом.

5. Всякий левый R-контрамодуль, являющийся проективным пределом своих редукций до R_n-модулей, можно вложить в левый R-контрамодуль, перпендикулярный справа ко всем R-контрамодулям из класса F (очевидное следствие пункта 1). Согласно пункту 4 и основной теореме из предыдущего постинга, отсюда можно заключить, что такой R-контрамодуль можно вложить в R-контрамодуль, перпендикулярный справа к классу F, с коядром из класса F.

6. Свободные левые R-контрамодули принадлежат к классу F. Подконтрамодули свободных R-контрамодулей являются проективными пределами своих редукций до R_n-контрамодулей. Согласно лемме Салче (или ее доказательству), отсюда следует, что всякий левый R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль контрамодуля из класса F по подконтрамодулю из перпендикулярного справа класса.

7. Класс левых R-контрамодулей F (содержит свободные контрамодули и) замкнут относительно операции перехода к ядру сюръективного морфизма. Поэтому ортогональный к нему справа класс замкнут относительно операции перехода к коядру вложения. Согласно пункту 6, всякий левый R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль контрамодуля из класса F по подконтрамодулю из перпендикулярного класса; согласно пункту 5, всякий контрамодуль из класса F можно вложить в контрамодуль из перпендикулярного класса так, чтобы факторконтрамодуль принадлежал к классу F. Согласно "лемме Салче для бедных" 9.1.2 из полубесконечной книжки, отсюда следует, что всякий левый R-контрамодуль можно вложить в R-контрамодуль, перпендикулярный справа к классу F, с коядром из класса F.

P.S. Все условия плоскости в этих рассуждениях можно заменить на условия "плоскости применительно к проективной системе колец": вместо "плоских левых R_n-модулей", можно говорить о левых R_n-модулях, у которых зануляются все высшие группы Tor с кольцом/модулем R_n−1 над R_n. Последнее условие, однако, похоже, зависит от способа представления топологического кольца R в виде проективной системы его дискретных факторколец R_n.

Пусть A -- абелева категория с множеством образующих, в которой существуют произвольные прямые пределы и функтор Hom из любого объекта сохраняет λ-направленные прямые пределы для достаточно больших кардиналов λ.

Пусть S -- какое-то множество объектов категории A; обозначим через C класс объектов, Ext_A¹-ортогональных справа к S и через F класс объектов, Ext_A¹-ортогональных слева к C.

Пусть X -- объект категории A, который можно вложить в объект из класса C. Тогда его можно вложить в объект из класса C таким образом, что коядро будет принадлежать классу F. При этом это коядро будет трансфинитно-итерированным расширением объектов из S, в смысле (не обязательно точного) направленного прямого предела.

Обратное верно даже в большей общности: в любой абелевой категории класс объектов, Ext¹-ортогональных слева к фиксированному объекту справа, замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений в смысле направленного прямого предела (тех из них, которые существуют, в смысле, существуют необходимые для их построения прямые пределы).

Доказательства следуют в русле теоремы 2.5 и леммы 4.4 работы J. Rosicky, "Flat covers and factorizations", Journ. of Algebra 253, 2002 (а также по ссылке от теоремы 2.5 и двойственной версии леммы 4.4).

Current mood: не зря съездил в Брно!

"Категории модулей = (приблизительно) = абелевы категории Гротендика с достаточным количеством проективных объектов"

Равенство, в самом деле, довольно приблизительное; точнее было бы сказать, что категории модулей -- это абелевы категории Гротендика, допускающие одну компактную проективную образующую. Когда есть множество компактных проективных образующих -- это категория модулей над "большим кольцом" ( = аддитивных функторов из какой-то (пред)аддитивной категории в абелевы группы). Не знаю, насколько в таком виде это уже буквально верно, или надо еще какие-то условия добавить; но похоже, что близко к верному.

"Категории контрамодулей = (приблизительно) = абелевы λ-гротендиковы категории с достаточным количеством проективных объектов"

Здесь λ -- какой-то (лучше предполагать, что регулярный) кардинал; λ-гротендикова категория -- это абелева категория с множеством образующих, в которой существуют все прямые пределы, и точны функторы λ-направленных прямых пределов. (В частности, абелева категория Гротендика в обычном смысле -- это абелева ω-гротендикова категория, где ω обозначает счетную мощность.)

Current mood: не зря съездил в Брно!

P.S. Второе равенство тоже очень приблизительно, конечно. Скажем, в категориях контрамодулей над топологическими кольцами отображение из прямой суммы любого набора проективных объектов в их прямое произведение всегда инъективно. Ниоткуда, кажется, не следует, что подобным свойством должны обладать любые λ-гротендиковы/локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов. (Двойственное условие -- чтобы отображение из прямой суммы набора инъективных объектов в их прямое произведение было сюръективным -- почитай, для одних только категорий, противоположных к естественно встречающимся, и бывает выполнено.)

Пусть R = lim_n R_n -- прокогерентное слева топологическое кольцо. Для любого дискретного левого R-модуля M, обозначим через _{R_n}M максимальный R-подмодуль в M, структура R-модуля на котором происходит из структуры R_n-модуля.

Дискретный левый R-модуль J называется fp-инъективным, если функтор Hom в него сохраняет точность коротких точных последовательностей конечно-представимых дискретных левых R-модулей.

Лемма 1. Дискретный левый R-модуль J fp-инъективен тогда и только тогда, когда для любого n его подмодуль _{R_n}J является fp-инъективным левым R_n-модулем.

Лемма 2. Функтор Hom из конечно-представимого дискретного левого R-модуля сохраняет точность коротких последовательностей fp-инъективных левых R-модулей. В частности, функтор J → _{R_n}J точен на категории fp-инъективных дискретных левых R-модулей.

Топологическое кольцо называется прокогерентным слева, если его можно представить в виде проективного предела последовательности когерентных слева колец и сюръективных морфизмов с ядрами, являющимися конечно-порожденными левыми идеалами (снабженного топологией проективного предела).

Почему такое определение -- в смысле, зачем условие, что ядра конечно порождены как левые идеалы? Затем, что первое ключевое понятие, связанное с когерентными кольцами -- это конечно-представимые модули.

Дискретный модуль над прокогерентным слева кольцом называется конечно представимым, если его структура модуля происходит из структуры модуля над одним из колец в проективной системе из определения прокогерентного кольца, причем этот модуль конечно представим.

На самом деле, конечно, это неправильно сформулированное определение, потому что правильная формулировка не должна зависеть от выбора проективной системы, представляющей данное прокольцо/топологическое кольцо.

Правильное определение могло бы, например, требовать, чтобы функтор Hom из нашего модуля коммутировал с направленными индуктивными пределами модулей по второму аргументу, как обычно делают в теории категорий. Тогда надо доказывать, что 1. всякий конечно представимый модуль является модулем над некоторым дискретным факторкольцом нашего топологического кольца, 2. над любым кольцом из проективной системы этот модуль конечно представим, и 3. наоборот, любой конечно представимый модуль над кольцом из проективной системы конечно представим над прокогерентным кольцом.

Еще более фундаментальный подход состоял бы в том, чтобы определить понятие разумного (reasonable) дискретного факторкольца прокогерентного кольца как такого факторкольца, что если оно оказывается факторкольцом другого, большего дискретного факторкольца этого прокогерентного кольца, то соответствующее ядро конечно порождено как левый идеал. После этого надо проверять, что любое факторкольцо разумного факторкольца прокогерентного кольца по конечно порожденному слева двустороннему идеалу разумно и кольца из проективной системы разумны. Заодно надо бы разобраться, какие из этих утверждений на самом деле зависят от условия когерентности колец в проективной системе, а какие только от условия конечной порожденности идеалов.

Как бы там ни было, ответ на исходный вопрос прост: нас интересуют конечно-представимые модули. Так вот, условие конечной порожденности слева идеалов-ядер нужно для того, чтобы модуль, конечно представимый над одним из колец в цепочке, был также конечно представим над любым последующим кольцом (и наоборот).

Копроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме определяется обычным образом. Если инд-схема инд-нетерова (или хотя бы инд-когерентна с подходящим условием (локальной) конечной порожденности пучков идеалов замкнутых вложений -- кажется, это последнее называется reasonable ind-scheme, определение принадлежащит Бейлинсону), копроизводная категория квазикогерентных пучков кручения эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных квазикогерентных пучков кручения.

Пользуясь конструкцией гомотопического прямого предела последовательности ("телескопа"), можно показать, что комплекс инъективных квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме коацикличен (и, следовательно, стягиваем), если стягиваемы его ограничения с носителем на замкнутые подсхемы. Отсюда следует, что если инд-схема инд-нетерова (или инд-когерентна и ее замкнутые подсхемы квазикомпактны), то комплекс квазикогерентных пучков кручения на ней коацикличен, если коацикличны его ограничения на открытые инд-подсхемы, образующие (пусть даже и бесконечное) открытое покрытие.

Пусть теперь π: Y → X -- плоский морфизм инд-схем, квазикомпактный в более сильном смысле из нулевого постинга этой серии. Тогда если схема X инд-нетерова (или инд-когерентная и ее замкнутые подсхемы квазикомпактны), то полупроизводная категорию квазикогерентных пучков кручения на Y относительно X определяется как факторкатегория гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков кручения на Y по полной подкатегории таких комплексов, что для любой открытой инд-подсхемы V ⊂ Y, которую π отображает аффинным морфизмом в открытую подсхему U ⊂ X, прямой образ ограничения этого комплекса V будет коацикличен как квазикогерентный пучок кручения на U.

Альтернативным образом, пусть π: Y → X -- плоский морфизм инд-схем, квазикомпактный в слабом смысле из того же постинга. Тогда полупроизводную категорию квазикогерентных пучков кручения на Y относительно X можно определить как факторкатегорию гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков кручения на Y по полной подкатегории комплексов, которые для любой квазикомпактной локально замкнутой подсхемы Z ⊂ X переводятся композицией функторов ограничения с носителем на открытую подсхему в Z ×_X Y, аффинную над Z, и прямого образа при морфизме из этой подсхемы в Z в коацикличные комплексы квазикогерентных пучков на Z.

Эти рассуждения показывают, что определение полупроизводной категории квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме, плоско и квазикомпактно расслоенной над другой инд-схемой, как таковое не представляет проблемы даже при довольно слабом определении квазикомпактности морфизма инд-схем. Хотя нужно отметить, что мы здесь ограничивались морфизмами со слоями-схемами; случай, когда в слое оказывается (допустим, слабо прорегулярная в каком-то там смысле) формальная схема, не рассматривался.

Похоже, что намного более серьезные трудности в полубесконечной алгебраической геометрии неаффинных морфизмов инд-схем π возникают при попытке построения плоских резольвент пучков в послойном направлении.

Квазикогерентным пучком кручения на инд-схеме называется правило, сопоставляющее любой ее замкнутой подсхеме квазикогерентный пучок на ней таким образом, что когда одна замкнутая подсхема содержится в другой, пучок меньшей из двух замкнутых подсхем получается из пучка на большей замкнутой подсхеме применением функтора максимального подпучка с (теоретико-схемным) носителем на замкнутой подсхеме.

Операции ядра морфизма, бесконечной прямой суммы и фильтрованного прямого предела в категории квазикогерентных пучков кручения строятся очевидным образом и коммутируют с функторами взятия компоненты (ограничения с носителем) на замнутой подсхеме. Чтобы построить коядро морфизма квазикогерентных пучков кручения, нужно взять коядро на каждой замкнутой подсхеме, рассмотреть его как квазикогерентный пучок кручения на инд-схеме (сосредоточенный на замкнутой подсхеме), и перейти к прямому пределу таких квазикогерентных пучков кручения по всем замкнутым подсхемам.

Ключевую роль играет пара сопряженных функторов: взятие компоненты (ограничение с носителем) на замкнутой подсхеме -- прямой образ с замкнутой подсхемы. Второй функтор должен быть точен; первый точен слева; оба коммутируют с бесконечными прямыми суммами и фильтрованными прямыми пределами. (Такая же пара сопряженных функторов имеется и для любой замкнутой инд-подсхемы.) Как-то там должно проверяться, что категория квазикогерентных пучков кручения абелева (а также является категорией Гротендика).

Квазикогерентный пучок кручения на инд-схеме инъективен тогда и только тогда, когда все его ограничения с носителем на замкнутые подсхемы являются инъективными квазикогерентными пучками.

В случае инд-нетеровой инд-схемы, будем называть квазикогерентный пучок кручения когерентным, если он является прямым образом когерентного пучка с замкнутой подсхемы. Категория когерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме нетерова. Категория квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме эквивалентна категории инд-объектов в категории когерентных пучков кручения.

Инд-схема -- это инд-объект в категории схем, представимый цепочкой замкнутых вложений схем, занумерованных натуральными числами. Далее, видимо, должно следовать определение/конструкция расслоенного произведения двух инд-схем над третьей. После этого можно определить замкнутое/открытое вложение инд-схем как морфизм, который после замены базы с инд-схемы в таргете на любую схему превращается в замкнутое/открытое вложение схем.

В частности, можно говорить о замкнутом вложении схемы в инд-схему, оно же замкнутая подсхема в инд-схеме. Инд-нетерова инд-схема -- это инд-схема, все замкнутые подсхемы которой нетеровы, или, что должно быть эквивалентно, инд-схема, представимая цепочкой замкнутых вложений нетеровых схем. Инд-аффинная инд-схема -- это инд-схема, все замкнутые подсхемы которой аффинны, или, что должно быть эквивалентно, инд-схема, представимая цепочкой замкнутых вложений аффинных схем.

Морфизм инд-схем называется инд-аффинным, если после замены базы с инд-схемы на любую отображающуюся в нее аффинную схему в тотальном пространстве оказывается инд-аффинная инд-схема. Морфизм инд-схем называется аффинным, если после такой же замены базы в тотальном пространстве оказывается аффинная схема. Морфизм инд-схем называется плоским, если после замены базы с инд-схемы на любую отображающуюся в нее схему в тотальном пространстве оказывается схема, плоско отображающаяся на схему в замененной базе.

Открытое покрытие инд-схемы -- это набор ее открытых инд-подсхем (открытых вложений в нее), являющийся открытым покрытием в ограничении на любую замкнутую подсхему. Понятие это несколько загадочно.

Можно ли доказать, что всякая инд-схема из какого-то там класса допускает открытое покрытие инд-аффинными инд-схемами? Или нужно постулировать это условие, рассматривая класс локально инд-аффинных инд-схем? Или открытыми покрытиями инд-схем вообще не нужно пользоваться, ограничиваясь исключительно замкнутыми подсхемами (и дальше уже, при необходимости, их открытыми покрытиями)?

Пока что приходит в голову такое определение: морфизм инд-схем называется квазикомпактным, если существует открытое покрытие базы, в ограничении на которое существует конечное открытое покрытие (каждого из соответствующих кусков) тотального пространства, в ограничении на которые морфизм инд-схем оказывается аффинным. Другой и, очевидно, более слабый вариант этого условия -- потребовать, чтобы после замены базы на любую квазикомпактную схему в тотальном пространстве оказывалась квазикомпактная схема. Какое из этих определений более правильное?

под условным названием Quasi-coherent torsion sheaves, the semiderived category, and the semitensor product.

Инд-схема плоско расслоена над инд-нетеровой инд-схемой с дуализирующим комплексом. Инд-схемы не инд-аффинные; морфизм расслоения квазикомпактный и полуотделимый. Построить тензорную структуру "двусторонне производного полутензорного произведения" на полупроизводной категории квазикогерентных пучков кручения на тотальном пространстве относительно базы. Вспомогательно использовать производную категорию точной категории про-плоских про-пучков. Начать со случая котензорного произведения (когда тотального пространства нет, а есть только база).

Сначала может быть лучше разобрать аффинный случай, прописав его в приложениях к контрагерентному препринту.

Пусть p -- простое число. Абелева группа C называется p-контраприспособленной, если Ext_Z¹(Z[p⁻¹], C) = 0. Нетрудно видеть, что для любой p-контраприспособленной абелевой группы C естественное отображение в проективный предел C → lim_n C/pⁿC сюръективно.

Верно ли обратное, или (что казалось бы более вероятным) можно привести пример не-p-контраприспособленной абелевой группы A с сюръективным отображением A → lim_n A/pⁿA ? Нетрудно убедиться, что такая группа A обязана содержать нетривиальные элементы p-кручения.

Update: Ага, да: есть вроде бы у меня довольно замысловатый контрпример, конструкция которого использует ультрафильтры и черта в ступе. Сейчас соберусь, может быть, с мыслями и запишу его здесь. Uupdate: ну, или если не ультрафильтры, то аксиому выбора (инъективность делимых абелевых групп) уж во всяком случае.

Uuupdate: в общем, короче, идея такая. В категории абелевых групп есть две подкатегории: подкатегория p-полных в наивном смысле (или, точнее сказать, p-полных и p-отделимых) абелевых групп (для которых C → lim_n C/pⁿC -- изоморфизм) и подкатегория p-контрамодулей; вторая содержит первую. Функторы вложения обеих подкатегорий имеют левые сопряженные (как бы проекторы на соответствующие подкатегории).

Для подкатегории p-полных абелевых групп такой функтор как раз переводит C в lim_n C/pⁿC, а для подкатегории p-контрамодулей этот функтор вычисляется как Ext_Z¹(Z[p⁻¹]/Z, C). Теперь p-контраприспособленные абелевы группы -- это в точности те, для которых естественное отображение в их p-контрамодульную аппроксимацию C → Ext_Z¹(Z[p⁻¹]/Z, C) сюръективно.

Пусть C -- какой-нибудь p-контрамодуль, не являющийся p-полной абелевой группой в наивном смысле; реально это значит, что C не p-отделим, т.е. пересечение подгрупп pⁿC в C не равно нулю. Обозначим это пересечение через D; тогда limⁿ C/pⁿC = C/D. Искомый контрпример не-p-контраприспособленной абелевой группы A будет собственной подгруппой в C, которая должна удовлетворять двум условиям: она сюръективно проецируется на C/D, и факторгруппа C/A является Z[p⁻¹]-модулем.

Почему этого достаточно? В самом деле, Z/pⁿZ ⊗_Z C = (ввиду второго условия) = Z/pⁿZ ⊗_Z A, так что lim_n A/pⁿA = lim_n C/pⁿC = C/D, и (ввиду первого условия) отображение A → lim_n A/pⁿA сюръективно. С другой стороны, если бы группа A была p-контраприспособленной, то она была бы p-контрамодулем, поскольку p-делимых подгрупп в ней нет (поскольку их нет в C); тогда p-контрамодулем была бы и факторгруппа C/A, что невозможно для ненулевой p-делимой группы.

Чтобы построить такую подгруппу A ⊂ C, рассмотрим конкретный пример не p-отделимого p-контрамодуля C, а именно, классический пример, где C является факторгруппой группы всех сходящихся к нулю последовательностей целых p-адических чисел c₀, c₁, c₂, … по подгруппе всех последовательностей вида e₀, pe₁, p²e₂, …, где последовательность целых p-адических чисел e_i также стремится к нулю. Подгруппа D = ∩_n pⁿC состоит из классов всех последовательностей вида d₀, pd₁, p²d₂, …, где последовательность целых p-адических чисел d_i сходиться к нулю уже не обязана, а может быть произвольной.

Группа D, таким образом, изоморфна факторгруппе группы всех последовательностей целых p-адических чисел по подгруппе последовательностей, сходящихся к нулю. Нетрудно видеть, что в такую группу можно вложить в качестве подгруппы прямую сумму счетного числа копий группы целых p-адических чисел (разбить множество индексов i в объединение счетного числа счетных множеств, рассмотреть прямую сумму счетного числа копий диагональных вложений Z_p в прямое произведение счетного числа копий Z_p каждая, заметить, что такая последовательность не может сходиться к нулю, если она не нулевая).

Прямую сумму счетного числа копий группы целых p-адических чисел можно сюръективно отобразить на группу всех рациональных p-адических чисел. Полученное сюръективное отображение из подгруппы в D на Q_p продолжается на всю группу D и далее на C, поскольку Q_p делима. Возьмем в качестве подгруппы A ⊂ C ядро полученного сюръективного гомоморфизма групп C → Q_p. Поскольку отображение D → C/A = Q_p сюръективно, сюръективно и отображение A → C/D.

1. Абелева группа является группой кокручения тогда и только тогда, когда она изоморфна бесконечному произведению, занумерованному точками спектра кольца целых чисел, где общей точке соответствует делимая абелева группа, а над простыми точками p висят Z_p-контрамодули. (Представить произвольную абелеву группу кокручения (не содержащую делимых подгрупп) в виде коядра вложения плоских групп кокручения и использовать классификацию плоских модулей кокручения над нетеровым кольцом.)

2. Функтор, сопряженный слева к вложению категории Z_p-контрамодулей в категорию абелевых групп есть функтор Ext_Z¹(Q_p/Z_p,−). Это общая ситуация: если R-коммутативное кольцо и s -- его элемент, не делитель нуля, то функтор, сопряженный слева к вложению s-контрамодульных R-модулей во все R-модули вычисляется как Ext_R¹(R[s⁻¹]/R,−). (Без предположения, что s не делитель нуля, надо вместо фактормодуля рассматривать конус морфизма R → R[s⁻¹], ну и дальше это обобщается на случай конечной последовательности элементов s, как описано в текстах про MGM-двойственность.)

3. Рассмотрев длинную точную последовательность Ext из короткой точной последовательности 0 → Z → Q → ⊕_p Q_p/Z_p → 0 в произвольную абелеву группу A, можно убедиться, что естественное отображение из факторгруппы A по ее максимальной делимой подгруппе в произведение ее p-контрамодульных аппроксимаций инъективно с коядром, являющимся Q-векторным пространством (и в частности, плоской абелевой группой). Так строится оболочка кокручения произвольной абелевой группы. Заодно получается критерий: абелева группа P является группой кокручения тогда и только тогда, когда Ext_Z¹(Q,P) = 0.

4. Рассмотрев длинную точную последовательность Ext из короткой точной последовательности 0 → Z → Z[1/n] → ⊕_p|n Q_p/Z_p → 0, можно убедиться, что абелева группа контраприспособлена тогда и только тогда, когда ее естественное отображение в произведение любого конечного набора ее контрамодульных аппроксимаций (соответствующего конечному множеству простых чисел) сюръективно. Таким образом, контраприспособленные абелевы группы суть в точности прямые суммы делимых абелевых групп и подгрупп в произведениях p-контрамодулей по всем p, сюръективно отображающихся на произведения любого конечного подмножества контрамодулей-сомножителей, факторгруппы всего бесконечного произведения по которым являются Q-векторными пространствами. Например, бесконечная прямая сумма по p любого набора Z_p-контрамодулей (среди которых бесконечно много ненулевых) -- контраприспособленная абелева группа, не являющаяся группой кокручения.

Слова "абелева группа" всюду выше на слова "модуль над дедекиндовым кольцом" можно заменить.

5. При всем при том, я не знаю ни одного нетривиального явного примера резольвенты абелевой группы в очень плоской теории кокручения. Как вложить Z в контраприспособленную абелеву группу, чтобы факторгруппа была очень плоской? Как представить Z/pZ в виде факторгруппы очень плоской абелевой группы по контраприспособленной? Возможно, трудность построения в явном виде таких резольвент как-то связана с результатами о несуществовании квазиуниверсальных морфизмов соответствующих классов (очень плоских покрытий и контраприспособленных оболочек), анонсировавшимися на конференции в Праге.

Вот, например, тензорное произведение абелевых групп -- это такая операция ⊗_Z, что Z/m(1) ⊗_Z Z/m(1) = Z/m(2).

А котензорное произведение -- это такая операция □_Q/Z, что Q/Z(1) □_Q/Z Q/Z(1) = Q/Z(2).

Навеяно http://xaxam.livejournal.com/744318.html

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/946905.html

Простейший пример полубесконечного алгебраического многообразия: расслоение k((z)) → k((z))/k[[z]]. Другими словами, в инд-спектр топологического кольца lim_n k[a_−n,…,a₀,a₁…] отображается инд-спектр пронетерова топологического кольца lim_n k[a_−n,…,a₋₁].

Соответствующий морфизм комплексов де Рама: в проективный предел DG-алгебр с мультипликативными образующими a_−n, da_−n, …, a₀, da₀, a₁, da₁, … отображается проективный предел DG-алгебр, натянутых на a_−n, da_−n, … a₋₁, da₋₁.

Связанная с этим полупроизводная категория дискретных DG-модулей над топологической DG-алгеброй де Рама: смесь производной категории в направлении переменных a_i и da_i с i ≥ 0 и копроизводной категории в направлении переменных a_j и da_j с j < 0. Формально, факторкатегория категории дискретных DG-модулей над большой топологической DG-алгеброй де Рама по полной подкатегории дискретных DG-модулей, коацикличных над замкнутой подалгеброй переменных с отрицательными номерами.

Полубесконечный комплекс де Рама: единичный объект тензорной структуры на этой полупроизводной категории. Соединение кольца функций от a_i, дуализирующего комплекса вдоль по a_j, внешней алгебры от da_i, и внешней коалгебры от da_j*.

Пример немножко тривиальный, поскольку 1. расслоение тривиально, т.е. вся картина разваливается в произведение ситаций на базе и в слое, и 2. комплекс де Рама слоя квазиизоморфен k (в характеристике нуль), поэтому обычная производная категория DG-модулей над ним есть просто производная категория векторных пространств. Менее тривиальные примеры можно получить, заменив плоские пространства на что-нибудь геометрически более интересное (подмногообразие в k((z)), задаваемое каким-нибудь уравнением или набором уравнений, например можно взять для начала что-то вроде бесконечномерной квадрики Res f(z)² = 0 и т.п.; грассманианы, и т.д.)

В процессе подготовки слайдов к выступлению на конференции в Праге родилась идея/формулировка: двусторонний производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на полубесконечном многообразии должен быть тензорной структурой на полупроизводной категории квазикогерентных пучков кручения.

Стал размышлять про простейший пример "не совсем даже еще полубесконечного" многообразия -- аффинная схема, плоская над спектром когерентного кольца с дуализирующим комплексом -- рассмотренный в апрельском препринте "Coherent rings, fp-injective modules ..." Обнаружилось, что трудности связаны скорее со словами про "двусторонний производный функтор" -- т.е., он, конечно, двусторонний, но построить его именно как производный функтор от чего-либо с ходу не получается. В то же время, тензорная структура, насколько я вижу, налицо.

Теорема. Пусть А -- когерентное коммутативное кольцо, над которым всякий fp-инъективный модуль имеет конечную инъективную размерность (для этого достаточно, скажем, чтобы всякий идеал в A допускал не более, чем счетное множество образующих). Пусть D_A -- дуализирующий комплекс для A, т.е., конечный комплекс fp-инъективных A-модулей с конечно представимыми A-модулями когомологий, такой что отображение гомотетии A → Hom_D(A-mod)(D_A,D_A[*]) -- изоморфизм.

Пусть A → R -- гомоморфизм коммутативных колец, превращающий R в плоский A-модуль. Тогда на полукопроизводной категории R-модулей относительно A, D^sico_A(R-mod), имеется структура тензорной триангулированной категории с единичным объектом R ⊗_A D_A.

Доказательство: согласно результатам упомянутого препринта, выбор дуализирующего комплекса D_A индуцирует эквивалентность между полукопроизводной категорией R-модулей относительно A и их полуконтрапроизводной категорией D^sictr_A(R-mod), причем последняя эквивалентна факторкатегории гомотопической категории комплексов A-плоских R-модулей по толстой подкатегории комплексов, абсолютно ацикличных как комплексы плоских A-модулей. Одночленному комплексу плоских A-модулей R соответствует при этой эквивалентности объект полукопроизводной категории R ⊗_A D_A.

Остается построить тензорную структуру с единичным объектом R на факторкатегории гомотопической категории комплексов A-плоских R-модулей по абсолютно ацикличным в точной категории плоских A-модулей комплексам. Будем называть, для краткости, эту категорию "полупроизводной категорией A-плоских R-модулей". Утверждается, что здесь применима обычная конструкция (уже одностороннего по факту в данном случае -- левого -- но, вообще говоря, и двустороннего) производного функтора двух аргументов (в роли которого используется функтор тензорного произведения комплексов R-модулей).

Аналогичным образом, мы хотим построить также функтор тензорного произведения объектов полупроизводной категории A-плоских R-модулей с объектами полукопроизводной категории R-модулей относительно A, принимающий значения в полукопроизводной категории R-модулей относительно A. Эквивалентность между полупроизводной категорией A-плоских R-модулей и полукопроизводной категорией R-модулей относительно A, упомянутая в первом абзаце этого доказательства, будет преобразовывать это тензорное произведение в ту же самую тензорную структуру на полукопроизводной категории.

Будем называть комплекс A-плоских R-модулей F относительно гомотопически R-плоским, если для любого A-коацикличного комплекса R-модулей N комплекс R-модулей F ⊗_R N ацикличен (просто как комплекс абелевых групп). Для построения тензорной структуры на полупроизводной категории A-плоских R-модулей достаточно показать, что для любого комплекса A-плоских R-модулей M найдется относительно гомотопически R-плоский комплекс A-плоских R-модулей F вместе с морфизмом комплексов R-модулей F → M, конус которого абсолютно ацикличен как комплекс плоских A-модулей. (На самом деле, в нашей конструкции конус будет даже A-стягиваем.)

Заметим, что полная подкатегория относительно гомотопически R-плоских комплексов A-плоских R-модулей в гомотопической категории комплексов A-плоских R-модулей замкнута относительно сдвигов, конусов, и бесконечных прямых сумм (а следовательно, и гомотопических прямых пределов последовательностей). Кроме того, эта подкатегория содержит все комплексы R-модулей, индуцированные с комплексов плоских A-модулей. Теперь для любого комплекса A-плоских R-модулей M рассмотрим бар-комплекс

… → R⊗_AR⊗_AR⊗_AM → R⊗_AR⊗_AM → R⊗_AM.

Построим тотальный комплекс этого бикомплекса с помощью взятия бесконечных прямых сумм вдоль диагоналей. С одной стороны, этот тотальный комплекс гомотопически эквивалентен гомотопическому прямому пределу своих конечных отрезков (глупой фильтрации), так что он является относительно гомотопически R-плоским ввиду сказанного выше. С другой стороны, конус естественного морфизма из этого тотального комплекса в комплекс M стягиваем A-линейной бар-гомотопией.

Чтобы построить обещанное тензорное произведение объектов полупроизводной категории A-плоских R-модулей с объектами полукопроизводной категории R-модулей относительно A, нам понадобится еще одно определение. Будем называть комплекс R-модулей G гомотопически R/A-плоским, если комплекс M ⊗_R G ацикличен для всякого комплекса A-плоских R-модулей M, абсолютно ацикличного в точной категории плоских A-модулей. Утверждается, что для всякого комплекса R-модулей N найдется гомотопически R/A-плоский комплекс R-модулей G вместе с морфизмом комплексов R-модулей G → N, конус которого коацикличен (и на самом деле даже стягиваем) как комплекс A-модулей.

Доказательство аналогично предыдущему. Нужно заметить, что класс гомотопически R/A-плоских комплексов R-модулей замкнут относительно сдвигов, конусов и бесконечных прямых сумм в гомотопической категории комплексов R-модулей. Далее, в этом классе содержатся все комплексы R-модулей, индуцированные с комплексов А-модулей. Оставшаяся часть рассуждения основана на таком же использовании бар-конструкции, как продемонстрировано выше.

См. также http://posic.livejournal.com/944604.html