![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЛемма. Пусть кольцо R когерентно слева, кольцо S когерентно справа, и D -- дуализирующий комплекс для колец R и S. Пусть R → R' и S → S' -- сюръективные гомоморфизмы колец, причем ядро отображения R → R' конечно порождено как левый идеал в R, а ядро отображения S → S' -- как правый идеал в S. Тогда если максимальный подкомплекс в D, являющийся комплексом левых R'-модулей, совпадает с максимальным подкомплексом, являющимся комплексом правых S'-модулей, то этот подкомплекс D' является дуализирующим комплексом для колец R' и S'.
Доказательство: см. http://posic.livejournal.com/935507.html
Пусть теперь R0 ← R1 ← R2 ← ... и S0 ← S1 ← S2 -- две проективные системы некоммутативных колец и сюръективных отображений между ними, причем кольца Rn нетеровы слева, кольца Sn когерентны справа, и ядра гомоморфизмов Sn → Sm являются конечно порожденными правыми идеалами.
Пусть Dn -- дуализирующие комплексы для Rn и Sn, причем максимальный подкомплекс в Dn, являющийся комплексом левых Rn−1-модулей, совпадает с максимальным подкомплексом, являющимся комплексом правых Sn−1-модулей, и отождествлен, как комплекс Rn−1-Sn−1-бимодулей, с Dn−1. (Равномерная ограниченность когомологических градуировок комплексов Dn не предполагается, но каждый из них должен быть, как обычно, конечным комплексом.)
Пусть R и S обозначают проективные пределы lim Rn и lim Sn (рассматриваемые как топологические кольца). В такой ситуации, хотелось бы доказать следующее утверждение.
Теорема. Выбор индуктивной системы комплексов Dn индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией дискретных левых R-модулей и контрапроизводной категорией левых S-контрамодулей.
Идея доказательства: положим D = lim Dn. Копроизводная категория дискретных левых R-модулей эквивалентна гомотопической категории инъективных дискретных левых R-модулей, а контрапроизводная категория левых S-контрамодулей эквивалентна контрапроизводной категории плоских левых S-контрамодулей (определяемых как постинге в http://posic.livejournal.com/936483.html ). Функторы HomR(D,−) и D⊙S− (контратензорное произведение) отождествляют две последние категории.
Доказательство: см. http://posic.livejournal.com/935507.html
Пусть теперь R0 ← R1 ← R2 ← ... и S0 ← S1 ← S2 -- две проективные системы некоммутативных колец и сюръективных отображений между ними, причем кольца Rn нетеровы слева, кольца Sn когерентны справа, и ядра гомоморфизмов Sn → Sm являются конечно порожденными правыми идеалами.
Пусть Dn -- дуализирующие комплексы для Rn и Sn, причем максимальный подкомплекс в Dn, являющийся комплексом левых Rn−1-модулей, совпадает с максимальным подкомплексом, являющимся комплексом правых Sn−1-модулей, и отождествлен, как комплекс Rn−1-Sn−1-бимодулей, с Dn−1. (Равномерная ограниченность когомологических градуировок комплексов Dn не предполагается, но каждый из них должен быть, как обычно, конечным комплексом.)
Пусть R и S обозначают проективные пределы lim Rn и lim Sn (рассматриваемые как топологические кольца). В такой ситуации, хотелось бы доказать следующее утверждение.
Теорема. Выбор индуктивной системы комплексов Dn индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией дискретных левых R-модулей и контрапроизводной категорией левых S-контрамодулей.
Идея доказательства: положим D = lim Dn. Копроизводная категория дискретных левых R-модулей эквивалентна гомотопической категории инъективных дискретных левых R-модулей, а контрапроизводная категория левых S-контрамодулей эквивалентна контрапроизводной категории плоских левых S-контрамодулей (определяемых как постинге в http://posic.livejournal.com/936483.html ). Функторы HomR(D,−) и D⊙S− (контратензорное произведение) отождествляют две последние категории.
