"На инд-про-схеме D-модулей не бывает"
Apr. 19th, 2013 10:08 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЧего-чего не бывает?
Во-первых, категория D-модулей над инд-про-схеме (в простейшей ситуации двойного предела гладких схем конечного типа относительно замкнутых вложений и гладких морфизмов, образующих декартовы квадраты) была определена (простейшим способом, как индуктивный предел категорий D-модулей на аппроксимирующих схемах относительно функторов прямого и обратного образа) еще в старой работе http://arxiv.org/abs/math/0107143 . В той же работе можно найти настоящую формулировку проблемы, о которой здесь идет речь: нет функтора глобальных сечений таких D-модулей.
Во-вторых, если говорить о функторе глобальных сечений D-модулей, то его вообще нет. Совсем, то есть, в принципе. Есть глобальные сечения левых D-модулей и глобальные сечения правых D-модулей. Конечно, на аффинном гладком конечномерном многообразии одно через другое переписывается, но вне рамок этой простейшей ситуации -- это два совершенно разных функтора. На одной-единственной категории левых = правых D-модулей есть два разных функтора "левых" и "правых" глобальных сечений (или, если угодно, "левых" и "правых" подлежащих O-модулей).
Проблема с инд-про-схемой (согласно статье по ссылке) в том, что объекты (вышеописанной) категории D-модулей на ней не реализуются ни как левые, ни как правые D-модули. Поскольку прямые образы при замкнутых вложениях бывают у правых D-модулей, а обратные образы при гладких морфизмах -- у левых. Функторы эти образуют коммутативные диаграммы при декартовых квадратах, так что прямой предел категорий имеет смысл. Но индуктивные системы пространств глобальных сечений можно сформировать -- по замкнутым вложениям для "правых" сечений, по гладким морфизмам для "левых", а по тем и другим одновременно -- ни для каких.
В третьих, вот, пожалуйста, определение триангулированной категории D-модулей на (хорошей) инд-схеме инд-бесконечного типа вместе с функтором "правых" глобальных сечений на ней. Вернее сказать, даже двух таких категорий, отличающихся технической деталью конструкции (надо посчитать что-нибудь, чтобы понять, какая из них правильнее).
Пусть инд-схема X представлена направленной индуктивной системой схем Xα и их замкнутых вложений. Предположим, что схемы Xα гладки над полем k, скажем, в том смысле, что каждая Xα допускает покрытие открытыми подсхемами, представимыми как проективные пределы направленных проективных систем гладких схем конечного типа и гладких аффинных морфизмов между ними.
Определим триангулированную категорию D-модулей над каждой схеме Xα как производную (или, может быть, копроизводную) категорию DG-модулей над комплексом де Рама схемы Xα (определяемым наивно как внешняя алгебра от кэлеровых дифференциалов). Заметим, что любой морфизм гладких многообразий является одновременно морфизмом пространств, окольцованных пучками DG-алгебр де Рама, так что прямые и обратные образы DG-модулей над комплексами де Рама определяются самым стандартным образом (так же, как для O-модулей, и проще, чем для D-модулей).
Триангулированную категорию D-модулей на всей инд-схеме X можно тогда определить, как прямой предел триангулированных категорий D-модулей на Xα. Это, конечно, не совсем правильное определение. Корректнее будет придумать какое-нибудь определение "DG-модуля над комплексом де Рама на X" так, чтобы всякий такой DG-модуль был индуктивным пределом DG-модулей над комплексами де Рама на Xα, и потом перейти к (ко)производной категории таких "DG-модулей". Скажем, можно рассматривать комплексы квазикогерентных пучков кручения на X, на которых для каждого α на максимальном подпучке, являющемся квазикогерентным пучком на Xα, есть структура DG-модуля над комплексом де Рама схемы Xα, что-нибудь такое.
Но для наших целей (демонстрации возможности) построения функтора "правых" глобальных сечений хватит и наивной конструкции прямого предела категорий. Ключевое наблюдение состоит в том, что "функтор решений" сопоставляет правому D-модулю D -- DG-модуль O над комплексом де Рама. Поэтому интересующий нас функтор на категории DG-модулей над комплексом де Рама на Xα можно просто определить как (R)Hom из DG-модуля O.
Далее, функтор прямого образа при вложении iβα: Xα → Xβ сопоставляет DG-модулю OXα -- DG-модуль iβα*OXα, на который естественным образом сюръективно отображается DG-модуль OXβ. Это позволяет перейти к прямому пределу по α и определить глобальные сечения объекта прямого предела категорий DG-модулей над комплексами де Рама на Xα.
Что же происходит с обратными образами при гладких морфизмах? Допустим, имеется гладкий морфизм схем Xα → Zα (конечной или бесконечной относительной размерности). Тогда обратный образ DG-модуля OZα -- это относительный (послойный) комплекс де Рама для Xα над Zα. Никакого морфизма DG-модулей в этот комплекс из DG-модуля OXα нет. Так что "правое D-модульное" глобальное сечение DG-модуля над комплексом де Рама Zα никакого аналогичного сечения обратного образа этого DG-модуля на Xα не определяет.
Зато, если относительная размерность Xα над Zα конечна, есть естественный морфизм DG-модулей из послойного пучка старших форм в относительный комплекс де Рама на Xα. Подкрутка, которой и следовало ожидать от правых D-модулей.
Во-первых, категория D-модулей над инд-про-схеме (в простейшей ситуации двойного предела гладких схем конечного типа относительно замкнутых вложений и гладких морфизмов, образующих декартовы квадраты) была определена (простейшим способом, как индуктивный предел категорий D-модулей на аппроксимирующих схемах относительно функторов прямого и обратного образа) еще в старой работе http://arxiv.org/abs/math/0107143 . В той же работе можно найти настоящую формулировку проблемы, о которой здесь идет речь: нет функтора глобальных сечений таких D-модулей.
Во-вторых, если говорить о функторе глобальных сечений D-модулей, то его вообще нет. Совсем, то есть, в принципе. Есть глобальные сечения левых D-модулей и глобальные сечения правых D-модулей. Конечно, на аффинном гладком конечномерном многообразии одно через другое переписывается, но вне рамок этой простейшей ситуации -- это два совершенно разных функтора. На одной-единственной категории левых = правых D-модулей есть два разных функтора "левых" и "правых" глобальных сечений (или, если угодно, "левых" и "правых" подлежащих O-модулей).
Проблема с инд-про-схемой (согласно статье по ссылке) в том, что объекты (вышеописанной) категории D-модулей на ней не реализуются ни как левые, ни как правые D-модули. Поскольку прямые образы при замкнутых вложениях бывают у правых D-модулей, а обратные образы при гладких морфизмах -- у левых. Функторы эти образуют коммутативные диаграммы при декартовых квадратах, так что прямой предел категорий имеет смысл. Но индуктивные системы пространств глобальных сечений можно сформировать -- по замкнутым вложениям для "правых" сечений, по гладким морфизмам для "левых", а по тем и другим одновременно -- ни для каких.
В третьих, вот, пожалуйста, определение триангулированной категории D-модулей на (хорошей) инд-схеме инд-бесконечного типа вместе с функтором "правых" глобальных сечений на ней. Вернее сказать, даже двух таких категорий, отличающихся технической деталью конструкции (надо посчитать что-нибудь, чтобы понять, какая из них правильнее).
Пусть инд-схема X представлена направленной индуктивной системой схем Xα и их замкнутых вложений. Предположим, что схемы Xα гладки над полем k, скажем, в том смысле, что каждая Xα допускает покрытие открытыми подсхемами, представимыми как проективные пределы направленных проективных систем гладких схем конечного типа и гладких аффинных морфизмов между ними.
Определим триангулированную категорию D-модулей над каждой схеме Xα как производную (или, может быть, копроизводную) категорию DG-модулей над комплексом де Рама схемы Xα (определяемым наивно как внешняя алгебра от кэлеровых дифференциалов). Заметим, что любой морфизм гладких многообразий является одновременно морфизмом пространств, окольцованных пучками DG-алгебр де Рама, так что прямые и обратные образы DG-модулей над комплексами де Рама определяются самым стандартным образом (так же, как для O-модулей, и проще, чем для D-модулей).
Триангулированную категорию D-модулей на всей инд-схеме X можно тогда определить, как прямой предел триангулированных категорий D-модулей на Xα. Это, конечно, не совсем правильное определение. Корректнее будет придумать какое-нибудь определение "DG-модуля над комплексом де Рама на X" так, чтобы всякий такой DG-модуль был индуктивным пределом DG-модулей над комплексами де Рама на Xα, и потом перейти к (ко)производной категории таких "DG-модулей". Скажем, можно рассматривать комплексы квазикогерентных пучков кручения на X, на которых для каждого α на максимальном подпучке, являющемся квазикогерентным пучком на Xα, есть структура DG-модуля над комплексом де Рама схемы Xα, что-нибудь такое.
Но для наших целей (демонстрации возможности) построения функтора "правых" глобальных сечений хватит и наивной конструкции прямого предела категорий. Ключевое наблюдение состоит в том, что "функтор решений" сопоставляет правому D-модулю D -- DG-модуль O над комплексом де Рама. Поэтому интересующий нас функтор на категории DG-модулей над комплексом де Рама на Xα можно просто определить как (R)Hom из DG-модуля O.
Далее, функтор прямого образа при вложении iβα: Xα → Xβ сопоставляет DG-модулю OXα -- DG-модуль iβα*OXα, на который естественным образом сюръективно отображается DG-модуль OXβ. Это позволяет перейти к прямому пределу по α и определить глобальные сечения объекта прямого предела категорий DG-модулей над комплексами де Рама на Xα.
Что же происходит с обратными образами при гладких морфизмах? Допустим, имеется гладкий морфизм схем Xα → Zα (конечной или бесконечной относительной размерности). Тогда обратный образ DG-модуля OZα -- это относительный (послойный) комплекс де Рама для Xα над Zα. Никакого морфизма DG-модулей в этот комплекс из DG-модуля OXα нет. Так что "правое D-модульное" глобальное сечение DG-модуля над комплексом де Рама Zα никакого аналогичного сечения обратного образа этого DG-модуля на Xα не определяет.
Зато, если относительная размерность Xα над Zα конечна, есть естественный морфизм DG-модулей из послойного пучка старших форм в относительный комплекс де Рама на Xα. Подкрутка, которой и следовало ожидать от правых D-модулей.
