posic | Entries tagged with math4

Будем называть горенштейновым кольцом то, что обычно называют "горенштейновым кольцом конечной размерности Крулля", т.е. попросту нетерово коммутативное кольцо R, имеющее конечную инъективную размерность как свободный модуль над собой.

Ясно, что над горенштейновым кольцом всякий модуль конечной проективной размерности имеет конечную инъективную размерность (надо учесть, что прямые суммы сохраняют инъективную размерность модулей над нетеровым кольцом). Уже не первый год я явно или неявно пользуюсь в своих текстах обратным утверждением -- что над горенштейновым кольцом всякий модуль конечной инъективной размерности имеет конечную проективную размерность -- известным мне из фольклора, попутно мучаясь, что не знаю ни доказательства его, ни даже ссылки.

И вот наконец с сегодняшнего дня я располагаю комбинацией аргумента и ссылки, в совокупности влекущих это утверждение.

Часть 1: аргумент. Лемма: если в абелевой категории достаточно проективных объектов, все они имеют конечную инъективную размерность, и финитистская инъективная размерность (т.е. максимальная конечная инъективная размерность объекта) этой абелевой категории равна D, то все ее инъективные объекты имеют проективную размерность, не превосходящую D.

Доказательство: рассмотрим какой-нибудь инъективный объект и напишем ему достаточно длинный начальный отрезок левой проективной резольвенты. Поскольку проективные модули имеют конечную инъективную размерность и исходный модуль был инъективен, модуль когомологий этой конечной точной последовательности проективных модулей в ее самом левом члене имеет конечную инъективную размерность. Следовательно, эта инъективная размерность не превосходит D. Если длина нашего отрезка проективной резольвенты равна по крайней мере D, то отсюда следует, что представляемый ею класс Ext из ее правого модуля когомологий в левый тривиален. Тогда исходный инъективный модуль, как объект производной категории модулей, является прямым слагаемым этого отрезка резольвенты. Следовательно, его проективная размерность не превышает D.

Часть 2: ссылка. Согласно статье Bass, Injective dimension in Noetherian rings, Trans. AMS 102 (1962), Corollary 5.5, финитистская инъективная размерность нетерова коммутативного кольца (т.е., категории модулей над ним) не превышает его размерности Крулля, которая в свою очередь не превышает его инъективной размерности, как модуля над собой. (Там и ряд других интересных утверждений есть; вообще это такой предварительный материал к Рейно-Грюзону.)

Решил буриданову задачу: раздумал и не хочу дальше утяжелять текст про относительные особенности добавлением квази-алгебр и т.п. Если уж добавлять туда чего-то, то прежде всего ко-контра соответствие для матричных факторизаций на схеме с дуализирующим комплексом. Но и эта штука, пожалуй, подождет до лучших времен, тем более, что ее надо сначала придумать.

Вместо утяжеления нынешней статьи, запланирую написание фундаментального текста про квази-когерентные CDG-алгебры и модули, освещающего следующие вопросы:

1. квази-когерентные CDG квази-алгебры и квази-когерентные CDG-модули над ними;

2. 2-категория CDG-колец (с калибровочными преобразованиями), стеки CDG-алгебр и CDG-модули над ними;

3. теоремы локальности: для квази-когерентных CDG-(квази-)алгебр, плоских, проективных, инъективных квази-когерентных CDG-модулей над ними (глобальные свойства/объекты восстанавливаются по локальным свойствам/данным на открытом покрытии, а также сохраняются при ограничении на открытую подсхему);

4. "ко-контра соответствие": ко=абсолютная производная категория локально свободных CDG-модулей бесконечного ранга эквивалентна копроизводной категории квази-когерентных CDG-модулей. Для матричных факторизаций это гипотетически так для нетеровой схемы с дуализирующим комплексом; для произвольных CDG-алгебр нужно придумывать какое-то обобщение.

P.S. И еще, кстати,

2'. квази-когерентные CDG-алгебры над стеками вместо схем (как у П.-В.)

Похоже, есть два основных примера пучков модулей над структурным пучком схемы, не являющихся квази-когерентными пучками:

- продолжение нулем какого-нибудь (скажем, структурного) пучка с открытой подсхемы;

- пусть x -- (скажем, замкнутая) точка схемы X и M -- какой-нибудь модуль над локальным кольцом O_X,x. Рассмотрим следующий пучок на X: его слой над всеми точками, кроме x, равен нулю, а слой над точкой x равен M. Это пучок O_X-модулей; а квази-когерентен он тогда и только тогда, когда все элементы максимального идеала кольца O_X,x действуют в M локально нильпотентно.

Например, можно взять X = Spec Z, x = p -- простое число, и M = Q или Z_(p). Получится не-квази-когерентный пучок O_{Spec Z}-модулей.

Пусть R -- коммутативное кольцо, A -- некоммутативное, и R → A -- гомоморфизм колец, удовлетворяющий нижеследующему условию (это называется, что A -- дифференциальный бимодуль или, в моей новой терминологии, "квази-алгебра" над R). Требуется, чтобы для любых элементов r из R и a из A существовало натуральное n, такое что последовательность элементов b₀ = a, b_i+1 = rb_i − b_ir обращается в ноль начиная с номера n, т.е., b_n = 0.

Следующее далее с большой вероятностью является слабеньким следствием результатов из работы Рено-Грюзон, но я туда пока еще по этому поводу не заглядывал, а повозился немножко сам, и вот что получилось.

Утверждение: пусть М -- левый R-модуль, такой что для любого простого идеала p из R локализация _(p)M модуля M в точке p является плоским модулем над некоммутативным кольцом _(p)A = A_(p), или, что все равно, над некоммутативным кольцом A. Тогда и сам модуль M является плоским A-модулем.

Доказательство: основным нашим инструментом является точная последовательность Чеха. Для разминки, докажем сначала, что если f_i -- (конечный) набор элементов кольца R, такой что спектр R является объединением спектров его локализаций по элементам f_i (т.е. попросту элементы f_i порождают единичный идеал в R), и локализация M по каждому из элементов f_i является плоским A-модулем, то и сам M является плоским A-модулем.

Точная последовательность Чеха имеет вид

0 → M → ⊕_i [f_i⁻¹]M → ⊕_{i < j} [f_i⁻¹,f_j⁻¹]M → … → 0.

Очевидно, локализация сохраняет плоскость. Если все нетривиальные члены, кроме самого левого, плоские, то и самый левый член тоже плоский. С разминкой мы справились.

( А исходно заявленное утверждение не получается )

Пусть X -- гладкое аффинное многообразие над полем k (которое можно считать полем комплексных чисел), M и N -- левый и правый D-модули на X. Рассмотрим такую штуку -- тензорное произведение N⊗_{D_X}M пучков модулей N и M над пучком колец D_X. Ну, это значит, что надо для любого открытого подмногообразия U⊂X взять тензорное произведение N(U) и M(U) над некоммутативным кольцом D(U), и получившийся предпучок пучковизировать.

Получится пучок k-векторных пространств на X. Что можно про него сказать? Скажем, есть естественное отображение k-векторных пространств N(X)⊗_D(X)M(X) → (N⊗_{D_X}M)(X); что можно сказать про это отображение?

Я хочу определить плоский D-модуль как такой, тензорное произведение с которым над D_X является точным функтором (со значениями в категории пучков k-векторных пространств). Ясно, что D-модуль плоский тогда и только тогда, когда все его слои -- плоские модули над соответствующими слоями пучка D_X. Верно ли, что D-модуль M плоский тогда и только тогда, когда D(X)-модуль M(X) плоский? (Часть "тогда" вроде бы легко проверить.)

Продолжение http://posic.livejournal.com/632588.html и http://posic.livejournal.com/559763.html

0. "Надежда", высказанная в первом постинге по ссылке, пока что не подтверждается. Я не вижу, чтобы конкретные рассуждения из моего текста где-либо использовали неособость. Но может быть, это и к лучшему, потому что

1. Давно и хорошо известно, в т.ч. мне, что задача, которую в соответствующей частной ситуации пытается решать эта статья, в общем случае неразрешима в принципе. Найти для триангулированной категории с выделенным классом объектов точную категорию, порожденную объектами этого класса, в которой Ext-у между объектами этого класса были такими же, как в исходной триангулированной, вообще говоря, невозможно. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы этого можно было сделать, является (i) отсутствие отрицательных Ext-ов + (ii) наличие глупых фильтраций ("K(π,1)-гипотеза").

2. В этой ситуации удивительно не то, что при попытке решения неразрешимой задачи возникают трудности, а то, что до возникновения трудностей удается так далеко продвинуться. На самом деле, в статье объясняется, что (в предположении K(π,1)-гипотезы для мотивов А.-Т. над полями) такие трудности, в конечном итоге, могут возникать только в связи с особыми многообразиями (с которыми приходится иметь дело, даже если интересуют только гладкие, поскольку основная теорема Зарисского в форме Гротендика производит на свет особые многообразия).

3. Реально в статье доказывается, что Ext-ы между тейтовскими сдвигами мотивов произвольных квазиконечных многообразий над X (в качестве первого аргумента) и мотивов неособых конечных многообразий над X (в качестве второго аргумента) в точной категории A.-T. мотивов такие же, как в триангулированной категории мотивов, для любого многообразия X (в предположении К(π,1)-гипотезы для мотивов А.-Т. над полями). Если подставить в качестве второго аргумента мотив особого конечного (или этального, не факторизующегося через неособое конечное) многообразия над X, утверждение, видимо, в общем случае перестает быть верным. (Поскольку мало правдоподобно, чтобы "мотивные" когомологии особых многообразий, посчитанные по правилу этального спуска Бейлинсона-Лихтенбаума для топологии Нисневича, пусть даже только с конечными коэффициентами, удовлетворяли cdh-спуску, которому должны удовлетворять настоящие мотивные когомологии.)

4. Однако, оно, видимо, остается верным для кривых, поскольку в случае кривых можно обойтись неособыми многообразиями в основной теореме З. в форме Г. (т.к. разрешение особенностей кривой является конечным морфизмом). Кажется, отсюда должно следовать, что K(π,1)-гипотеза для мотивов А.-Т. над полями влечет такую же гипотезу для мотивных пучков А.-Т. над кривыми (может быть, даже особыми). Что помимо рассуждений из моей работы выглядит совершенно неочевидным.

5. Не пора ли формулировать в явном виде гипотезу, что точная категория, которая у меня строится, эквивалентна точной подкатегории в триангулированной категории мотивных пучков, порожденной мотивными пучками А.-Т.? Понятно, что вопрос об определении этой триангулированной категории может не быть к настоящему времени вполне ясен для специалистов, но по существу можно считать, что это другой вопрос?

6. Не пора ли отбросить предположение неособости базовых многообразий в большинстве определений и формулировок в статье? Все равно же все сопряженности имеют место для точных категорий мотивов А.-Т. над произвольными многообразиями, и особые многообразия возникают в основной теореме З. (и их мотивы порождаются мотивами неособых многообразий или многообразий, этальных над базовым), так что уж теперь?

а также и не когерентные аналоги, а собственно сами матричные факторизации в ставшем уже традиционным смысле слова (т.е. локально свободные конечного ранга)... а также абсолютные и относительные триангулированные категории особенностей... короче, новая версия статьи дописана. Дальше она будет правиться, но существенно новых добавлений уже не ожидается. В новой версии 41 страница (в последней архивной было 16).

Появилось уточнение теоремы Д.О., описывающее образ его вполне строгого функтора Σ как ядро некого функтора прямого образа при замкнутом вложении, достаточные условия существования прямых образов разных классов матричных факторизаций при разных морфизмах схем, а также ряд результатов о взаимосвязях разных типов экзотических производных категорий матричных факторизаций, и много коммутативных диаграмм для наглядности.

См. http://positselski.narod.ru/remark.ps (ссылка уже давалась под замком, ну а теперь без замка. Название файла является наследием нескольких дней в конце января, когда писавшийся текст предварительно назывался "A remark on O.'s theorem on matrix factorizations" или что-то такое).

06.09.11 -- Update: теперь уже лучше кликать на http://positselski.narod.ru/matrix.ps

Будем рассматривать матричные факторизации регулярного потенциала w на схеме X. Они образуют DG-категорию; и, как во всякой DG-категории, конечному комплексу объектов можно сопоставить его тотальный объект. С другой стороны, матричной факторизации можно сопоставить ее образ при функторе коядра Σ имени Д.О. -- объект триангулированной категории особенностей нулевого локуса X₀, представленный конкретным когерентным пучком на X₀.

Соответственно, конечному комплексу матричных факторизаций можно сопоставить конечный комплекс коядер, который тоже представляет некий объект триангулированной категории особенностей. А можно вместо этого взять у конечного комплекса матричных факторизаций тотальную матричную факторизацию, и на нее уже подействовать функтором коядра (получив не комплекс, а просто когерентный пучок на X₀).

Как показать, что этот комплекс пучков и этот пучок представляют один и тот же объект триангулированной категории особенностей?

1. Во-первых, ко=абсолютная производная категория локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга вполне строго вкладывается в "большую" ("штрихованную") версию триангулированной категории "абсолютных" (в смысле, не относительных) особенностей нулевого локуса. Это можно доказать двумя способами:

а) Как мне сейчас кажется, доказательство полной строгости из работы Д.О. (2011 года) проходит для матричных факторизаций бесконечного ранга.

б) Кроме того, проходит и доказательство из моей работы, в следующей модификации. Нужно рассмотреть вариант основной теоремы, в котором всюду стоят (локально свободные или квазикогерентные) матричные факторизации бесконечного ранга, а производные категории -- всюду абсолютные, и соответственно большая версия триангулированной категории относительных особенностей определяется без бесконечного суммирования. В такой модификации проходят все аргументы, использовавшиеся в случае конечного ранга.

2. Во-вторых, ко=абсолютная производная категория локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга вполне строго вкладывается в "большую" ("штрихованную") версию триангулированной категории относительных особенностей нулевого локуса (определяемую с использованием бесконечного суммирования, как полагается).

Это утверждение выводится из утверждения 1. с помощью аргумента полуортогональности (того, что в моей статье проходит под именем аргумента ортогональности -- но в этом случае с бесконечным суммированием от него остается только одна половина, так сказать, "более легкая" -- которую можно доказать без рассуждения с !-обратным образом).

----

В результате получается утверждение о полной строгости функтора из ко/абсолютной производной категории локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга в копроизводную категорию квазикогерентных матричных факторизаций -- род утверждения, для прямого доказательства которого на языке производных категорий второго рода у меня нет никаких средств.

Более того, в последние дни до изобретения вышеописанного я думал, что эта полная строгость вообще места не имеет, поскольку на самом деле эти категории, предположительно, эквивалентны посредством совсем другого функтора -- http://posic.livejournal.com/644197.html

14.08.11 -- Update: п.2, видимо, неверен, поскольку ниоткуда не следует, что функтор локализации Вердье из ограниченной производной категории квазикогерентных пучков в штрихованную производную категорию (абсолютных) особенностей сохраняет бесконечные прямые суммы (те из них, которые есть в первой категории). Соответственно, и итоговый вывод, видимо, неверен.

Дня два или три мучился ужасно, напридумывал всяких штук. Вроде да, все, доказал теорему о точной DG-категории конечной гомологической размерности. Деликатное такое, тонкое, длинное рассуждение. Аргумент из доказательства предложения из раздела 1 статьи 1102.0261v4 туда, аргумент с Ионедовским Ext-ом в русле двух лемм из раздела 4.4 статьи 1006.4343 сюда, ну и дальше еще пару верст лесом. Расслабился немного, успокоился. Сел записывать.

Для случая локально проективных квазикогерентных CDG-модулей, естественно. А что, я про точную DG-категорию писать буду, что ли? Ее определение во всем мире когда-то знал один человек (я), да и тот уже позабыл. Ну, всему есть предел; сколько можно громоздить абстракции на абстракции?

Гляжу -- а что это я, собственно, такое собираюсь писать? Берется резольвента Чеха. Объект, коацикличный по отношению к локально проективным, на аффинном открытом подмножестве становится стягиваемым. Точка, собственно. Две-три фразы все доказательство, включая ссылку на раздел 3.5 текста 0905.2621 (аффинный случай).

Все, собственно. Занавес.

20:25 -- Update. А вот и нет: прямой образ-то с аффинного вложения локальную проективность не сохраняет. Ну что, пора прописывать деликатное рассуждение?

10.08.11 1:45 am -- UUpdate: Сижу, прописываю, да. Хотя конечность локально проективной размерности прямой образ с аффинного вложения сохраняет, небось, так что можно и с помощью Чеха...

11.08.11 21:35 -- UUUpdate: Написал, да. Вроде правильно все.

Есть такое понятие -- дифференциальный бимодуль над коммутативным кольцом. Ну, это который, как квазикогерентный пучок на квадрате спектра кольца, имеет теоретико-множественный носитель на диагонали. [См. расшифровку в комменте, а то предел длины постинга.] Скажем, кольцо дифференциальных операторов является дифференциальным бимодулем над кольцом функций.

Понятие это хорошо своей локальностью: если отлокализовать дифференциальный бимодуль над A по какой-то мультипликативной системе элементов A слева, то он тут же сразу отлокализуется и справа. Поэтому мне кажется, что когда я пишу про квазикогерентные алгебры над схемами в своих известных текстах, там это можно было бы с необычайной легкостью обобщить на не-совсем-алгебры, являющиеся дифференциальными бимодулями. Ну, вот как кольцо дифференциальных операторов.

Но прописывание этого обобщения упирается в нелепую и банальную терминологическую проблему, которую я не могу преодолеть.

А именно, есть также понятие "дифференциальной градуированной алгебры" или "искривленной (curved) дифференциальной градуированной алгебры". Ну, это все знают: алгебра со структурой комплекса, задаваемой дифференциалом d, удовлетворяющим правилу Лейбница со знаками.

Пусть теперь у меня есть дифференциальное градуированное кольцо B, и в нем в нулевой компоненте коммутативное подкольцо A, такое что B, с его естественной структурой бимодуля над A, является дифференциальным бимодулем. Как такой объект называть? Дифференциальная дифференциальная градуированная алгебра? Дифференциальная градуированная дифференциальная алгебра?

В принципе, может быть, достаточно было бы ответить на такой вопрос: как называется некоммутативное кольцо с коммутативным подкольцом, над которым оно является дифференциальным бимодулем? Какой-нибудь менее двусмысленный термин, чем "дифференциальная алгебра", есть?

Ср. http://posic.livejournal.com/643281.html

Пусть X -- нетерова схема с дуализирующим комплексом D. Рассмотрим такое отображение из ко/абсолютной производной категории локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга (какого-то потенциала на X) в копроизводную категорию квазикогерентных матричных факторизаций (того же потенциала): тензорное умножение на D и сворачивание. (Ну, известно, что матричные факторизации можно тензорно перемножать, и потенциалы при этом суммируются. А мы в данном случае будем умножать матричные факторизации потенциала w на матричную факторизацию нулевого потенциала, каковой можно считать любой Z/2-градуированный комплекс квазикогерентных пучков. В нашем случае, это будет даже Z-градуированный комплекс; мы забудем его градуировку до Z/2-градуировки. На самом деле, D -- конечный комплекс, но нам для корректности важно только, что он ограничен снизу.)

Не является ли этот функтор эквивалентностью категорий в общем случае? Нельзя ли это доказать, следуя в русле работ Краузе-Ийенгара, Неемана-Мурфета и т.д.?

Пусть X -- горенштейнова (нетерова отделимая, с достаточным числом векторных расслоений) схема конечной размерности Крулля. Тогда копроизводная категория локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга (какого-то сечения линейного расслоения) на X эквивалентна копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций.

Доказательство: на горенштейновой схеме классы квазикогерентных пучков конечной инъективной размерности и конечной локально свободной (или плоской) размерности совпадают. Копроизводная категория квазикогерентных м.ф. эквивалентна гомотопической категории инъективных м.ф., последняя эквивалентна ко/абсолютной производной категории м.ф. конечной инъективной/локально свободной размерности, а та уже эквивалентна ко/абсолютной производной категории локально свободных м.ф. Осталось нарисовать коммутативную диаграмму, увязывающую все это воедино.

Вопросы: 1. В Two kinds of derived categories ... рассматривается еще "конечный-над-горенштейновым" случай; может быть, его стоит рассмотреть и здесь? Что можно сказать о схемах, конечных над горенштейновыми? В их число входят, в частности, артиновы схемы, конечные над спектром поля; ясно, что не все они горенштейновы, во всяком случае.
2. Нельзя ли доказать, что на горенштейновой схеме абсолютные производные категории локально свободных м.ф. конечного ранга и когерентных м.ф. совпадают?

P.S. К п.1: Вообще-то, есть лемма Нетера о нормализации: всякое аффинное многообразие над полем конечно над аффинным пространством. Но для наших целей нужно больше: схема должна быть не только конечной, но одновременно и плоской над горенштейновой. Какие многообразия таковыми являются?

P.P.S. Ага, доминантный конечный морфизм в регулярное многообразие из (неприводимого) коэн-маколеева многообразия является плоским -- http://mathoverflow.net/questions/20802/finite-morphisms-between-algebraic-varieties-are-flat (см. также Упр. III.10.9 из учебника Хартсхорна). Таким образом, я, может быть, научился использовать не только горенштейновость, но и коэн-маколеевость!

P.P.P.S. Но в этом конечном-над-горенштейновом случае эквивалентность между ко/абсолютной производной категорией локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга и копроизводной категорией квазикогерентных матричных факторизаций не будет задаваться естественным вложением! Это будет такая ковариантная двойственность Серра, подкрутка на дуализирующий пучок (!-подъем постоянного пучка с горенштейновой базы).

Будем говорить про матричные факторизации. Абсолютная производная категория локально свободных матричных факторизаций конечного ранга вполне строго вкладывается в абсолютную производную категорию когерентных матричных факторизаций, а та -- в копроизводную категорию квазикогерентных матричных факторизаций (предложение из раздела 1 текущей версии 1102.0261).

Рассмотрим квадратную диаграмму из абсолютных (именно так) производных категорий локально свободных матричных факторизаций конечного и бесконечного ранга, когерентных и квазикогерентных матричных факторизаций. Что функтор из локально свободных бесконечного ранга в квазикогерентные вполне строгий, доказывается так же, как в вышеупомянутом предложении. Что функтор из когерентных в квазикогерентные вполне строгий, вообще как угодно доказывается. Про функтор из локально свободных конечного ранга в когерентные, см. выше. Поэтому функтор из локально свободных конечного ранга в локально свободные бесконечного ранга -- тоже вполне строгий.

Над доказательством того, что абсолютная производная категория локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга совпадает с их копроизводной категорией, я тут работаю помаленьку (см. два предыдущих постинга). Если это получится, отсюда будет следовать, что абсолютная производная категория локально свободных матричных факторизаций конечного ранга вкладывается в копроизводную категорию локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга.

Как доказать, что копроизводная категория локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга вкладывается в копроизводную категорию квазикогерентных матричных факторизаций? (Для регулярной схемы конечной размерности Крулля вопрос ясен, конечно.)

Очевидная совершенно, но, похоже, полезная. Главное, придумать, что нужно придумать такую конструкцию. Это такое развитие конструкции CDG-модуля, свободно порожденного/косвободно копорожденного данным градуированным модулем.

Пусть (B,d,h) -- CDG-алгебра (или пучок CDG-алгебр), M -- CDG-модуль над (B,d,h), K -- градуированный B-модуль, K → M -- сюръективный гомоморфизм градуированных B-модулей. Тогда существует CDG-модуль P над (B,d,h) вместе с сюръективным гомоморфизмом CDG-модулей P → M и сюръективным гомоморфизмом градуированных B-модулей P → K, образующими коммутативный треугольник. При этом если K и подлежащий градуированный B-модуль M принадлежат какой-то точной подкатегории градуированных B-модулей (разумной -- скажем, замкнутой относительно расширений во всех градуированных B-модулях) и K → M -- допустимый эпиморфизм в этой точной категории, то P тоже принадлежит этой точной категории и два других отображения -- тоже допустимые эпиморфизмы.

Полезность такой конструкции очевидна размышлявшему о поведении Ext-ов Ионеды по отношению к функторам, подкатегориям и т.д.; а собственно конструкция очень простая. Как известно, всякому градуированному B-модулю N можно сопоставить свободно порожденный им CDG-модуль G⁺(N) и косвободно копорожденный CDG-модуль G⁻(N). Элементы G⁺(N) суть формальные выражения n' + dn'', а элементы G⁻(N) суть пары (во что наш элемент переходит в N; во что дифференциал нашего элемента переходит в N). На самом деле G⁻(N) = G⁺(N)[1]. Имеются естественные отображения градуированных модулей N → G⁺(N) и G⁻(N) → N. Все вместе перечисленные отображения образуют короткую точную последовательность градуированных B-модулей N → G⁺(N) → N[−1], а если скомпоновать их в другом порядке, получится стягивающая гомотопия G⁺(N) → G⁺(N)[−1] ((ко)свободно (ко)порожденные CDG-модули стягиваемы).

Возвращаясь к нашей исходной ситуации, определим G⁻(K/M) как множество пар элементов в K, образ одного из которых в M равен дифференциалу образа другого. Формально, G⁻(K/M) есть расслоенное произведение G⁻(K) и M над G⁻(M). Здесь отображение M → G⁻(M) -- не одно из перечисленных выше, а отображение в противоположную сторону к одному из перечисленных выше (сечение); существует оно потому, что M -- CDG-модуль, а не просто градуированный модуль, и является замкнутым морфизмом CDG-модулей.

Копроизводная категория локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга (на квазикомпактной полуотделимой схеме -- ну или вообще для точной DG-категории конечной гомологической размерности, с точными прямыми суммами) совпадает с их абсолютной производной категорией.

Пора бы уже доказать этот факт, а то его отсутствие мешает. На нынешний момент он известен в предположении наличия в точной категории инъективных объектов -- и вроде по сути инъективные объекты тут мало при чем. И еще отдельно для случая экзотических производных категорий абелевой категории он известен.

P.S. Нужно просто доказать, что для любого морфизма из абсолютно ацикличного объекта A в любой объект X найдется у X конечная правая резольвента (в категории замкнутых морфизмов) 0 → X → Y⁰ → Y¹ → ... → Y^d → 0, такая что морфизм из A в тотализацию Y⁰ → Y¹ → ... → Y^d стягиваем. При этом d должно быть равномерно ограничено в терминах гомологической размерности категории. Тогда морфизм из A в X факторизуется через тотализацию X → Y⁰ → Y¹ → ... → Y^d. В частности, если A = X и морфизм тождественный, А оказывается прямым слагаемым тотализации X → Y⁰ → Y¹ → ... → Y^d, т.е., абсолютно ацикличные объекты суть в точности прямые слагаемые тотализаций точных последовательностей длины d в категории замкнутых морфизмов. Отсюда сразу ясно, что класс абсолютно ацикличных объектов замкнут относительно бесконечных прямых сумм.

мне труднее работать, чем с некоммутативными кольцами и коалгебрами там всякими. Вот например, писать всюду "на всякий случай" предположение, что схема отделима -- это одно. А уметь пользоваться этим условием -- это вовсе даже другое.

На отделимой схеме можно писать комплекс Майера-Виеториса/Чеха по аффинному покрытию, и все функторы прямого образа в этом комплексе будут точными. Вот и вся проблема с Remark 1.B в текущей версии 1102.0261.

Не умеешь -- не берись? А вот я буду браться, и все тут. Патамушта амплуа такое.

(Между тем интересно, что для некоторых рассуждений достаточно на выбор либо отделимости (с точностью прямых образов с аффинных открытых подсхем), либо нетеровости (с хорошими свойствами инъективных пучков). Где-то я что-то об этом краем глаза видел написанным, да позабыл, где.) [Upd.: см. напр. Appendix B к Thomason-Trobaugh.]

На самом деле, матричные факторизации тут мало при чем, а речь должна идти о модулях над более-менее произвольными квазикогерентными CDG-алгебрами (над нетеровыми схемами с достаточным числом векторных расслоений).

Так вот, с морфизмом схем, окольцованных квазикогерентными CDG-алгебрами, связана пара "частично сопряженных" функторов -- обратный образ когерентных CDG-модулей конечной плоской размерности и прямой образ произвольных квазикогерентных CDG-модулей.

В ситуации же, когда морфизм квазикогерентных CDG-алгебр, согласованный с морфизмом схем, имеет конечную плоскую размерность, появляются сразу две пары сопряженных функторов. Обратный образ произвольных квазикогерентных CDG-модулей (определяемый с помощью конечных левых резольвент, приспособленных к обратному образу) сопряжен к прямому образу квазикогерентных CDG-модулей (определяемому с помощью инъективных резольвент). А обратный образ квазикогерентных CDG-модулей конечной плоской размерности (определяемый с помощью плоских резольвент) сопряжен прямому образу CDG-модулей конечной плоской размерности (определяемому с помощью резольвент Чеха).

1. При любом морфизме (нетеровых схем) можно взять прямой образ квазикогерентной матричной факторизации и получить аналогичную. Использовать инъективные резольвенты.
2. При любом морфизме конечной плоской размерности (нетеровых схем конечной размерности Крулля с достаточным числом векторных расслоений) можно взять прямой образ локально свободной матричной факторизации и получить аналогичную. Использовать комплекс Чеха (это я только что придумал, но, вроде, оно верно).
3. При любом морфизме, собственном в ограничении на локус нулей (регулярного сечения), можно взять прямой образ когерентной матричной факторизации и получить аналогичную. Использовать пункт 1, потом перейти к триангулированным категориям относительных особенностей и использовать теорему о сохранении когерентности производными прямыми образами при собственном морфизме.
4. Можно ли построить прямой образ локально свободной матричной факторизации конечного ранга (так, чтобы получить аналогичную) при собственном морфизме конечной плоской размерности? В случае, когда база регулярна, это следует из пункта 3, но приятно было бы избавиться от этого предположения.

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/563072.html

Пусть H -- категория, S -- локализующий класс морфизмов в H (удовлетворяющий условиям Оре), K -- другая категория, F: H → K -- функтор. Мы хотим построить, скажем, левый производный функтор LF функтора F относительно локализующего класса S, который бы действовал из H[S⁻¹] в K. Следуя Делиню, будем говорить, что LF определен на объекте X категории H[S⁻¹], если существует морфизм Y → X в H, принадлежащий S, такой что для любого морфизма Z → Y в H, принадлежащего S, найдется морфизм W → Z в H, принадлежащий S, такой что морфизм F(W→Y) является изоморфизмом в K. В этом случае, положим LF(X) = F(Y).

Другими словами: из условий Оре следует, что категория всех морфизмов в объект X в категории H, принадлежащих S, является направленной. Объектом LF(X) называется проективный предел F(Y) по всем морфизмам Y→X, принадлежащим S, если этот предел стабилизируется на конфинальной подкатегории (в противном случае, LF(X) существует как про-объект, но не как настоящий объект в K).

Теперь предположим, что у нас имеются категории H' и H'' с локализующими классами S' и S'', и пара сопряженных функторов F: H'→H'' и G: H''→H' (F сопряжен слева, а G справа). Нас интересуют производные функторы композиций F и G с функторами локализации H'' → H''[S''⁻¹] и H' → H'[S'⁻¹]; в порядке вольности речи, будем называть их просто производными функторами F и G и обозначать LF и RG. Так вот, частично определенные функторы LF и RG между категориями H'[S'⁻¹] и H''[S''⁻¹] сопряжены на тех объектах, на которых они определены, т.е. имеются естественные биекции

Mor_{H''[S''⁻¹]}(LF(X),Y) = Mor_H'[S'⁻¹](X,RG(Y))

для всех X из H'[S'⁻¹] и Y из H''[S''⁻¹], таких что LF(X) и RG(Y) определены (как объекты H''[S''⁻¹] и H'[S'⁻¹]). В самом деле, оба множества суть индуктивные пределы множеств Hom_H''(FZ,W) = Hom_H'(Z,GW) по всем морфизмам Z→X, принадлежащим S', и Y→W, принадлежащим S''.