![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Продолжение темы этих трех постингов.
Следующее простое замечание почерпнуто из письма Серра Грею, напечатанного в качестве дополнения к русскому изданию книжки Клейна "Лекции об икосаэдре". (Исключительно понятный и познавательный текст, кстати. См. также второе дополнение Тюрина к тому же изданию.) ( Read more... )
Следующее простое замечание почерпнуто из письма Серра Грею, напечатанного в качестве дополнения к русскому изданию книжки Клейна "Лекции об икосаэдре". (Исключительно понятный и познавательный текст, кстати. См. также второе дополнение Тюрина к тому же изданию.) ( Read more... )
Mathematical dreams
Oct. 2nd, 2003 08:20 pmPerhaps there should be a theory which is an analogue of the Milnor-Bloch-Kato business for one-dimensional Galois cohomology with trivial (or "almost trivial") finite noncommutative coefficients. It would stand in the same position with respect to the Langlands program as Kummer's theory of abelian extensions does with respect to the class field theory of number fields. It would feature representations of Galois groups in groups of points of algebraic groups over, approximately, the same fields (as finite groups of "coefficients" would be embedded into groups of points as a way of computing their cohomology, etc.) Ideally, this theory might shed new light on all questions of the improper embedding problem, the behaviour of (commutative high-dimensional) Galois cohomology in finite field extensions, Bogomolov's conjecture, anabelian conjectures, etc.
Математика: новые слова
Sep. 29th, 2003 12:07 amПроективное тензорное произведение банаховых пространств. Также, инъективное тензорное произведение банаховых пространств. (Может быть, даже локально выпуклых пространств?)
Вопрос: существует ли какая-нибудь операция на т.в.п., которая из пространств голоморфных функций на (разумных) комплексных многообразиях изготовляет пространство функций на их произведении? Разумная категория т.в.п., на которой эта операция тензорного произведения хорошо себя ведет?
Вопрос: существует ли какая-нибудь операция на т.в.п., которая из пространств голоморфных функций на (разумных) комплексных многообразиях изготовляет пространство функций на их произведении? Разумная категория т.в.п., на которой эта операция тензорного произведения хорошо себя ведет?
Математика: гипотезы о группах Галуа
Sep. 21st, 2003 12:25 amВ продолжение записи полуторагодичной давности -- http://www.livejournal.com/users/posic/30200.html
Две открытые классические проблемы теории Галуа числовых полей: обратная задача теории Галуа и гипотеза Шафаревича. Первая состоит в том, чтобы реализовать произвольную конечную группу в качестве группы Галуа какого-то расширения поля рациональных чисел (или, чуть более общо, в качестве группы Галуа какого-то расширения наперед заданного конечного числового поля). Вторая утверждает, что коммутант группы Галуа поля Q (или любого конечного числового поля) является свободной проконечной группой.
Мне интересны группы Галуа произвольных полей. Ниже обсуждаются возможные обобщения этих двух гипотез и другие задачи про поля с трансцендентными образующими. ( Read more... )
Две открытые классические проблемы теории Галуа числовых полей: обратная задача теории Галуа и гипотеза Шафаревича. Первая состоит в том, чтобы реализовать произвольную конечную группу в качестве группы Галуа какого-то расширения поля рациональных чисел (или, чуть более общо, в качестве группы Галуа какого-то расширения наперед заданного конечного числового поля). Вторая утверждает, что коммутант группы Галуа поля Q (или любого конечного числового поля) является свободной проконечной группой.
Мне интересны группы Галуа произвольных полей. Ниже обсуждаются возможные обобщения этих двух гипотез и другие задачи про поля с трансцендентными образующими. ( Read more... )
Date: Tue, 16 Sep 2003 00:55:49 +0200
From: Leonid Positselski
To: Bogomolov
cc: Voevodsky
Subject: a generalization of your conjecture
Dear Fedya,
I want to ask your opinion about a generalization of your
conjecture about freeness of commutator subgroups of Galois
groups of fields which I invented. Here is the formulation
of this conjecture and some supporting evidence. ( Read more... )
From: Leonid Positselski
To: Bogomolov
cc: Voevodsky
Subject: a generalization of your conjecture
Dear Fedya,
I want to ask your opinion about a generalization of your
conjecture about freeness of commutator subgroups of Galois
groups of fields which I invented. Here is the formulation
of this conjecture and some supporting evidence. ( Read more... )
Оказывается, есть такое понятие: модуль над кольцом целых l-адических чисел с дополнительной структурой -- для каждой бесконечной последовательности элементов модуля xn определена их сумма с коэффициентами ln. Для бесконечных двухиндексных последовательностей xij должно быть выполнено условие согласования (ассоциативности), которое нетрудно сформулировать. Контрамодули образуют абелеву категорию, как я понимаю. Всякая абелева про-l-группа является контрамодулем. Всякий Z/lmZ-модуль является контрамодулем.
Чем интересны контрамодули?
1. Непрерывные когомологии топологической группы с коэффициентами в топологическом контрамодуле -- например, проконечной группы с коэффициентами в конечно-порожденном Zl-модуле -- являются контрамодулями.
2. На контрамодуле есть "адическая" топология, но она может быть неотделимой.
3. Контрамодули могут содержать бесконечно делимые элементы, но не содержат делимых подгрупп.
Все это немного странно, и, наверно, в науке про l-адические пучки хорошо известно. А может, и не очень хорошо.
( Read Update: )
Чем интересны контрамодули?
1. Непрерывные когомологии топологической группы с коэффициентами в топологическом контрамодуле -- например, проконечной группы с коэффициентами в конечно-порожденном Zl-модуле -- являются контрамодулями.
2. На контрамодуле есть "адическая" топология, но она может быть неотделимой.
3. Контрамодули могут содержать бесконечно делимые элементы, но не содержат делимых подгрупп.
Все это немного странно, и, наверно, в науке про l-адические пучки хорошо известно. А может, и не очень хорошо.
( Read Update: )
1. Абсолютная группа Галуа произвольного поля, содержащего поле алгебраических чисел, естественным образом вкладывается в проконечную группу крашеных кос с бесконечным числом нитей (точнее, проективный предел проконечных пополнений дискретных групп крашеных кос; нити нумеруются элементами поля).
(Абсолютная группа Галуа -- это группа Галуа алгебраического замыкания. Крашеные косы -- это то, что по-английски называется "pure braids"; в общем, ядро отображения кос в перестановки. Проективный предел берется по отображениям выкидывания нитей.)
2. Всякий гомоморфизм из абсолютной группы Галуа произвольного поля, содержащего поле алгебраических чисел, в группу перестановок поднимается до гомоморфизма в проконечное пополнение группы кос. (Здесь косы с конечным числом нитей и некрашеные, разумеется.)
Доказательства очень простые, то есть прямо совершенно банальные (особенно второе). Теперь бы еще понять, известны ли науке эти утверждения и что из них следует.
Важный вопрос: не свободен ли часом коммутант (обыкновенной дискретной) группы крашеных кос? Для трех нитей это верно, и для четырех мне пока не удалось опровергнуть это предположение.
Update: нет, коммутант, конечно, не свободен. Коммутант крашеных кос с n+m нитями содержит прямое произведение таких же коммутантов с n и с m нитями.
(Абсолютная группа Галуа -- это группа Галуа алгебраического замыкания. Крашеные косы -- это то, что по-английски называется "pure braids"; в общем, ядро отображения кос в перестановки. Проективный предел берется по отображениям выкидывания нитей.)
2. Всякий гомоморфизм из абсолютной группы Галуа произвольного поля, содержащего поле алгебраических чисел, в группу перестановок поднимается до гомоморфизма в проконечное пополнение группы кос. (Здесь косы с конечным числом нитей и некрашеные, разумеется.)
Доказательства очень простые, то есть прямо совершенно банальные (особенно второе). Теперь бы еще понять, известны ли науке эти утверждения и что из них следует.
Важный вопрос: не свободен ли часом коммутант (обыкновенной дискретной) группы крашеных кос? Для трех нитей это верно, и для четырех мне пока не удалось опровергнуть это предположение.
Update: нет, коммутант, конечно, не свободен. Коммутант крашеных кос с n+m нитями содержит прямое произведение таких же коммутантов с n и с m нитями.
Математика: коалгебры Ли
Apr. 16th, 2003 03:25 amотличаются тем, что многие естественные утверждения про них неверны. Точнее сказать, неверны все аналоги известных утверждений про универсальные обертывающие алгебры алгебр Ли. ( Read more... )
Есть еще порох
Feb. 14th, 2003 04:56 pmПридумал я, как доказать кошулевость алгебры замкнутых форм. На любом ацикличном многообразии с тривиальным касательным расслоением этальным отображением в аффинное пространство, более-менее так. Надо рассмотреть "горизонтальную внешнюю алгебру" (порожденную dxi над полем констант) и доказывать "относительную кошулевость" алгебры замкнутых форм над этой внешней алгеброй. Для чего использовать комплекс ...-> \Omega* -> \Omega* -> Z*.
М. очень доволен. Утверждает, что филдсовский лауреат К. как-то пытался это доказать и не смог. Если б захотел, смог бы, конечно.
Эх, если бы кошулевость алгебры Милнора можно было доказать так просто! Кстати, алгебра Милнора отображается в алгебру замкнутых форм в общей точке многообразия соответствующего, известным отображением f -> d log(f). Надо бы посмотреть, что там происходит в характеристике p.
Пойду в библиотеку смотреть.
М. очень доволен. Утверждает, что филдсовский лауреат К. как-то пытался это доказать и не смог. Если б захотел, смог бы, конечно.
Эх, если бы кошулевость алгебры Милнора можно было доказать так просто! Кстати, алгебра Милнора отображается в алгебру замкнутых форм в общей точке многообразия соответствующего, известным отображением f -> d log(f). Надо бы посмотреть, что там происходит в характеристике p.
Пойду в библиотеку смотреть.
Кошулевы алгебры повсюду
Feb. 10th, 2003 11:09 pmМ. рассказал задачу: кошулева ли алгебра замкнутых дифференциальных форм на диске (относительно внешнего произведения)? Что все замкнутые формы порождаются произведениями замкнутых 1-форм, очевидно. Для одномерного диска вопрос тривиален. Для A2 мне удалось с ходу проверить квадратичность.
Апдейт: на самом деле алгебра замкнутых форм на аффинном пространстве определяется следующего вида соотношениями: d(1)=0, d(f)d(gh) + d(g)d(hf) + d(h)d(fg) = 0, где f, g,и h -- функции; в частности, она квадратична.
Апдейт: на самом деле алгебра замкнутых форм на аффинном пространстве определяется следующего вида соотношениями: d(1)=0, d(f)d(gh) + d(g)d(hf) + d(h)d(fg) = 0, где f, g,и h -- функции; в частности, она квадратична.
Kak tam bylo pro kartu zvezdnogo neba?..
Jan. 11th, 2003 10:40 pmPostesnyavshis' (pochemu-to) rasskazyvat' na glavnom institutskom seminare pro Milnora/Bloha-Kato, vyzvalsya vmesto etogo sdelat' tam doklad pro polubeskonechnye gomologii. Nu, pravil'noe opredelenie polubeskonechnyh gomologij ya, dopustim, znayu. A vot kak by razobrat'sya s tem opredeleniem, kotoroe lyudi ispol'zuyut vot uzhe pochti dvadcat' let?
claims that every element of m-torsion in Br(F) is a sum of classes of cyclic algebras of index m (t.e., each summand splits in a cyclic extension of degree m). This, of course, follows from the Merkurjev-Suslin theorem, if F contains all the m-roots of 1 -- but not otherwise.
The following argument is only nontrivial if F does not contain the (relevant) roots of unity. Every cyclic division algebra of index m splits in a certain radical extension of degree m. Indeed, cyclic algebras are the image of the map Hom(GF, Z/m) X F*/F*m --> mBr(F) (this is an easy exercise in cyclic group cohomology).
Therefore, if Merkurjev's conjecture is true, then all elements of Br(F) die in the maximal abelian extension of F, and at the same time all of them die in the maximal radical extension (obtained by adding to F all roots of all its elements).
The following argument is only nontrivial if F does not contain the (relevant) roots of unity. Every cyclic division algebra of index m splits in a certain radical extension of degree m. Indeed, cyclic algebras are the image of the map Hom(GF, Z/m) X F*/F*m --> mBr(F) (this is an easy exercise in cyclic group cohomology).
Therefore, if Merkurjev's conjecture is true, then all elements of Br(F) die in the maximal abelian extension of F, and at the same time all of them die in the maximal radical extension (obtained by adding to F all roots of all its elements).
Vek zhivi vek uchis', ili chislo 6
Nov. 29th, 2002 12:54 pmOkazyvaetsya, gruppa perestanovok 6-elementnogo mnozhestva imeet vneshnij avtomorfizm. Ya prochital ob etom zdes':
Consider 6 things, e.g. the numerals 123456. There are 15 non-ordered pairs of them. (Call these "duads.") Also there are 15 ways to divide the original set into three duads, e.g. {(12}{34}{56}}. Call these "synthemes." Five synthemes can be chosen so as to contain each duad exactly once; and there turn out to be exactly six ways to make this choice. You can label these six sets ABCDEF. Then a permutation of 123456 induces a permutation of ABCDEF. A two-cycle such as (12) induces a product of three disjoint two-cycles such as (AB)(CD)(EF), so the map from one permutation to the other cannot be an inner automorphism.
Dovol'no zamyslovataya vse-taki konstrukciya, sopostavlyayuschaya 6-elementnomu mnozhestvu drugoe 6-elementnoe mnozhestvo. Ya esche znayu na etu temu gorazdo bolee prostuyu konstrukciyu, sopostavlyayuschuyu 4-elementnomu mnozhestvu 3-elementnoe mnozhestvo.
Ostal'nye gruppy Sn (pri n ne ravnom 6) vneshnih avtomorfizmov ne imeyut, chto netrudno dokazat', rassmotrev klass sopryazhennosti, sostoyaschij iz transpozicij, i ego obraz pri nashem avtomorfizme. Podrobnosti imeyutsya zdes' (fajl v formate postscript).
Consider 6 things, e.g. the numerals 123456. There are 15 non-ordered pairs of them. (Call these "duads.") Also there are 15 ways to divide the original set into three duads, e.g. {(12}{34}{56}}. Call these "synthemes." Five synthemes can be chosen so as to contain each duad exactly once; and there turn out to be exactly six ways to make this choice. You can label these six sets ABCDEF. Then a permutation of 123456 induces a permutation of ABCDEF. A two-cycle such as (12) induces a product of three disjoint two-cycles such as (AB)(CD)(EF), so the map from one permutation to the other cannot be an inner automorphism.
Dovol'no zamyslovataya vse-taki konstrukciya, sopostavlyayuschaya 6-elementnomu mnozhestvu drugoe 6-elementnoe mnozhestvo. Ya esche znayu na etu temu gorazdo bolee prostuyu konstrukciyu, sopostavlyayuschuyu 4-elementnomu mnozhestvu 3-elementnoe mnozhestvo.
Ostal'nye gruppy Sn (pri n ne ravnom 6) vneshnih avtomorfizmov ne imeyut, chto netrudno dokazat', rassmotrev klass sopryazhennosti, sostoyaschij iz transpozicij, i ego obraz pri nashem avtomorfizme. Podrobnosti imeyutsya zdes' (fajl v formate postscript).
po teorii chisel, k vecheru chuvstvuyu sebya polnym idiotom, hotya nichego nevernogo ya ne skazal vrode by. Okh.
Koroche, tak: v etoj zapisi zamenit' slova "diskretnoe normirovanie" na "proizvol'noe normirovanie Krullya".
Apdejt: vprochem, net, luchshe ne nado nichego zamenyat'...
Koroche, tak: v etoj zapisi zamenit' slova "diskretnoe normirovanie" na "proizvol'noe normirovanie Krullya".
Apdejt: vprochem, net, luchshe ne nado nichego zamenyat'...
is a strange activity, so why am I doing it? Well, back in 1994 I was more enthusiastic, that't one of the reasons.
Anyway, here is a conjecture: let F be a field. Let K be the field obtained by adjoining to F all roots of all orders of all elements of F. Then K is a field of homological dimension 1, that is, all Sylow subgroups of the absolute Galois group of K are free pro-l-groups.
Why do I believe it? Well, it is true for number fields (where it suffices to adjoin the roots of unity). And if F is Henzelian with respect to a discrete valuation and f is the residue field, then the conjecture is true for F whenever it holds for f. And this is about all the supporting evidence I have.
Anyway, here is a conjecture: let F be a field. Let K be the field obtained by adjoining to F all roots of all orders of all elements of F. Then K is a field of homological dimension 1, that is, all Sylow subgroups of the absolute Galois group of K are free pro-l-groups.
Why do I believe it? Well, it is true for number fields (where it suffices to adjoin the roots of unity). And if F is Henzelian with respect to a discrete valuation and f is the residue field, then the conjecture is true for F whenever it holds for f. And this is about all the supporting evidence I have.
на гладком многообразии таки-да эквивалентна "производной категории второго рода" DG-модулей над комплексом Де Рама. Я, наконец, убедил себя в том, что располагаю поистине незамысловатым доказательством этого факта (но поля этого дневника все-таки слишком узки и проч.)
Релевантный вопрос: какая структура на коалгебре поливекторных полей (над кольцом функций) соответствует дерамовскому дифференциалу на алгебре форм? Ответ: ( Read more... )
Релевантный вопрос: какая структура на коалгебре поливекторных полей (над кольцом функций) соответствует дерамовскому дифференциалу на алгебре форм? Ответ: ( Read more... )
