Лемма Артина-Риса для мультипликативных подмножеств?

[posic]

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, S -- мультипликативное подмножество в R. Допустим для простоты, что S счетно и состоит из регулярных элементов (не-делителей нуля в R).

Пусть M -- конечно-порожденный R-модуль, N -- подмодуль в M. Найдется ли такой элемент t ∈ S, что для всех s ∈ S пересечение stM ∩ N равно s(tM ∩ N), как подмодуль в N?

P.S. https://mathoverflow.net/questions/397373/artin-rees-lemma-for-multiplicative-subsets

Comments

[posic.livejournal.com]

This is straightforward. Define the submodule P as N⊂P⊂M, the set of all elements m∈M such that sm∈N for some s∈S. Then, choose t∈S such that tP⊂N.

Now for what you need, clearly the right hand side is contained in the left. So, let x∈stM∩N for s∈S. Then, x=stm and then, m∈P. Then tm∈N by our choice of t. So, tm∈tM∩N and thus x∈s(tM∩N).

[posic.livejournal.com]

answered 1 hour ago by Mohan, https://mathoverflow.net/users/9502/mohan