posic

Лемма. Пусть кольцо R когерентно слева, кольцо S когерентно справа, и D -- дуализирующий комплекс для колец R и S. Пусть R → R' и S → S' -- сюръективные гомоморфизмы колец, причем ядро отображения R → R' конечно порождено как левый идеал в R, а ядро отображения S → S' -- как правый идеал в S. Тогда если максимальный подкомплекс в D, являющийся комплексом левых R'-модулей, совпадает с максимальным подкомплексом, являющимся комплексом правых S'-модулей, то этот подкомплекс D' является дуализирующим комплексом для колец R' и S'.

Доказательство: см. http://posic.livejournal.com/935507.html

Пусть теперь R₀ ← R₁ ← R₂ ← ... и S₀ ← S₁ ← S₂ -- две проективные системы некоммутативных колец и сюръективных отображений между ними, причем кольца R_n нетеровы слева, кольца S_n когерентны справа, и ядра гомоморфизмов S_n → S_m являются конечно порожденными правыми идеалами.

Пусть D_n -- дуализирующие комплексы для R_n и S_n, причем максимальный подкомплекс в D_n, являющийся комплексом левых R_n−1-модулей, совпадает с максимальным подкомплексом, являющимся комплексом правых S_n−1-модулей, и отождествлен, как комплекс R_n−1-S_n−1-бимодулей, с D_n−1. (Равномерная ограниченность когомологических градуировок комплексов D_n не предполагается, но каждый из них должен быть, как обычно, конечным комплексом.)

Пусть R и S обозначают проективные пределы lim R_n и lim S_n (рассматриваемые как топологические кольца). В такой ситуации, хотелось бы доказать следующее утверждение.

Теорема. Выбор индуктивной системы комплексов D_n индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией дискретных левых R-модулей и контрапроизводной категорией левых S-контрамодулей.

Идея доказательства: положим D = lim D_n. Копроизводная категория дискретных левых R-модулей эквивалентна гомотопической категории инъективных дискретных левых R-модулей, а контрапроизводная категория левых S-контрамодулей эквивалентна контрапроизводной категории плоских левых S-контрамодулей (определяемых как постинге в http://posic.livejournal.com/936483.html ). Функторы Hom_R(D,−) и D⊙_S− (контратензорное произведение) отождествляют две последние категории.