![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic"Категории модулей = (приблизительно) = абелевы категории Гротендика с достаточным количеством проективных объектов"
Равенство, в самом деле, довольно приблизительное; точнее было бы сказать, что категории модулей -- это абелевы категории Гротендика, допускающие одну компактную проективную образующую. Когда есть множество компактных проективных образующих -- это категория модулей над "большим кольцом" ( = аддитивных функторов из какой-то (пред)аддитивной категории в абелевы группы). Не знаю, насколько в таком виде это уже буквально верно, или надо еще какие-то условия добавить; но похоже, что близко к верному.
"Категории контрамодулей = (приблизительно) = абелевы λ-гротендиковы категории с достаточным количеством проективных объектов"
Здесь λ -- какой-то (лучше предполагать, что регулярный) кардинал; λ-гротендикова категория -- это абелева категория с множеством образующих, в которой существуют все прямые пределы, и точны функторы λ-направленных прямых пределов. (В частности, абелева категория Гротендика в обычном смысле -- это абелева ω-гротендикова категория, где ω обозначает счетную мощность.)
Current mood: не зря съездил в Брно!
P.S. Второе равенство тоже очень приблизительно, конечно. Скажем, в категориях контрамодулей над топологическими кольцами отображение из прямой суммы любого набора проективных объектов в их прямое произведение всегда инъективно. Ниоткуда, кажется, не следует, что подобным свойством должны обладать любые λ-гротендиковы/локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов. (Двойственное условие -- чтобы отображение из прямой суммы набора инъективных объектов в их прямое произведение было сюръективным -- почитай, для одних только категорий, противоположных к естественно встречающимся, и бывает выполнено.)
Равенство, в самом деле, довольно приблизительное; точнее было бы сказать, что категории модулей -- это абелевы категории Гротендика, допускающие одну компактную проективную образующую. Когда есть множество компактных проективных образующих -- это категория модулей над "большим кольцом" ( = аддитивных функторов из какой-то (пред)аддитивной категории в абелевы группы). Не знаю, насколько в таком виде это уже буквально верно, или надо еще какие-то условия добавить; но похоже, что близко к верному.
"Категории контрамодулей = (приблизительно) = абелевы λ-гротендиковы категории с достаточным количеством проективных объектов"
Здесь λ -- какой-то (лучше предполагать, что регулярный) кардинал; λ-гротендикова категория -- это абелева категория с множеством образующих, в которой существуют все прямые пределы, и точны функторы λ-направленных прямых пределов. (В частности, абелева категория Гротендика в обычном смысле -- это абелева ω-гротендикова категория, где ω обозначает счетную мощность.)
Current mood: не зря съездил в Брно!
P.S. Второе равенство тоже очень приблизительно, конечно. Скажем, в категориях контрамодулей над топологическими кольцами отображение из прямой суммы любого набора проективных объектов в их прямое произведение всегда инъективно. Ниоткуда, кажется, не следует, что подобным свойством должны обладать любые λ-гротендиковы/локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов. (Двойственное условие -- чтобы отображение из прямой суммы набора инъективных объектов в их прямое произведение было сюръективным -- почитай, для одних только категорий, противоположных к естественно встречающимся, и бывает выполнено.)
