posic

https://posic.dreamwidth.org/2588754.html

Да, конечно, я был бы ужасно рад все это (pun intended) проинтегрировать обратно. Завершив анализ мелких деталей, вернуться к синтезу и снова собрать из них целое. Связать воедино контрамодули, контрапроизводные категории -- и харклассы каких-то CDG-структур.

Наверно, в следующей жизни...

Вчитался. Не сразу, не с первой попытки, но вчитался все-таки, понимаю теперь, о чем идет речь. В моем собственном доказательстве из статьи с Сашей Е. о матричных факторизациях, десятилетней давности. Теоремы 1.6, о производных категориях второго рода в ситуации конечной гомологической размерности точной категории градуированных объектов, но без предположения наличия проективных или инъективных объектов в этой точной категории. Типа категории плоских пучков на схеме. Ну, или ладно, локально свободных пучков бесконечного ранга (в точной категории плоских пучков есть достаточно инъективных объектов, если приглядеться).

Дело было так. Весной 1999 года я придумал свои производные категории второго рода, и мне почти сразу же захотелось разработать мощные технические средства для работы с ними. Новые понятия! Столько естественных вопросов! Надо научиться на них отвечать.

Первый результат в этом ряду появился через восемь лет, в 2007 году, в составе трактата по полубесконечной гомологической алгебре, в контексте комодулей над кокольцами. Вторую и третью теоремы я доказал еще через три maгода, в 2011 году, в статье про матричные факторизации.

Еще десять лет пролетело с тех пор. Не только я думаю, что никто (кроме, может быть, самого Саши) за это время не прочел мои доказательства основных результатов разделов 1.4, 1.5 и 1.6 в статье с Сашей Е., но и сам я с трудом вчитываюсь в свою теорему 1.6. К 1.4 (про finite resolution dimension -- это она восходит к 2007 году) и 1.5 (про полную строгость) я уже немножко привык, переписав их по нескольку раз с вариациями в другие работы, а к 1.6 впервые возвращаюсь. Ну что, если вчитаться как следует, то вроде все имеет смысл. Но кто ж это сможет в такое вчитаться...

Как обычно, в общих чертах идеи рассуждений прозрачны. Реализация состоит из многих сложных деталей.

Сбылась мечта идиота. Я, конечно, пытаюсь сейчас все это прописать как-то более педагогично. Терминологию развел: "resolvable objects", "approachable objects". Доказательство теоремы про finite resolution dimension для точных DG-категорий уже лежит на Архиве, доказательство теоремы полной строгости для точных DG-категорий я завтра собираюсь выложить. Не знаю, кто и когда это прочтет.

Я хотел стать автором оригинальных трудных теорем и стал. Надо бы в следующей жизни не забыть захотеть чего-нибудь другого.

Придумал пример абелевой категории A с аддитивной полной подкатегорией E, такой что

- все объекты A являются прямыми слагаемыми объектов из E;
- все короткие точные последовательности в A, состоящие из объектов из E, расщепляются;
- но в А есть нерасщепимые короткие точные последовательности.

Взять за A категорию морфизмов конечномерных векторных пространств x: X' → X''. За E взять полную подкатегорию, состоящую из всех морфизмов f: F' → F'', таких что dim F' − dim F'' = rk f.

Да. Топологический радикал Джекобсона топологически полусовершенного топологического кольца аннулирует неприводимые контрамодули.

Радикал Джекобсона кольца аннулирует неприводимые модули (по определению). Топологический радикал Джекобсона топологического кольца аннулирует неприводимые дискретные модули (по определению). Неизвестно (!), аннулирует ли топологический радикал Джекобсона топологического кольца неприводимые контрамодули, в общем случае.

Но топологический радикал Джекобсона топологически полусовершенного топологического кольца аннулирует неприводимые контрамодули. Это теорема, доказательство которой я придумал пару дней назад, и мне по-прежнему кажется, что оно правильное. Сейчас я схожу в кафе выпью чаю, схожу в ресторан пообедаю, а потом пойду на работу это доказательство записывать.

Препринт уже обнародовался, а я все забываю написать. Короче, дело было так.

Миша Вербицкий знаменит своей энергией и энтузиазмом в деле преподавания математики, а также своей неспособностью отличать верные утверждения от неверных. Поначалу я надеялся, что если указать ему на его ошибку, он хотя бы исправит ее и перестанет ее повторять, но это тоже не подтвердилось.

Одной из таких ошибок в его листочках для студентов, которую я (в мои московско-вышкинские времена), напрягши мозговую мышцу в процессе приема задачи у студента, разоблачил, и пару раз Мише на нее указывал, но это не привело к ее (ошибки) изгнанию из его (Миши) листочков, была следующая. Студентам предлагалось доказать, что всякое хаусдорфово топологическое пространство со счетным всюду плотным подмножеством имеет мощность не больше континуума.

Миша вряд ли запомнит, но вы запомните, дети: это неверно. Чтоб вам легче было запомнить, отметьте для себя: я прямо целую статью написал про то, что это неверно. То есть, в смысле, не статью, конечно, но длинный раздел в статье. Ну, ладно, не раздел, но хотя бы пару фраз в паре параграфов в одном замечании к одному разделу в одной статье.

Если в хаусдорфовом топологическом пространстве T есть всюду плотное подмножество X, то теоретико-множественная мощность T не превосходит два в степени два в степени мощность X. Запомните, дети: там двойная экспонента. То есть, если X счетно, то мощность T может быть гиперконтинуум.

Еще лучше, конечно, не "запомните", а подумайте и сообразите, почему.

Другое дело, если T -- метрическое пространство. Тогда, конечно, Миша прав, и экспонента одинарная (если X счетно, то мощность T не больше континуума).

См. Remark 11 ближе к концу Section 12, на странице 49 в https://arxiv.org/abs/2110.13105 .

Из книжки по полубесконечной гомологической алгебре, выписано для письма коллеге:

Let C be a coring over a ring A. It makes sense to assume that C is a projective left and a flat right A-module. There are the operations of:
- cotensor product of right and left C-comodules;
- Cohom from a left C-comodule to a left C-contramodule;
- contratensor product of a right C-comodule and a left C-contramodule.

The terminology in the book is:
- a comodule is coflat if the functor of cotensor product with it is exact on the category of comodules;
- a comodule is coprojective if the functor Cohom from it is exact on the category of contramodules;
- a comodule is quasicoflat if the functor of cotensor product with it is right exact;
- a comodule is quasicoprojective if the functor Cohom from it is left exact;
- a comodule is relatively coflat if the functor of cotensor product with it preserves exactness of short exact sequences of A-flat C-comodules;
- a comodule is relatively coprojective if the functor Cohom from it preserves exactness of short exact sequences of A-injective C-contramodules;
- a comodule is relatively injective if the functor Hom into it preserves exactness of short exact sequences of A-projective C-comodules;
- a comodule is quite relatively injective if the functor Hom into it preserves exactness of A-split short exact sequences of C-comodules;
- a contramodule is coinjective if the functor Cohom into it is exact on the category of left comodules;
- a contramodule is quasicoinjective if the functor Cohom into it is left exact on the category of comodules;
- a contramodule is relatively coinjective if the functor Cohom into it preserves exactness of short exact sequences of A-projective C-comodules;
- a contramodule is relatively projective if the functor Hom from it preserves exactness of short exact sequences of A-injective C-contramodules;
- a contramodule is quite relatively projective if the functor Hom from it preserves exactness of A-split short exact sequences of C-contramodules;
- a contramodule is contraflat if the functor of contratensor product with it is exact on the category of right comodules;
- a contramodule is relatively contraflat if the functor of contratensor product with it preserves exactness of short exact sequences of A-flat C-comodules;
- a contramodule is quite relatively contraflat if the functor of contratensor product with it preserves exactness of A-pure short exact sequences of C-comodules.

[Lemma 5.2] tells that a comodule is quasicoprojective if and only if it is quite relatively injective. Dually, a contramodule is quasicoinjective if and only if it is quite relatively projective. The lemma also describes coprojective comodules and coinjective contramodules.

[Lemma 5.3.2] tells that, under the usual additional assumption that the left global dimension of the ring A is finite, a comodule is relatively coprojective if and only if it is relatively injective, and a contramodule is relatively coinjective if and only if it is relatively projective.

Той, которая про топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, в статье с Й.Р. (Journ. of Algebra, 2017). Ну, что сказать: всего страничка текста с небольшим. Внешних ссылкок нет, вообще никаких ссылок нет -- вот оно, все рассуждение целиком.

Тяжелое, сложное вычисление со многими индексами и квадратными скобками. Когда-то давно, в глубине десятилетий, все начиналось с простой, прозрачной идеи, то что называется по-английски cancellation trick. Но много формул нужно написать, чтобы применить эту простую идею на подобном уровне общности.

Трудно, но полезно было бы как-нибудь рассказать это с мелом по доске. Пришлось бы продумать обозначения так, чтобы было меньше зубодробительных индексов. Если это возможно вообще. Нелегко проследить за всеми деталями -- какие предположения там важны, какие не очень. Придумаешь, как упростить, а на доске как раз и вылезет, что упрощенная форма не проходит. Но в том и польза.

На этой лемме стоят, как минимум:
1. вся теория плоских контрамодулей над топологическими кольцами со счетной базой (отделимость плоских контрамодулей и т.д.);
2. теорема о полной строгости контрамодульных забывающих функторов для пополнений по топологиям Габриэля со счетной базой конечно-порожденных правых идеалов.

https://arxiv.org/abs/1808.00937
https://doi.org/10.1017/S001708951900017X

Тексты как дети, ну или вообще как люди -- у каждого своя судьба. И все же у этой работы совсем особенная планида. Может быть, дело в том, что с ней получилось противоположно тому, как я поступал в юности -- откладывал публикацию больших и почти целиком уже сделанных работ на 10-15 лет, тем временем понемногу продумывая детали и заполняя пробелы. Статья в GMJ созрела к публикации быстро -- я начал думать про эту задачу в апреле 2018, в начале августа обнародовался архивный препринт, а уже в мае 19 года окончательная версия появилась на сайте журнала.

Текст был в основном придуман и написан жарким израильским летом 2018, и это было довольно напряженное время в моей жизни -- лето переезда на постоянную работу из Хайфы в Прагу. Но я думаю, что дело не в погоде, а в задаче -- непростая тема, понимание которой у меня было (и остается) вроде бы и немалым, но недостаточным; и трудная задача, над которой я неделями мучительно размышлял на пределе своих ограниченных когнитивных способностей.

Может быть, текст получился бы лучше, если бы он был написан не в 18 году, а в 23 или 28. Но такой опции не было: юность давно кончилась, и я больше не верю в свое бессмертие -- дожитие до 23 года сомнительно, о 28 годе не хочется и помышлять. Да и сама задача и тема не настолько уж мне интересна, чтобы десять лет ее продумывать. В общем, тут либо я все-таки полюбил бы эту работу -- и меня бы замучила совесть, что вот я завтра помру и унесу ее с собой в могилу; либо я бы просто отвлекся, постепенно позабыл про нее и она бы пропала.

Еще до обнародования на Архиве текст несколько раз переписывался где-то в июне-июле, понимание постепенно прибавлялось, оставаясь недостаточным. В основном это был процесс улучшения, усиления результатов и упрощения доказательств. Потом я переключился на другие дела, приехал в Прагу. Журнал GMJ не стал тянуть резину и относительно быстро принял статью к печати.

Ошибок, ставящих под сомнение основные результаты, в опубликованном в GMJ тексте до сих пор не обнаружилось. Но по краешку оно немножко сыплется. Первые две небольшие ошибки в публикуемой работе я обнаружил при вычитке корректуры для GMJ. Небольшие-то они небольшие, но все же в рамках поправок к корректуре исправить их было невозможно, на мой взгляд. После обнародования статьи на сайте журнала я вывесил первую версию корригендума (отдельного текста с признанием ошибок и предложениями по их исправлению) в Архив. В первой версии корригендума были два раздела -- по числу ошибок. Приводились контрпримеры к неверным утверждениям, объяснялось, как сформулировать, чтобы было правильно.

Необходимость добавить к корригендуму третий раздел была осознана во время моего визита в Падую в ноябре-декабре 2019 года. Это была, строго говоря, "не ошибка" или, так сказать, ошибка второго рода -- запутывающе сложное обсуждение простого вопроса. С.Б. в Падуе мне объяснила, как там надо рассуждать, чтобы все получилось гораздо лучше. Весной 2020, примерно одновременно с окончательным выходом статьи в GMJ из печати, вторая версия корригендума, уже с тремя разделами, появилась на Архиве.

Теперь я вижу, что, судя по всему, корригендум придется расширять снова. Строго говоря, это тоже не ошибка, а дыра, причем никакой роли в общем контексте работы не играющая. В разделе "предварительные сведения" имеется фраза, в которой сделано утверждение, три года назад казавшееся мне несложным. В основном тексте работы оно (по-моему) не используется, а в "предварительные сведения" было включено для полноты картины.

Теперь я просто не знаю, верно это утверждение вообще или нет. Там естественный вопрос о двух импликациях в противоположных направлениях, в работе сформулирована одна из них, а доказать мне теперь не удается ни в ту сторону, ни в противоположную. При довольно ограничительных дополнительных предположениях, характерных для основных результатов статьи в GMJ, но на вид совершенного излишних для такого простого на первый взгляд вопроса, мне теперь кажется, что я могу все же доказать сформулированную три года назад импликацию. Следует написать об этом, я думаю, четвертый раздел корригендума, чтобы не путать читателей.

В общем, сейчас дело видится так, что после нескольких недель напряженных размышлений основная картина грубыми мазками сложилась у меня правильно к августу 2018. Но внимательно проверять детали по ходу написания текста сил уже не нашлось, и вот получилась статья, к которой прилагается поток регулярно обнародуемых небольших поправок.

Можно сказать, что эта работа стала таким дальним передовым рубежом моего знания в ее направлении. Продвинуться дальше в эту сторону я с тех пор уже и не пытаюсь, ограничиваясь стремлением удержать свои позиции в ходе развивающейся war of attrition. Но оборонительная операция пока что проходит успешно. Тем временем, мои новые тексты полнятся ссылками на ключевые результаты этой работы.

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, S -- мультипликативное подмножество в R. Допустим для простоты, что S счетно и состоит из регулярных элементов (не-делителей нуля в R).

Пусть M -- конечно-порожденный R-модуль, N -- подмодуль в M. Найдется ли такой элемент t ∈ S, что для всех s ∈ S пересечение stM ∩ N равно s(tM ∩ N), как подмодуль в N?

P.S. https://mathoverflow.net/questions/397373/artin-rees-lemma-for-multiplicative-subsets

Вот, задача по квазикогерентным пучкам.

Как все знают, ограничение на открытые подсхемы сохраняет инъективность квазикогерентных пучков на нетеровых (ну, или локально нетеровых) схемах, а на произвольных схемах не сохраняет. Все знают также, что прямой образ при плоском морфизме сохраняет инъективность квазикогерентных пучков.

Пусть теперь имеется плоский морфизм схем Y → X, где X -- нетерова схема (а Y нет). Можно накладывать естественные предположения -- скажем Y квазикомпактна, обе схемы полуотделимы. Пусть V ⊂ Y -- открытая подсхема. Можно предполагать, что композиция V → Y → X -- аффинный морфизм, или даже что вся схема V аффинна.

Возьмем инъективный квазикогерентный пучок на Y, ограничим его на V, и рассмотрим прямой образ этого ограничения при композиции морфизмов V → Y → X. Как доказать, что получившийся квазикогерентный пучок на X инъективен?

Мне кажется, я умею делать случай, когда обе схемы X и Y аффинны (пользуясь известной леммой, что функции на аффинной открытой подсхеме аффинной схемы -- очень плоский модуль над функциями на объемлющей аффинной схеме). Может быть, я даже представляю себе, как вывести из этого случая более общий случай, когда f -- аффинный морфизм.

Но интересен мне как раз случай, когда f не аффинный морфизм. Как с ним разбираться, я не понимаю, даже если предположить, что схема X аффинна.