Еще о прямых и обратных образах матричных факторизаций

[posic]

На самом деле, матричные факторизации тут мало при чем, а речь должна идти о модулях над более-менее произвольными квазикогерентными CDG-алгебрами (над нетеровыми схемами с достаточным числом векторных расслоений).

Так вот, с морфизмом схем, окольцованных квазикогерентными CDG-алгебрами, связана пара "частично сопряженных" функторов -- обратный образ когерентных CDG-модулей конечной плоской размерности и прямой образ произвольных квазикогерентных CDG-модулей.

В ситуации же, когда морфизм квазикогерентных CDG-алгебр, согласованный с морфизмом схем, имеет конечную плоскую размерность, появляются сразу две пары сопряженных функторов. Обратный образ произвольных квазикогерентных CDG-модулей (определяемый с помощью конечных левых резольвент, приспособленных к обратному образу) сопряжен к прямому образу квазикогерентных CDG-модулей (определяемому с помощью инъективных резольвент). А обратный образ квазикогерентных CDG-модулей конечной плоской размерности (определяемый с помощью плоских резольвент) сопряжен прямому образу CDG-модулей конечной плоской размерности (определяемому с помощью резольвент Чеха).

Comments

[roma.livejournal.com]

есть ли естественное понятие квазиизоморфизма схем окольцованных CDG алгебрами, которое влекло бы, что все эти функторы -- (квази)эквивалентности?

[posic.livejournal.com]

Хорошего ответа на этот вопрос я не знаю даже в аффинном случае, когда просто морфизм CDG-колец рассматривается. Разве что что-нибудь в таком духе: предположим что на обоих CDG-кольцах/пучках CDG-колец есть конечные убывающие фильтрации (мультипликативные и сохраняемые дифференциалами), согласованные с данным морфизмом. Морфизм факторколец F⁰/F¹ является просто изоморфизмом, а морфизмы бимодулей Fⁱ/Fⁱ⁺¹ над этими факторкольцами имеют коацикличные конуса. И еще какое-нибудь условие левой или правой плоскости на эти бимодули наложить нужно. Тогда, может быть, можно утверждать, что будет эквивалентность копроизводных категорий CDG-модулей каких-нибудь.

Это я пытаюсь переписать для случая CDG-колец аналогичное условие для CDG-коалгебр, прописанное у меня в статье (0905.2621, раздел 4.8). Для CDG-коалгебр там фигурируют возрастающие фильтрации, которые могут быть бесконечными (как всегда, с CDG-коалгебрами технически приятнее иметь дело, чем с CDG-кольцами, и тут уж ничего не поделаешь).