![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R0 ← R1 ← R2 ← ... -- проективная система нетеровых коммутативных колец и сюръективных отображений между ними, ядра которых являются нильпотентными идеалами. Обозначим через R проективный предел limn Rn, рассматриваемый как топологическое кольцо (в топологии проективного предела дискретных колец Rn). Очевидно, гомоморфизмы колец R → Rn сюръективны; обозначим через In ⊂ R их ядра. Тогда идеалы In образуют базу окрестностей нуля в топологическом кольце R.
Нас интересуют контрамодули над топологическим кольцом R. Для любого R-контрамодуля P и замкнутого идеала I ⊂ R будем обозначать через I#P ⊂ P образ отображения контрадействия I[[P]] → P. Как обычно, для любого R-модуля M через IM обозначается образ отображения действия I⊗RM → M. Для R-контрамодуля P имеет место включение IP ⊂ I#P -- вообще говоря, не являющееся равенством.
Как известно, для любого R-контрамодуля P естественное отображение в проективный предел P → limn P/In#P сюръективно (см. Semimodules, Lemma A.2.3 and Remark A.3). Будем называть R-контрамодуль P плоским, если это отображение является изоморфизмом и R/In-модули P/In#P плоские для всех n. R-контрамодуль F называется очень плоским, если он плоский и R/In-модули F/In#F очень плоские для всех n.
Лемма 0. Пусть P0 ← P1 ← P2 ← ... -- проективная система Rn-модулей, в которой морфизм Pn → Pn−1 отождествляет Pn−1 с Rn−1⊗RnPn. Тогда если P -- R-контрамодуль limn Pn, то естественное отображение P → Pn отождествляет Pn с P/In#P. Обратно, для любого R-контрамодуля P проективная система Rn-модулей Pn = P/In#P удовлетворяет условию выше.
Доказательство: поскольку Pn является Rn-модулем, а P → Pn -- морфизм R-контрамодулей, ядро этого морфизма содержит In#P. Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим элемент p ∈ P, принадлежащий ядру морфизма P → Pn. Образ элемента p в Pn+1 принадлежит (In/In+1)Pn+1; разложим этот образ соответствующим образом в конечную линейную комбинацию, поднимем входящие в нее элементы Pn+1 в P и элементы In/In+1 в In, и вычтем из p соответствующую конечную линейную комбинацию элементов P с коэффициентами из In. Образ полученного элемента p' ∈ P в Pn+1 равен нулю, так что его образ в Pn+2 принадлежит (In+1/In+2)Pn+2. Продолжая описанный процесс неограниченно, мы получим выражение элемента p в виде счетной линейной комбинации элементов из P с коэффициентами, образующими сходящуюся к нулю последовательность в In. Это доказывает первое утверждение леммы; второе утверждение очевидно.
Лемма 1. Если G → F -- сюръективный морфизм плоских R-контрамодулей, то его ядро H -- тоже плоский R-контрамодуль. При этом последовательности 0 → H/In#H → G/In#G → F/In#F → 0 точны.
Доказательство: очевидно, для любой точной тройки R-контрамодулей 0 → H → G → F → 0 имеются точные последовательности Rn-модулей 0 → H/H∩(In#G) → G/In#G → F/InF → 0. Если Rn-модуль F/InF плоский, то тензорное умножение на Rn−1 над Rn преобразует эту последовательность в аналогичную последовательность с номером n−1. С другой стороны, если отображения F → limn F/InF и G → limn G/InG являются изоморфизмами, то, переходя к проективному пределу точных последовательностей выше, мы можем заключить, что отображение H → limn H/H∩(InG) является изоморфизмом. Согласно лемме 0, из этих утверждений следует, что H∩(In#G) = In#H и последовательности 0 → H/In#H → G/In#G → F/In#F → 0 точны. Наконец, теперь если Rn-модули G/In#G плоски, то таковы же и Rn-модули H/In#H.
Лемма 2. Если 0 → H → G → F → 0 -- точная последовательность R-контрамодулей и R-контрамодули H и F плоские, то R-контрамодуль G тоже плоский.
Доказательство: ввиду доказательства леммы 1, достаточно показать, что отображение G → limn G/In#G является изоморфизмом. Выберем сюръективное отображение на точную тройку H → G → F из точной тройки свободных R-контрамодулей W → V → U. Пусть M → L → K -- соответствующая точная тройка ядер. Переходя к проективному пределу последовательностей 0 → L/L∩(In#V) → V/In#V → G/In#G → 0, получаем точную последовательность 0 → limn L/L∩(In#V) → V → limn G/In#G → 0. Очевидно, отображение L → limn L/In#L является изоморфизмом, поскольку таковым является отображение V → limn V/In#V. Таким образом, остается показать, что изоморфизмом является отображение L → limn L/L∩(In#V). Эквивалентным образом, это означает зануление производного функтора проективного предела limn1 L∩(In#V).
Тройки In#W → In#V → In#U точны, поскольку тройка W → V → U расщепима. Переходя к расслоенному произведению двух точных троек над третьей (в которую они вкладываются), получаем точную последовательность 0 → M∩(In#W) → L∩(In#V) → K∩(In#U). Поскольку R-контрамодули U и F плоские, согласно лемме 1 имеем K∩(In#U) = In#K. Отсюда видно, что отображение L∩(In#V) → K∩(In#U) сюръективно, так что вся последовательность 0 → M∩(In#W) → L∩(In#V) → K∩(In#U) → 0 точна. Применяя точный справа (и в частности, в среднем члене) производный функтор limn1, мы получаем искомое зануление.
Лемма 3. R-контрамодуль F является проективным объектом в R-contra тогда и только тогда, когда он плоский и Rn-модули F/In#F проективны (достаточно, чтобы последнее условие выполнялось для n=0).
Доказательство: стандартное рассуждение с подъемом идемпотента. (Кажется, здесь мы в первый раз пользуемся условием нильпотентности идеалов-ядер...)
Следствие. Класс очень плоских R-контрамодулей замкнут относительно расширений и ядер сюръективных морфизмов в R-contra. Проективная размерность очень плоского R-контрамодуля (как объекта R-contra) не превосходит единицы.
13.04.2013 0:15 - Update: что-то мне кажется, что в этом постинге нетеровость колец Rn не используется вообще (по крайней мере, до леммы 3). А в следующем -- используется только в форме предположения, что идеалы Im/In ⊂ Rn конечно порождены. Да и коммутативность колец Rn (постольку, поскольку речь идет о плоских, а не очень плоских модулях) в этом постинге (до леммы 3), кажется, тоже не используется...
Нас интересуют контрамодули над топологическим кольцом R. Для любого R-контрамодуля P и замкнутого идеала I ⊂ R будем обозначать через I#P ⊂ P образ отображения контрадействия I[[P]] → P. Как обычно, для любого R-модуля M через IM обозначается образ отображения действия I⊗RM → M. Для R-контрамодуля P имеет место включение IP ⊂ I#P -- вообще говоря, не являющееся равенством.
Как известно, для любого R-контрамодуля P естественное отображение в проективный предел P → limn P/In#P сюръективно (см. Semimodules, Lemma A.2.3 and Remark A.3). Будем называть R-контрамодуль P плоским, если это отображение является изоморфизмом и R/In-модули P/In#P плоские для всех n. R-контрамодуль F называется очень плоским, если он плоский и R/In-модули F/In#F очень плоские для всех n.
Лемма 0. Пусть P0 ← P1 ← P2 ← ... -- проективная система Rn-модулей, в которой морфизм Pn → Pn−1 отождествляет Pn−1 с Rn−1⊗RnPn. Тогда если P -- R-контрамодуль limn Pn, то естественное отображение P → Pn отождествляет Pn с P/In#P. Обратно, для любого R-контрамодуля P проективная система Rn-модулей Pn = P/In#P удовлетворяет условию выше.
Доказательство: поскольку Pn является Rn-модулем, а P → Pn -- морфизм R-контрамодулей, ядро этого морфизма содержит In#P. Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим элемент p ∈ P, принадлежащий ядру морфизма P → Pn. Образ элемента p в Pn+1 принадлежит (In/In+1)Pn+1; разложим этот образ соответствующим образом в конечную линейную комбинацию, поднимем входящие в нее элементы Pn+1 в P и элементы In/In+1 в In, и вычтем из p соответствующую конечную линейную комбинацию элементов P с коэффициентами из In. Образ полученного элемента p' ∈ P в Pn+1 равен нулю, так что его образ в Pn+2 принадлежит (In+1/In+2)Pn+2. Продолжая описанный процесс неограниченно, мы получим выражение элемента p в виде счетной линейной комбинации элементов из P с коэффициентами, образующими сходящуюся к нулю последовательность в In. Это доказывает первое утверждение леммы; второе утверждение очевидно.
Лемма 1. Если G → F -- сюръективный морфизм плоских R-контрамодулей, то его ядро H -- тоже плоский R-контрамодуль. При этом последовательности 0 → H/In#H → G/In#G → F/In#F → 0 точны.
Доказательство: очевидно, для любой точной тройки R-контрамодулей 0 → H → G → F → 0 имеются точные последовательности Rn-модулей 0 → H/H∩(In#G) → G/In#G → F/InF → 0. Если Rn-модуль F/InF плоский, то тензорное умножение на Rn−1 над Rn преобразует эту последовательность в аналогичную последовательность с номером n−1. С другой стороны, если отображения F → limn F/InF и G → limn G/InG являются изоморфизмами, то, переходя к проективному пределу точных последовательностей выше, мы можем заключить, что отображение H → limn H/H∩(InG) является изоморфизмом. Согласно лемме 0, из этих утверждений следует, что H∩(In#G) = In#H и последовательности 0 → H/In#H → G/In#G → F/In#F → 0 точны. Наконец, теперь если Rn-модули G/In#G плоски, то таковы же и Rn-модули H/In#H.
Лемма 2. Если 0 → H → G → F → 0 -- точная последовательность R-контрамодулей и R-контрамодули H и F плоские, то R-контрамодуль G тоже плоский.
Доказательство: ввиду доказательства леммы 1, достаточно показать, что отображение G → limn G/In#G является изоморфизмом. Выберем сюръективное отображение на точную тройку H → G → F из точной тройки свободных R-контрамодулей W → V → U. Пусть M → L → K -- соответствующая точная тройка ядер. Переходя к проективному пределу последовательностей 0 → L/L∩(In#V) → V/In#V → G/In#G → 0, получаем точную последовательность 0 → limn L/L∩(In#V) → V → limn G/In#G → 0. Очевидно, отображение L → limn L/In#L является изоморфизмом, поскольку таковым является отображение V → limn V/In#V. Таким образом, остается показать, что изоморфизмом является отображение L → limn L/L∩(In#V). Эквивалентным образом, это означает зануление производного функтора проективного предела limn1 L∩(In#V).
Тройки In#W → In#V → In#U точны, поскольку тройка W → V → U расщепима. Переходя к расслоенному произведению двух точных троек над третьей (в которую они вкладываются), получаем точную последовательность 0 → M∩(In#W) → L∩(In#V) → K∩(In#U). Поскольку R-контрамодули U и F плоские, согласно лемме 1 имеем K∩(In#U) = In#K. Отсюда видно, что отображение L∩(In#V) → K∩(In#U) сюръективно, так что вся последовательность 0 → M∩(In#W) → L∩(In#V) → K∩(In#U) → 0 точна. Применяя точный справа (и в частности, в среднем члене) производный функтор limn1, мы получаем искомое зануление.
Лемма 3. R-контрамодуль F является проективным объектом в R-contra тогда и только тогда, когда он плоский и Rn-модули F/In#F проективны (достаточно, чтобы последнее условие выполнялось для n=0).
Доказательство: стандартное рассуждение с подъемом идемпотента. (Кажется, здесь мы в первый раз пользуемся условием нильпотентности идеалов-ядер...)
Следствие. Класс очень плоских R-контрамодулей замкнут относительно расширений и ядер сюръективных морфизмов в R-contra. Проективная размерность очень плоского R-контрамодуля (как объекта R-contra) не превосходит единицы.
13.04.2013 0:15 - Update: что-то мне кажется, что в этом постинге нетеровость колец Rn не используется вообще (по крайней мере, до леммы 3). А в следующем -- используется только в форме предположения, что идеалы Im/In ⊂ Rn конечно порождены. Да и коммутативность колец Rn (постольку, поскольку речь идет о плоских, а не очень плоских модулях) в этом постинге (до леммы 3), кажется, тоже не используется...
