Опять об группы Галуа
Sep. 16th, 2003 07:03 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение этого -- http://www.livejournal.com/users/posic/106904.html
Пусть k -- некоторое поле, G -- конечная группа, и V -- точное конечномерное линейное представление G над k. Пусть K=k(V) -- поле рациональных функций на V и K^G -- подполе G-инвариантов в нем. Пусть L -- расширение Галуа поля K^G, содержащее K.
Рассмотрим точную тройку групп Галуа: 1 -> Gal(L/K) -> Gal(L/K^G) -> G ->1.
Утверждается, что для всякого поля F, содержащего k, всякое отображение из абсолютной группы Галуа G_F в группу G поднимается до отображения в Gal(L/K^G).
Update: В частности, в размерности dim V=1 получается известное высказывание -- всякое отображение из группы Галуа поля, содержащего корни из 1, в конечную циклическую группу поднимается до отображения в свободную проциклическую.
А для dim V=2 доказывается следующее: всякое отображение из группы Галуа поля F, содержащего алгебраически замкнутое подполе k, в конечную подгруппу PGL_2(k) или PGL_2(C), поднимаемое в GL_2(k) или GL_2(C), можно поднять до отображения в свободную проконечную группу. Например, всякое отображение G_F в Z/2xZ/2, для которого соответствующий класс в H^2(G_F) тривиален, можно поднять в свободную про-2-группу с двумя образующими.
UUpdate: Причем условие поднимаемости в GL_2 является во всех случаях (т.е., для всех конечных подгрупп PGL_2) необходимым -- см. http://www.livejournal.com/users/posic/31301.html .
Хотя для нечетных диэдров (и др. групп, все силовские подгруппы которых циклические) это центральное расширение тривиально, конечно. Впрочем, для таких групп тривиально и само мое утверждение.
Пусть k -- некоторое поле, G -- конечная группа, и V -- точное конечномерное линейное представление G над k. Пусть K=k(V) -- поле рациональных функций на V и K^G -- подполе G-инвариантов в нем. Пусть L -- расширение Галуа поля K^G, содержащее K.
Рассмотрим точную тройку групп Галуа: 1 -> Gal(L/K) -> Gal(L/K^G) -> G ->1.
Утверждается, что для всякого поля F, содержащего k, всякое отображение из абсолютной группы Галуа G_F в группу G поднимается до отображения в Gal(L/K^G).
Update: В частности, в размерности dim V=1 получается известное высказывание -- всякое отображение из группы Галуа поля, содержащего корни из 1, в конечную циклическую группу поднимается до отображения в свободную проциклическую.
А для dim V=2 доказывается следующее: всякое отображение из группы Галуа поля F, содержащего алгебраически замкнутое подполе k, в конечную подгруппу PGL_2(k) или PGL_2(C), поднимаемое в GL_2(k) или GL_2(C), можно поднять до отображения в свободную проконечную группу. Например, всякое отображение G_F в Z/2xZ/2, для которого соответствующий класс в H^2(G_F) тривиален, можно поднять в свободную про-2-группу с двумя образующими.
UUpdate: Причем условие поднимаемости в GL_2 является во всех случаях (т.е., для всех конечных подгрупп PGL_2) необходимым -- см. http://www.livejournal.com/users/posic/31301.html .
Хотя для нечетных диэдров (и др. групп, все силовские подгруппы которых циклические) это центральное расширение тривиально, конечно. Впрочем, для таких групп тривиально и само мое утверждение.
