posic

В смысле, у которых кольца функций на аффинных открытых подсхемах когерентны. Вот препринт, в котором упоминается это понятие -- http://arxiv.org/abs/0911.5328 (см. определение 1.2.3). (Давно пора уже было записать, чтоб не забыть.)

Развитие постинга http://posic.livejournal.com/931746.html

По состоянию на нынешний момент, видимо, всего предполагаются следующие сюжеты:

(1) контрагерентные копучки на квазикомпактных полуотделимых схемах, ко-контра соответствие между обычными производными категориями пучков и копучков;

(2) контрагерентные копучки на нетеровых схемах, ко-контра соответствие между ко- и контрапроизводными категориями пучков и копучков (в присутствии дуализирующего комплекса);

(3) контрагерентные копучки контрамодулей на нетеровых формальных схемах, ко-контра соответствие между ко- и контрапроизводными категориями пучков кручения и копучков контрамодулей (в присутствии дуализирующего комплекса);

(4) контрагерентные копучки контрамодулей на инд-нетеровых инд-схемах нильпотентного типа ( = бесконечномерных обобщениях нетеровых формальных схем), ко-контра соответствие между ко- и контрапроизводными категориями пучков кручения и копучков контрамодулей (в присутствии дуализирующего комплекса);

(5) контрагерентные копучки контрамодулей на квазикомпактных полуотделимых инд-схемах нильпотентного типа, ко-контра соответствие между полупроизводными категориями пучков кручения и копучков контрамодулей над полуотделимой инд-схемой, плоско расслоенной над инд-нетеровой инд-схемой нильпотентного типа со слоями-квазикомпактными схемами (в присутствии дуализирующего комплекса вдоль по базе);

(6) производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме, плоско расслоенной над инд-нетеровой инд-схемой со слоями-схемами; для аффинных схем -- ко-контра соответствие между полупроизводными категориями модулей кручения и контрамодулей, в той же ситуации;

(7) предыдущий пункт для DG-модулей над комплексами де Рама, в предположении формальной гладкости;

(8) производная кошулева и D-Ω двойственность (над одной из предыдущих ситуаций в роли базы -- скажем, (3) или (4)).

Пункты (5-7) по нынешнему состоянию характерны своим статусом "беспримерной теории" (идеи, как строить теорию, есть; естественных примеров почти нет). Ну, может быть, это со временем это изменится в ту или иную сторону.

Текущая (мартовская) версия контрагерентного препринта покрывает пункты (1-2) и немного оснований пункта (3). И занимает при этом 215 страниц...

Чего-чего не бывает?

Во-первых, категория D-модулей над инд-про-схеме (в простейшей ситуации двойного предела гладких схем конечного типа относительно замкнутых вложений и гладких морфизмов, образующих декартовы квадраты) была определена (простейшим способом, как индуктивный предел категорий D-модулей на аппроксимирующих схемах относительно функторов прямого и обратного образа) еще в старой работе http://arxiv.org/abs/math/0107143 . В той же работе можно найти настоящую формулировку проблемы, о которой здесь идет речь: нет функтора глобальных сечений таких D-модулей.

Во-вторых, если говорить о функторе глобальных сечений D-модулей, то его вообще нет. Совсем, то есть, в принципе. Есть глобальные сечения левых D-модулей и глобальные сечения правых D-модулей. Конечно, на аффинном гладком конечномерном многообразии одно через другое переписывается, но вне рамок этой простейшей ситуации -- это два совершенно разных функтора. На одной-единственной категории левых = правых D-модулей есть два разных функтора "левых" и "правых" глобальных сечений (или, если угодно, "левых" и "правых" подлежащих O-модулей).

Проблема с инд-про-схемой (согласно статье по ссылке) в том, что объекты (вышеописанной) категории D-модулей на ней не реализуются ни как левые, ни как правые D-модули. Поскольку прямые образы при замкнутых вложениях бывают у правых D-модулей, а обратные образы при гладких морфизмах -- у левых. Функторы эти образуют коммутативные диаграммы при декартовых квадратах, так что прямой предел категорий имеет смысл. Но индуктивные системы пространств глобальных сечений можно сформировать -- по замкнутым вложениям для "правых" сечений, по гладким морфизмам для "левых", а по тем и другим одновременно -- ни для каких.

В третьих, вот, пожалуйста, определение триангулированной категории D-модулей на (хорошей) инд-схеме инд-бесконечного типа вместе с функтором "правых" глобальных сечений на ней. Вернее сказать, даже двух таких категорий, отличающихся технической деталью конструкции (надо посчитать что-нибудь, чтобы понять, какая из них правильнее).

Пусть инд-схема X представлена направленной индуктивной системой схем X_α и их замкнутых вложений. Предположим, что схемы X_α гладки над полем k, скажем, в том смысле, что каждая X_α допускает покрытие открытыми подсхемами, представимыми как проективные пределы направленных проективных систем гладких схем конечного типа и гладких аффинных морфизмов между ними.

Определим триангулированную категорию D-модулей над каждой схеме X_α как производную (или, может быть, копроизводную) категорию DG-модулей над комплексом де Рама схемы X_α (определяемым наивно как внешняя алгебра от кэлеровых дифференциалов). Заметим, что любой морфизм гладких многообразий является одновременно морфизмом пространств, окольцованных пучками DG-алгебр де Рама, так что прямые и обратные образы DG-модулей над комплексами де Рама определяются самым стандартным образом (так же, как для O-модулей, и проще, чем для D-модулей).

Триангулированную категорию D-модулей на всей инд-схеме X можно тогда определить, как прямой предел триангулированных категорий D-модулей на X_α. Это, конечно, не совсем правильное определение. Корректнее будет придумать какое-нибудь определение "DG-модуля над комплексом де Рама на X" так, чтобы всякий такой DG-модуль был индуктивным пределом DG-модулей над комплексами де Рама на X_α, и потом перейти к (ко)производной категории таких "DG-модулей". Скажем, можно рассматривать комплексы квазикогерентных пучков кручения на X, на которых для каждого α на максимальном подпучке, являющемся квазикогерентным пучком на X_α, есть структура DG-модуля над комплексом де Рама схемы X_α, что-нибудь такое.

Но для наших целей (демонстрации возможности) построения функтора "правых" глобальных сечений хватит и наивной конструкции прямого предела категорий. Ключевое наблюдение состоит в том, что "функтор решений" сопоставляет правому D-модулю D -- DG-модуль O над комплексом де Рама. Поэтому интересующий нас функтор на категории DG-модулей над комплексом де Рама на X_α можно просто определить как (R)Hom из DG-модуля O.

Далее, функтор прямого образа при вложении i_βα: X_α → X_β сопоставляет DG-модулю O_Xα -- DG-модуль i_βα*O_Xα, на который естественным образом сюръективно отображается DG-модуль O_Xβ. Это позволяет перейти к прямому пределу по α и определить глобальные сечения объекта прямого предела категорий DG-модулей над комплексами де Рама на X_α.

Что же происходит с обратными образами при гладких морфизмах? Допустим, имеется гладкий морфизм схем X_α → Z_α (конечной или бесконечной относительной размерности). Тогда обратный образ DG-модуля O_Zα -- это относительный (послойный) комплекс де Рама для X_α над Z_α. Никакого морфизма DG-модулей в этот комплекс из DG-модуля O_Xα нет. Так что "правое D-модульное" глобальное сечение DG-модуля над комплексом де Рама Z_α никакого аналогичного сечения обратного образа этого DG-модуля на X_α не определяет.

Зато, если относительная размерность X_α над Z_α конечна, есть естественный морфизм DG-модулей из послойного пучка старших форм в относительный комплекс де Рама на X_α. Подкрутка, которой и следовало ожидать от правых D-модулей.

Пусть X -- инд-схема, представимая направленной индуктивной системой спектров локальных артиновых колец A_α и их замкнутых вложений, и пусть Y -- инд-схема, представимая направленной индуктивной системой плоских схем Y_α над Spec A_α и их замкнутых вложений, образующих декартовы квадраты с морфизмами Spec A_β → Spec A_α. Зафиксируем какую-нибудь инъективную оболочку E единственного неприводимого объекта в категории квазикогерентных пучков кручения на X. В этой ситуации, хотелось бы определить не точный ни слева, ни справа функтор полутензорного произведения (относительно X) квазикогерентных пучков кручения на Y.

Заметим, что подлежащие топологические пространства всех схем Y_α совпадают, и открытое подмножество этого топологического пространства соответствует аффинной открытой подсхеме во всех Y_α одновременно (см. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", упр. III.3.1, EGA II Thm. 5.2.1 (критерий аффинности Серра), EGA III Thm. 1.3.1 (когомологии аффинных схем). Поэтому достаточно определить искомый функтор в случае инд-аффинной инд-схемы Y таким образом, чтобы он был согласован с ограничениями на (главные) аффинные открытые подсхемы.

Рассмотрим сначала случай, когда все кольца A_α являются конечномерными алгебрами над полем k. Тогда квазикогерентные пучки кручения на X -- это то же самое, что комодули над прямым пределом C коалгебр Hom_k(A_α,k) над k, и за E можно взять саму коалгебру C. В этом случае, согласно http://posic.livejournal.com/939189.html , с Y можно связать полуалгебру S над коалгеброй C; при этом категория квазикогерентных пучков кручения на Y эквивалентна категории S-полумодулей. Искомый функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y есть просто полутензорное произведение полумодулей над S (производящее в данном случае из двух полумодулей над S третий -- видимо, ввиду полукоммутативности S).

В неаффинной ситуации над полем, на Y появляется пучок полуалгебр S, являющийся квазикогерентным пучком кручения. Функтор локализации по элементу структурного пучка, будучи точным, коммутирует с полутензорными произведениями.

В общем случае на категории квазикогерентных пучков кручения на X имеется функтор котензорного произведения (см. 1202.2697, раздел 1.9, ср. http://posic.livejournal.com/938974.html ). Если Y инд-аффинна, то тензорное произведение E⊗_O(X)O(Y) (понимаемое как прямой предел по α тензорных произведений E(α)⊗_AαO(Y_α), где E(α) обозначает максимальный подпучок в E, сосредоточенный на Spec A_α -- !-ограничение) является (полу)алгеброй в этой тензорной категории. Категория квазикогерентных пучков на Y должна описываться как категория полумодулей над этой полуалгеброй, и отсюда функтор полутензорного произведения.

Лемма. Носитель ненулевого очень плоского модуля над коммутативным кольцом R без нильпотентных элементов содержит непустое открытое подмножество в Spec R.

Доказательство. Пусть очень плоский модуль F над R является прямым слагаемым трансфинитно итерированного расширения M = ∪_α M_α модулей вида R[s⁻¹]. В частности, F является R-подмодулем в M; рассмотрим самое меньшее α, для которого F пересекается с M_α внутри M и обозначим через G это пересечение. Тогда G является ненулевым R-подмодулем одновременно в F и в R[s⁻¹] для некоторого s∈R.

Следовательно, G[s⁻¹] является ненулевым идеалом в кольце R[s⁻¹]; при этом носитель R[s⁻¹]-модуля G[s⁻¹] равен пересечению носителя R-модуля G со Spec R[s⁻¹] ⊂ Spec R. Ввиду точности справа функтора тензорного произведения, носитель R[s⁻¹]-модуля G[s⁻¹] (а следовательно, и R-модуля G) содержит дополнение V(s,G) к носителю R[s⁻¹]-фактормодуля R[s⁻¹]/G[s⁻¹] в Spec R[s⁻¹]. Последний есть замкнутое подмножество, соответствующее идеалу G[s⁻¹] ⊂ R[s⁻¹]; если в R нет нильпотентов, открытое подмножество V(s,G) ⊂ Spec R[s⁻¹] непусто.

Покажем, что носитель F содержит V(s,G). Пусть p ∈ V(s,G) ⊂ Spec R -- простой идеал в R и k_p -- его поле вычетов. Тогда отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R R[s⁻¹] = k_p сюръективно согласно рассуждениям выше, отображение k_p ⊗_R M_α → k_p ⊗_R M инъективно ввиду плоскости M/M_α, и отображение k_p ⊗_R F → k_p ⊗_R M инъективно, поскольку F является прямым слагаемым в M [это наблюдение мы, кажется, не используем]. Наконец, композиция G → F → M и отображение G → R[s⁻¹] факторизуются через одно и то же отображение G → M_α.

Теперь из коммутативности диаграммы G → M_α → R[s⁻¹] следует, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R M_α ненулевое, из диаграммы G → M_α → M видно, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R M ненулевое, и из коммутативности диаграммы G → F → M следует, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R F ненулевое. Лемма доказана.

Следствие. Пусть F -- очень плоский модуль над кольцом R и Z -- замкнутое подмножество в Spec R. Тогда если носитель F в Spec R пересекается с Z, то он содержит непустое открытое подмножество в Z.

Доказательство: снабдим Z структурой приведенной замкнутой подсхемы в Spec R и положим S = O(Z). Тогда пересечение Z ∩ Supp F совпадает с носителем модуля S ⊗_R F в Spec S = Z ⊂ Spec R. Заметим, что S-модуль S ⊗_R F очень плоский. Теперь если S ⊗_R F = 0 равен нулю, то пересечение Z ∩ Supp F пусто, а в противном случае оно содержит непустое открытое подмножество в Spec S согласно лемме выше.

Замечание: из рассуждения выше видно, что в лемме можно заменить условие отсутствия нильпотентов в кольце R на условие незануления тензорного произведения F на факторкольцо S кольца R по его нильрадикалу. В частности, это условие автоматически выполнено, если нильрадикал R нильпотентен (как идеал), что включает все нетеровы кольца R. С другой стороны, нетрудно привести пример плоского модуля над коммутативным кольцом R, аннулируемого приведением по модулю нильрадикала. Достаточно взять за R кольцо многочленов от x, x^1/2, x^1/4, ... над полем k = S, с соотношениями x^r = 0 если r > 1, а за F -- нильрадикал ("идеал аугментации") в R. Модуль F над R плоский, поскольку он является прямым пределом свободных R-модулей x^1/2n ⊗ R при возрастающих n.

Доказательство теоремы 2 из предыдущего постинга: пусть F -- очень плоский R-модуль. Обозначим через Z замыкание дополнения к Supp F в Spec R. Тогда, по определению, Supp F содержит дополнение к Z в Spec R, и в Z нет открытых подмножеств, содержащихся в Supp F. Согласно следствию выше, из последнего наблюдения следует, что Supp F не пересекается с Z, т.е., Supp F есть дополнение к замкнутому множеству Z в Spec R.

Теорема 1. Для любой схемы конечного типа X над полем k, естественные морфизмы проекции A_Xⁿ → X являются очень плоскими.

Доказательство: предположим сначала, что поле k бесконечно. Ввиду соображений из примера 4 предпредыдущего постинга, а также факта замнутости класса очень плоских морфизмов относительно композиций, достаточно показать, что морфизмы проекции π: A_kⁿ⁺¹ → A_kⁿ являются очень плоскими. Воспользуемся индукцией по n; случай n = 0 очевиден.

Пусть U -- главное аффинное открытое подмножество в Aⁿ⁺¹; требуется доказать, что O(U) является очень плоским O(Aⁿ)-модулем. Дополнение к U в Aⁿ⁺¹ является аффинной гиперповерхностью -- множеством нулей полинома от n + 1 переменных. Разложим его на неприводимые множители и выделим те, которые не зависят от последней переменной (которую забывает проекция). Таким образом, дополнение к U в Aⁿ⁺¹ раскладывается в объединение Z ∪ π⁻¹(W), где W -- гиперповерхность в Aⁿ, а Z -- гиперповерхность в Аⁿ⁺¹, проекция которой на Aⁿ является композицией плоского конечного гомеоморфизма и конечного этального морфизма вне полного прообраза Y ⊂ Z замкнутого подмножества X ⊂ Aⁿ, где размерности Y и X не превосходят n − 1.

Поскольку класс очень плоских модулей замкнут относительно тензорных произведений, достаточно показать, что O(Aⁿ)-модуль O(Aⁿ⁺¹\Z) очень плоский; так что можно считать W пустым. Далее, можно считать размерности всех неприводимых компонент подмногообразий X и Y в точности равными n − 1.

Выберем какую-нибудь невертикальную прямую (одномерное подпространство) в векторном пространстве kⁿ⁺¹, и проведем через каждую точку из Y аффинную прямую в Aⁿ⁺¹ в выбранном направлении. После перехода к замыканию в топологии Зарисского, зарисуется (в общем положении) некоторая гиперповерхность H в Aⁿ⁺¹. Замена координат делает выбранное невертикальное направление горизонтальным и координатным; в этих координатах, гиперповерхность H является полным прообразом гиперповерхности в "горизонтальном" Aⁿ (расслаивающемся над Aⁿ⁻¹) при отображении забывания этой горизонтальной координаты.

Для каждой точки из Aⁿ⁺¹, не лежащей на Y, направления на точки из Y образуют (самое большее) (n−1)-мерное подмногообразие в n-мерном проективном пространстве направлений. Поэтому пересечение конечного числа гиперповерхностей типа H совпадает с Y. Ввиду локальности очень плоскости, достаточно показать, что кольцо O(Aⁿ⁺¹\(H∪Z)) является очень плоским O(Aⁿ)-модулем. Ввиду предположения индукции по n, таковым является кольцо O(Aⁿ\H).

Согласно теоремам 1-2 из предыдущего постинга, кольцо O(Z\H) является очень плоским O(Aⁿ\X)-модулем, а значит, и O(Aⁿ)-модулем. Согласно рассуждению из примера 2 предпредыдущего постинга, отсюда следует, что таковым является и кольцо O(Aⁿ⁺¹\(H∪Z)). Таким образом, мы доказали теорему для случая бесконечного поля k.

В случае конечного поля k, воспользуемся леммой из предыдущего постинга. Достаточно показать, что для любой схемы конечного типа X над любым полем k и любого алгебраического расширения полей L/k, морфизм f: X_L → X удовлетворяет условиям леммы. Поскольку остальные условия очевидны, остается проверить, что морфизм f очень плоский. Можно считать схему X аффинной. Тогда любая главная аффинная открытая подсхема в X_L определена над некоторым подполем l ⊂ L, конечным над k. Это сводит вопрос к случаю конечного расширения полей, в котором морфизм f очень плоский согласно теоремам 1-2 из предыдущего постинга.

Теорема 2. а) Любой конечный плоский морфизм одномерных схем конечного типа над полем k является очень плоским.
б) Любой плоский (или, что то же самое, квазиконечный) морфизм конечного типа из приведенной одномерной схемы в гладкую одномерную схему конечного типа над полем k является очень плоским.

Доказательство: пункт а) получается рассуждением из примера 1 предпредыдущего постинга. Если Y → X -- наш плоский конечный морфизм аффинных кривых и U ⊂ Y -- открытое подмножество, получающееся выкалыванием нескольких точек, можно рассмотреть открытое подмножество V ⊂ Y, получающееся выкалыванием дополнения до множества точек Y\U в полном прообразе образа этого множества точек при морфизме Y → X. В случае выкалывания неприводимых компонент, можно рассуждать аналогичным образом про неприводимые компоненты, сводя вопрос к уже рассмотренному. Пункт б) сводится к пункту а) с помощью основной теоремы Зарисского (вложения квазиконечного морфизма в конечный).

Определение очень плоского модуля над коммутативным кольцом можно найти в старом постинге http://posic.livejournal.com/780534.html . Морфизм схем f: Y → X называется очень плоским, если для любых аффинных открытых подсхем V ⊂ Y и U ⊂ X, таких что f(V) ⊂ U, кольцо O(V) является очень плоским модулем над кольцом O(U). Например, морфизм аффинных схем Spec S → Spec R очень плоский тогда и только тогда, когда для любого элемента s ∈ S кольцо S[s⁻¹] является очень плоским R-модулем.

Гипотеза. Всякий плоский морфизм конечного типа между нетеровыми схемами является очень плоским.

Пользуясь результатами раздела 1.2 контрагерентного препринта, нетрудно показать, что свойство морфизма схем быть очень плоским локально как по X, так и по Y, а также что класс очень плоских морфизмов замкнут относительно композиций. При этом ниоткуда не следует, что свойство морфизма схем быть очень плоским сохраняется, например, при замене базы. В остальном, вот несколько примеров элементарных рассуждений, которыми пока что ограничиваются мои знания об очень плоских морфизмах.

Пример 1. Разветвленное накрытие Spec C[x] → Spec C[t], определенное правилом t = x², является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: проверим еще более конкретное утверждение, что кольцо C[x][(x−1)⁻¹] является очень плоским модулем над C[x²]. В самом деле, имеется точная последовательность 0 → C[x] → C[x][(x−1)⁻¹] ⊕ C[x][(x+1)⁻¹] → C[x][(x²−1)⁻¹] → 0, в которой C[t]-модуль C[x] очень плоский потому, что проективный, а C[t]-модуль C[x][(x²−1)⁻¹] очень плоский потому, что проективный над C[t][(t−1)⁻¹] (напомним, что конечно порожденный плоский модуль над нетеровым кольцом проективен). Остается воспользоваться фактом, что класс очень плоских R-модулей замкнут относительно расширений.

Пример 2. Проекция A_C² → A_C¹ является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: проверим еще более конкретное утверждение, что кольцо C[x,y][(xy−1)⁻¹] является очень плоским модулем над C[x]. Представим кольцо C[x,y][(xy−1)⁻¹] как прямой предел копий свободного модуля с одной образующей над кольцом C[x,y], вкладывающихся друг в друга отображенем умножения на xy−1. Заметим, что как кольцо C[x,y], так и факторкольцо C[x,y]/(xy−1) являются очень плоскими C[x]-модулями, и вспомним, что класс очень плоских R-модулей замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений.

Пример 3. Проекция A_C³ → A_C² является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: пусть имеется аффинное открытое подмножество U в A³; нужно показать, что O(U) является очень плоским модулем над O(A²). Пусть Z -- структура приведенной замкнутой подсхемы на дополнении к U в A³. Хотелось бы воспользоваться локальностью по базе, чтобы избавиться от вертикальных прямых в Z (выкинув из A² точки, полные прообразы которых лежат вне U, а потом перейдя к аффинному покрытию получившегося открытого подмножества). Потом воспользоваться локальностью по тотальному пространству, чтобы избавиться от точек Z, в которых проекция Z → A² не является плоским морфизмом (покрыв дополнение к таким точкам в A³ объединением дополнений к конечным наборам параллельных наклонных плоскостей, например, что-нибудь в этом роде).

Тогда оставшаяся (открытая) часть Z отображается в A² конечным плоским морфизмом. Хочется использовать аргумент из примера 1, чтобы показать, что функции на оставшейся части Z образуют очень плоский модуль над O(A²), а потом -- аргумент из примера 2, чтобы заключить, что функции на оставшейся части U тоже образуют такой модуль.

Пример 4. Для любой гладкой комплексной кривой X, проекция A_X¹ → X является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: можно локально вложить X в A_C², а потом воспользоваться (несложным, кажется) фактом, что класс очень плоских морфизмов замкнут относительно замен базы при замкнутых вложениях, и примером 3.

Пример 5. Для любого алгебраического многообразия X над полем k, проекция A_X^∞ → X является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: рассуждение предполагает, что мы уже знаем, что все морфизмы проекции A_k^n+m → A_k^m очень плоские (см. следующие два постинга); тогда и морфизмы A_Xⁿ → X очень плоские согласно рассуждению из примера 4. Теперь (считая X аффинным) всякое главное аффинное открытое подмножество в A_X^∞ является дополнением к подсхеме нулей уравнения, зависящего только от конечного множества координат в A^∞.

Любимая игрушечная задачка -- как определить тензорную структуру на категории абелевых групп кручения, чтобы группа Q/Z была единичным объектом. Правильный ответ, конечно -- функтор Tor^Z₁. Но как бы это попроще сконструировать явно? Время от времени начинаю думать на эту тему, что-то придумываю, потом обратно забываю; и так всю жизнь. (См., например, раздел 1.9 препринта 1202.2697.)

Как известно, есть две версии производной категории D-модулей на гладком многообразии -- обычная и "пополненная вдоль нулевого сечения кокасательного расслоения". Попросту, это ко/контрапроизводная и обычная производная категории DG-модулей над комплексом де Рама.

Когда многообразие становится бесконечномерным, пучок колец дифференциальных операторов оказывается странным объектом. Скажем, векторные поля, они же дифференцирования -- это такие отображения из функций в функции. На про-конечномерном про-многообразии они оказываются несущими топологию пространства всех линейных отображений из одного бесконечномерного векторного пространства в другое (что слегка чересчур для пространства образующих ассоциативного кольца). На инд-многообразии это будет что-то еще более сложное.

Видимо, лучше говорить о комплексе де Рама (обладающем, помимо прочего, приятным свойством функториальности по отношению морфизмам многообразий). На инд-нульмерном инд-многообразии, этот комплекс несет топологию, приблизительно, компактного топологического векторного пространства (двойственного к дискретному). Видимо, это значит, что его надо рассматривать как такую DG-коалгебру. Т.е., правильные категории модулей над ним -- это модули кручения и контрамодули. У которых естественно брать ко/контрапроизводные категории, и можно надеяться, что они будут эквивалентны между собой по ко-контра соответствию.

На про-конечномерном про-многообразии, комплекс де Рама дискретен. Аналогично предыдущему это, видимо, значит, что его надо рассматривать как DG-алгебру, т.е., правильная категория модулей над ним -- это обычные (DG-)модули. У которых естественно брать обычную производную категорию (что означает пополенную производную категорию D-модулей). На конечномерном многообразии имеется выбор между двумя подходами.

В полубесконечной ситуации теперь естественно было бы иметь инд-про-схему, гладко расслоенную над гладкой инд-схемой нильпотентного типа. Комплекс де Рама на ней мыслился бы условно как "полуалгебра" над "коалгеброй де Рама базовой инд-схемы". Подходящими модульными категориями были бы "полумодули" (квазикогерентные пучки модулей кокручения в направлении инд-схемы и просто модулей в про-схемных направлениях) и "полуконтрамодули" (контрагерентные копучки контрамодулей в направлении инд-схемы и просто модулей в про-схемных направлениях).

У этих категорий DG-модулей имело бы смысл рассматривать полупроизводные категории (относительно базовой инд-схемы). Это были бы такие смеси обычных производных категорий D-модулей в инд-схемных направлениях и производных категорий D-модулей, пополненных вдоль нулевого сечения кокасательного расслоения, в про-схемных направлениях. Более явно, это мыслилось бы как пополнение производной категории D-модулей на инд-про-схеме вдоль подмногообразия в ее кокасательном расслоении, состоящего из ковекторов, аннулирующих касательные пространства к слоям.

Обычные (наивно определяемые как объекты двойного прямого предела категорий) D-модули на инд-про-схеме должны были бы представлять (некоторые, но далеко не все) объекты этой полупроизводной категории. Может быть, это были бы, грубо-приблизительно, ее компактные образующие...

Наконец, полубесконечные (ко)гомологии всего этого хозяйства (определяемые, скажем пока за отсутствием лучших идей, просто через ко-контра соответствие) могли бы быть вычисляемы полубесконечным комплексом де Рама (как его определяют К.-В., например).

P.S. Отметим, что понятие "инд-нетеровой инд-схемы нильпотентного типа" включает возможность наличия ненильпотентных переменных, образующих любую нетерову схему. Т.е, даже предполагая возможность расслоить интересующую нас инд-про-схему инд-про-конечного типа над инд-схемой инд-конечного и нильпотентного типа, остается еще некий произвол в смысле того, на какую сторону (инд- или про-) отправить то или иное конечное множество направлений/переменных. Конструкция полупроизводной категории к этому чувствительна. Все это -- обычная для полубесконечных (ко)гомологий и т.п. ситуация с необходимостью выбора "нулевого уровня" (компактно-открытой подалгебры в тейтовской алгебре Ли, компактно-открытой подгруппы в локально компактной вполне несвязной группе, и т.п.)

R-контрамодуль Q называется контраприспособленным, если Hom в него в категории R-контрамодулей переводит точные тройки очень плоских R-контрамодулей в точные тройки (абелевых групп, или R-модулей, или R-контрамодулей -- все равно). Ввиду результатов предыдущего постинга, это эквивалентным образом означает, что Ext¹ в Q в категории R-контрамодулей из любого очень плоского R-контрамодуля равен нулю, или что то же самое верно для всех Ext^>0.

Лемма 0. Пусть A -- коммутативное кольцо, I ⊂ J -- конечно порожденные нильпотентные идеалы в A. Пусть Q -- такой A-модуль, что A/J-модуль Q/JQ контраприспособлен. Тогда A-модуль IQ контраприспособлен тоже.

Доказательство: на IQ имеется конечная убывающая фильтрация IQ ⊃ JIQ ⊃ J²IQ ⊃ ... ⊃ J^NIQ = 0, так что достаточно показать, что A/J-модули J^mIQ/J^m+1IQ контраприспособлены для всех m ≥ 0. Но эти модули являются фактормодулями конечных прямых сумм копий A/J-модуля Q/JQ.

Лемма 1. Пусть P -- R-контрамодуль, для которого естественное отображение P → lim_n P/I_n#P является изоморфизмом. Тогда если R₀-модуль P/I₀#P контраприспособлен, то и R-контрамодуль P контраприспособлен.

Доказательство: применяя лемму 0 к кольцу A = R_n с идеалами I = I_n−1/I_n и J = I₀/I_n и A-модулю Q = P_n = P/I_n#P, заключаем, что R_n-модуль (I_n−1/I_n)P_n контраприспособлен. Пусть H → G → F -- точная тройка очень плоских R-контрамодулей; положим F_n = F/I_n#F, и аналогично для G и H. Задание морфизма R-контрамодулей H → P эквивалентно заданию морфизма проективных систем R_n-модулей H_n → P_n. Будем строить по индукции продолжение этого морфизма до морфизма проективных систем G_n → P_n; допустим, морфизм G_n−1 → P_n−1 уже построен. Поскольку ядро морфизма P_n → P_n−1 является контраприспособленным R_n-модулем, композицию G_n → G_n−1 → P_n−1 можно поднять до отображения G_n → P_n. Композиция полученного отображения с вложением H_n → G_n отличается от желаемого отображения H_n → P_n прибавлением отображения из H_n в ядро проекции P_n → P_n−1. Поскольку R_n-модуль F_n очень плоский, последнее отображение можно продолжить с H_n на G_n и прибавить результат к уже имеющемуся отображению G_n → P_n.

Следующая конструкция является ключевой для рассматриваемого подхода.

Лемма 2. Пусть P -- R-контрамодуль, для которого естественное отображение P → lim_n P/I_n#P является изоморфизмом. Тогда P можно вложить в контраприспособленный R-контрамодуль Q так, чтобы факторконтрамодуль Q/P был очень плоским.

Доказательство: рассматривая R как абстрактное (нетопологическое) кольцо, а P -- как R-модуль (игнорируя на мгновение контрамодульную структуру), вложим P в контраприспособленный R-модуль K так, чтобы R-фактормодуль F = K/P был очень плоским. Тогда, поскольку R-модуль F, в частности, плоский, имеются точные последовательности R_n-модулей 0 → P/I_nP → K/I_nK → F/I_nF → 0. Вспоминая теперь R-контрамодульную структуру на P, мы имеем также сюръективные отображения R_n-модулей P/I_nP → P/I_n#P и индуцированные точные последовательности 0 → P/I_n#P → K/(I_nK+I_n#P) → F/I_nF → 0.

Переходя к проективным пределам этих морфизмов точных последовательностей, получаем морфизм из точной последовательности 0 → lim_n P/I_nP → lim_n K/I_nK → lim_n F/I_nF → 0 в точную последовательность 0 → lim_n P/I_n#P → lim_n K/(I_nK+I_n#P) → lim_n F/I_nF → 0. Отображение lim_n P/I_nP → lim_n P/I_n#P всегда сюръективно, поскольку сюръективно факторизующееся через него отображение P → P/#I_nP. Следовательно, и отображение lim_n K/I_nK → lim_n K/(I_nK+I_n#P) сюръективно тоже.

Положим теперь L = lim_n K/I_nK и Q = lim_n K/(I_nK+I_n#P), а также G = lim_n F/I_nF. Все три предела являются естественным образом R-контрамодулями. Согласно лемме 0 из предыдущего математического постинга, имеем L/I_n#L = K/I_nK и G/I_n#G = F/I_nF. Таким образом, R-контрамодуль G очень плоский. Далее, R₀-модуль Q/I₀#Q является фактормодулем контраприспособленного R₀-модуля L/I₀#L, и следовательно, тоже контраприспособлен. Остается использовать лемму 1.

Лемма 3. Любой R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль очень плоского R-контрамодуля по контраприспособленному R-подконтрамодулю.

Доказательство: представить произвольный R-контрамодуль P как факторконтрамодуль свободного R-модуля H (который, в частности, очень плоский), вложить ядро K отображения F → P в контраприспособленный R-контрамодуль Q так, чтобы факторконтрамодуль F = Q/K был очень плоским, рассмотреть индуцированные расширения K → G → P и H → G → F, и использовать лемму 2 из предыдущего математического постинга. Здесь существенно, что отображение K → lim_n K/I_n#K является изоморфизмом, поскольку отображение H → lim_n H/I_n#H таковым является. (Это стандартное рассуждение по типу того, что Eklof-Trlifaj приписывают Salce.)

Лемма 4. Любой R-контрамодуль можно вложить в контраприспособленный R-контрамодуль так, чтобы факторконтрамодуль был очень плоским.

Доказательство: представить произвольный R-контрамодуль P в виде факторконтрамодуля очень плоского R-контрамодуля G по контраприспособленному R-контрамодулю K, вложить R-контрамодуль G (удовлетворяющий условию леммы 2) в контраприспособленный R-контрамодуль L так, чтобы факторконтрамодуль F = L/G был очень плоским, и обозначить через N коядро композиции инъективных морфизмов R-контрамодулей K → G → L. Тогда R-контрамодуль N контраприспособлен, поскольку класс контраприспособленных R-контрамодулей замкнут относительно коядер вложений (как прямо следует из одного из определений в начале постинга), и даже вообще относительно перехода к факторконтрамодулям (как можно заключить из следствия в конце предыдущего математического постинга). При этом R-контрамодуль P вкладывается в N с коядром F. (Это рассуждение по типу тех, что используются в книжке Semimodules для построения резольвент.)

Следствие. R-контрамодуль контраприспособлен тогда и только тогда, когда он является контраприспособленным R-модулем.

Доказательство: ввиду конструкций выше, всякий контраприспособленный R-контрамодуль можно получить из R-контрамодулей вида K = lim_n K/I_nK, где K пробегает контраприспособленные R-модули, с помощью операций перехода к коядру вложения и прямому слагаемому. Класс контраприспособленных R-модулей замнут относительно этих операций, и R-модули описанного явного вида контраприспособлены ввиду рассуждений из раздела B.10 в 1202.2697v3 и начала раздела C.3 в 1209.2995v3 (ср. с доказательством леммы 1 выше). Таким образом, все контраприспособленные R-контрамодули являются одновременно контраприспособленными R-модулями.

Обратно, пусть R-контрамодуль P является контраприспособленным R-модулем. Представим P в виде факторконтрамодуля плоского R-контрамодуля F по контраприспособленному R-подконтрамодулю Q. По доказанному, Q является тогда контраприспособленным R-модулем, а следовательно, таковым является и F. Теперь R₀-модуль F/I₀#F контраприспособлен как фактормодуль контраприспособленного R-модуля, откуда R-контрамодуль F контраприспособлен по лемме 1 (первому условию которой он удовлетворяет, поскольку он плоский). Теперь R-контрамодуль P контраприспособлен как коядро вложения контраприспособленных R-контрамодулей Q → F.