posic | Entries tagged with plans

А с другой стороны, кто все это прочтет? -- https://posic.dreamwidth.org/3091250.html

Год прошел. Про контрагерентные модули над квазикогерентными квазиалгебрами я написал, и про D-Ω двойственность над неаффинным многообразием на контра стороне -- тоже. Это получилась одна работа, она еще не +готова, но пишется. В целом на реализацию упомянутых в этом постинге планов уйдут годы.

Я заканчиваю +доработку рукописи про контрагерентные копучки. От идеи написать главу 9 про контрагерентные модули над квазикогерентными квазиалгебрами я пока отказался, чтобы не перегружать текст. В нем и так уже больше 400 страниц. Видимо, это будет не глава 9 в этой книжке, а отдельная работа.

Но ведь это только начало! Про +D-Ω двойственность над неаффинным многообразием на контра-стороне я до сих пор ничего не написал -- это дело ждет появления законченного текста про контрагерентные копучки. А ведь в этом состояла одна из главных целей, ради которых контрагерентные копучки были вообще придуманы.

Словосочетание "контрагерентные копучки контрамодулей" появилось у меня еще в 2012 году -- а никакой работы с определением этого понятия я до сих пор не написал. Это дело тоже ждет своего часа.

Работа про MGM-двойственность и дедуализирующие комплексы была написана весной 2015 года так, как она была написана, с прицелом на неаффинный случай, MGM-двойственность на формальной схеме. А ведь задача построения такой теории остается совершенно открытой. И так далее.

Все это -- с одной стороны. А с другой стороны -- кто все это прочтет?

В условиях эмиграции в 2015-16 годах в Израиле я стоял перед выбором -- отправиться как можно быстрее штурмовать горные вершины теории, или двигаться медленно, исследуя холмы и долины, над которыми господствует этот хребет. С практической точки зрения, выбор представлялся однозначным -- вероятность, что я останусь без средств к существованию и умру от голода на этих горах выглядела слишком большой. Эмиграция открыла возможности для сотрудничества с математиками из Брно, Праги и Падуи, и я спешил этими возможностями воспользоваться.

В 2018 году у меня появилась полупостоянная позиция в Праге, но я не отправился немедленно штурмовать вершины, а продолжил исследование холмов и долин. Решение признать поиск взаимосвязей и приложений второстепенным направлением деятельности по сравнению с построением новых больших кусков теории было постепенно принято только после окончания ковидной паники, в 2022-24 годах.

Я постараюсь, пока я еще жив и работоспособен, успеть подняться на какие-то из этих горных вершин. Это означает написание длинных, тяжелых текстов, изобилующих техническими деталями. Но на вопрос "кто все это прочтет?" ответа нет как нет.

How to assign an abelian or exact category to a geometric shape?

Аннотация:

Let us define the context of the discussion by saying that to an affine scheme we assign the abelian category of arbitrary modules over the commutative ring of functions. What categories can one then assign to a nonaffine scheme, a formal scheme, or an ind-scheme? We'd argue that there are two abelian categories to be assigned to an ind-affine ind-scheme, one abelian and one exact category to be assigned to a nonaffine scheme or stack, and one abelian and three exact categories to be assigned to a nonaffine formal scheme. Subcategories are not counted.

В принципе, если так подумать, то если устраивать в следующем учебном году такой семинар по контрамодулям и контрагерентным копучкам, то моя деятельность закончившегося учебного года -- и предшествующих лет тоже, но в частности и в особенности, 22-23 учебного года -- была к тому неплохой подготовкой. С очень плоской гипотезой мы в основном разобрались в предшествующие годы. Но говоря о произвольных плоских модулях -- одно дело только размахивать руками, заявляя что, мол, теоремы периодичности иллюстрируют, что плоские модули не так уж далеко ушли от проективных -- другое дело, когда есть серия архивных препринтов про это.

Кстати, другой вариант названия семинара: Contramodules and contraherent cosheaves in algebraic geometry.

- с аффинной схемой можно связать одну абелеву категорию
- с аффинной формальной схемой (или инд-аффинной инд-схемой) можно связать две абелевы категории
- с неаффинной схемой можно связать одну абелеву и одну точную категорию
- с неаффинной формальной схемой можно связать одну абелеву и три точные категории

Это не считая подкатегорий -- выше посчитаны только такие категории, которые не вкладываются одна в другую. (Иначе уже с аффинной схемой можно связать категорию всех модулей, инъективных, плоских, проективных и т.д.)

Более того -- все это только разновидности когерентных пучков. Ну, квазикогерентных. Ничего конструктивного, ничего D-модульного здесь не посчитано. Пучки модулей над пучком колец функций, не обладающие свойствами когерентности, не рассматриваются.

С каждой абелевой или точной категорией можно связать две-три триангулированные категории (обычную и экзотические производные категории неограниченных комплексов). Многочисленные триангулированные эквивалентности связывают между собой многочисленные триангулированные категории, которые можно породить из упомянутых абелевых и точных категорий...

Вот я думаю: by any stretch of the imagination, конструкции и свойства таких категорий могут представлять интерес для алгебраического геометра?

65 страниц. На очереди +вычитка книжной рукописи по полубесконечной алгебраической геометрии, +поездка в Штутгарт, дальше, видимо, надо будет писать +статью про некоммутативные стэки и инд-аффинные инд-схемы. Потом про +контрагерентное доказательство квазикогерентной периодичности кокручения, а потом уже +про локально когерентные точные категории. В общем, все это, видимо, растянется примерно на все лето. Нелинейность такая: пять препринтов можно написать за два с половиной месяца, но на десять препринтов уйдут, как минимум, три квартала.

В общем и в целом, последние два года (начиная с сентября 2019, и особенно с апреля 2020) отмечены возвратом к идеям московского периода. Революция 2016-18 годов постепенно выдыхается. Доля работ с соавторами снижается. Среди препринтов появляются книжные рукописи, содержание которых никак или почти никак не связано с научным общением периода эмиграции.

Все это очень естественно ввиду обстановки -- можно сказать, что я пока что неплохо использовал время, высвободившееся из-за резкого снижения интенсивности научного общения в период локдаунов. В планах остаются две книжки, замысел одной из которых восходит целиком к научному общению в Брно и Праге, а другая была в основном написана еще в Москве, но предназначается теперь к +доработке с учетом нового знания, появившегося в период эмиграции.

В общем, сейчас больше идей насчет книжек, чем насчет статей. Где-то там на горизонте маячит еще идея полупопулярной книжки про парадоксы и контрпримеры в гомологической алгебре...