"На инд-про-схеме D-модулей не бывает"

[posic]

Чего-чего не бывает?

Во-первых, категория D-модулей над инд-про-схеме (в простейшей ситуации двойного предела гладких схем конечного типа относительно замкнутых вложений и гладких морфизмов, образующих декартовы квадраты) была определена (простейшим способом, как индуктивный предел категорий D-модулей на аппроксимирующих схемах относительно функторов прямого и обратного образа) еще в старой работе http://arxiv.org/abs/math/0107143 . В той же работе можно найти настоящую формулировку проблемы, о которой здесь идет речь: нет функтора глобальных сечений таких D-модулей.

Во-вторых, если говорить о функторе глобальных сечений D-модулей, то его вообще нет. Совсем, то есть, в принципе. Есть глобальные сечения левых D-модулей и глобальные сечения правых D-модулей. Конечно, на аффинном гладком конечномерном многообразии одно через другое переписывается, но вне рамок этой простейшей ситуации -- это два совершенно разных функтора. На одной-единственной категории левых = правых D-модулей есть два разных функтора "левых" и "правых" глобальных сечений (или, если угодно, "левых" и "правых" подлежащих O-модулей).

Проблема с инд-про-схемой (согласно статье по ссылке) в том, что объекты (вышеописанной) категории D-модулей на ней не реализуются ни как левые, ни как правые D-модули. Поскольку прямые образы при замкнутых вложениях бывают у правых D-модулей, а обратные образы при гладких морфизмах -- у левых. Функторы эти образуют коммутативные диаграммы при декартовых квадратах, так что прямой предел категорий имеет смысл. Но индуктивные системы пространств глобальных сечений можно сформировать -- по замкнутым вложениям для "правых" сечений, по гладким морфизмам для "левых", а по тем и другим одновременно -- ни для каких.

В третьих, вот, пожалуйста, определение триангулированной категории D-модулей на (хорошей) инд-схеме инд-бесконечного типа вместе с функтором "правых" глобальных сечений на ней. Вернее сказать, даже двух таких категорий, отличающихся технической деталью конструкции (надо посчитать что-нибудь, чтобы понять, какая из них правильнее).

Пусть инд-схема X представлена направленной индуктивной системой схем X_α и их замкнутых вложений. Предположим, что схемы X_α гладки над полем k, скажем, в том смысле, что каждая X_α допускает покрытие открытыми подсхемами, представимыми как проективные пределы направленных проективных систем гладких схем конечного типа и гладких аффинных морфизмов между ними.

Определим триангулированную категорию D-модулей над каждой схеме X_α как производную (или, может быть, копроизводную) категорию DG-модулей над комплексом де Рама схемы X_α (определяемым наивно как внешняя алгебра от кэлеровых дифференциалов). Заметим, что любой морфизм гладких многообразий является одновременно морфизмом пространств, окольцованных пучками DG-алгебр де Рама, так что прямые и обратные образы DG-модулей над комплексами де Рама определяются самым стандартным образом (так же, как для O-модулей, и проще, чем для D-модулей).

Триангулированную категорию D-модулей на всей инд-схеме X можно тогда определить, как прямой предел триангулированных категорий D-модулей на X_α. Это, конечно, не совсем правильное определение. Корректнее будет придумать какое-нибудь определение "DG-модуля над комплексом де Рама на X" так, чтобы всякий такой DG-модуль был индуктивным пределом DG-модулей над комплексами де Рама на X_α, и потом перейти к (ко)производной категории таких "DG-модулей". Скажем, можно рассматривать комплексы квазикогерентных пучков кручения на X, на которых для каждого α на максимальном подпучке, являющемся квазикогерентным пучком на X_α, есть структура DG-модуля над комплексом де Рама схемы X_α, что-нибудь такое.

Но для наших целей (демонстрации возможности) построения функтора "правых" глобальных сечений хватит и наивной конструкции прямого предела категорий. Ключевое наблюдение состоит в том, что "функтор решений" сопоставляет правому D-модулю D -- DG-модуль O над комплексом де Рама. Поэтому интересующий нас функтор на категории DG-модулей над комплексом де Рама на X_α можно просто определить как (R)Hom из DG-модуля O.

Далее, функтор прямого образа при вложении i_βα: X_α → X_β сопоставляет DG-модулю O_Xα -- DG-модуль i_βα*O_Xα, на который естественным образом сюръективно отображается DG-модуль O_Xβ. Это позволяет перейти к прямому пределу по α и определить глобальные сечения объекта прямого предела категорий DG-модулей над комплексами де Рама на X_α.

Что же происходит с обратными образами при гладких морфизмах? Допустим, имеется гладкий морфизм схем X_α → Z_α (конечной или бесконечной относительной размерности). Тогда обратный образ DG-модуля O_Zα -- это относительный (послойный) комплекс де Рама для X_α над Z_α. Никакого морфизма DG-модулей в этот комплекс из DG-модуля O_Xα нет. Так что "правое D-модульное" глобальное сечение DG-модуля над комплексом де Рама Z_α никакого аналогичного сечения обратного образа этого DG-модуля на X_α не определяет.

Зато, если относительная размерность X_α над Z_α конечна, есть естественный морфизм DG-модулей из послойного пучка старших форм в относительный комплекс де Рама на X_α. Подкрутка, которой и следовало ожидать от правых D-модулей.

Comments

[sasha-br.livejournal.com]

Лёня, проблема тут в первую очередь с твоим предлоложением о гладкости - в реальной жизни оно не выполняется. Т.е. можно привести кучу примеров формально гладких инд-схем,
которые при этом не представляются в виде индуктивного предела гладких схем - большинство однородных пространств над группой петель так устроены.

[sasha-br.livejournal.com]

На самом деле, для многих целей достаточно понять "про" без "инд". Например, в такой общности: пусть Х - многообразие, а Y - открытое гладкое подмногообразие. Рассмотрим отображения ис формального (непроколотого) диска в Х, так что общая точка диска попадает в Y. Это схема. Разумного определения D-модулей на ней я не знаю, хотя по многим соображениям оно должно быть.

Другая стандартная ситуация это G((t)), где G - полупростая группа (это уже таки инд).
Там не выполняется твое предположение о гладкости. (на самом деле в интересующем многих случае эти два примера тесно связаны - если хочешь, могу объяснить как).

[posic.livejournal.com]

Миша Ф. рассказал мне сегодня про эти примеры. На самом деле, в первом приближении можно ограничиться проективизацией векторного пространства C((t)), в роли X. Там выполнены все эти предположения гладкости. Ты знаешь разумное (с твоей точки зрения) определение D-модулей на этой инд-схеме?

[sasha-br.livejournal.com]

В этом случае меня вообще устроят D-модули с носителем на подсхеме, а их определить легко. Но и D-модули на всём, я думаю нет проблемы определить - хотя надо подумать, как аккуратно сказать.

[posic.livejournal.com]

Легко -- и как же?

[sasha-br.livejournal.com]

Ну, определяем сначала D-модули на C((t)), потом берем эквивариантные объекты относительно мультипликативной группы и факторизуем по тем, кто имеет носитель в нуле.

[posic.livejournal.com]

Ну хорошо, а на C((t)) как? Да хотя бы над C[[t]] ?

[sasha-br.livejournal.com]

На C[[t]] любой D-модуль поднят с конечномерного фактора (ну, если хочешь можно потом брать индуктивные пределы таких, но это не принципиально).

[posic.livejournal.com]

Ага, и теперь перед тобой встает в полный рост проблема отсутствия функтора глобальных сечений, описанная в заглавном постинге.

[sasha-br.livejournal.com]

Меня как раз глобальные сечения меньше интересуют.

[posic.livejournal.com]

Но мой постинг специально им посвящен.

[sasha-br.livejournal.com]

Я просто хотел сказать, что в интересных ситуациях проблема в первую очередь с самим понятием. К тому же, часто таки надо иметь определение D-модулей, которые не приходят ни в каком смысле с подсхемы (например, эквивариантных относительно про-инд-группы). С этим, возжможно, и в гладком случае проблема будет.

[posic.livejournal.com]

Ну, мне трудно что-либо сказать о проблеме, состоящей в том, что есть одно приблизительно известное мне определение, еще два совсем неизвестных, но ни одно из трех не подходит. Могу только отметить, что категория D-модулей, в которой каждый объект сидит на подсхеме -- конечно, неправильная категория. Потому что слишком маленькая. Правильная версия ее -- это в которой каждый объект является индуктивным пределом своих подобъектов, сидящих на подсхемах. Позволяет ли это определение иметь эквивариантность относительно инд-про-группы, я с ходу не соображу.

[sasha-br.livejournal.com]

Кстати, почему именно проективизация? Особенной разницы с самим C((t)) я не вижу.

[posic.livejournal.com]

Проективизация не расслаивается со слоями-схемами над инд-схемой инд-конечного типа (и не допускает конечного открытого покрытия такими, которые расслаиваются).

[sasha-br.livejournal.com]

Но можно думать про D-модули на проективном пр-ве через соответствующее векторное.

[posic.livejournal.com]

Интересно, а если вместо проективизации я возьму грассманиан подпространств фиксированной конечной размерности k в C((t)) ?

[sasha-br.livejournal.com]

То же самое в принципе применимо, по-моему. Как только ты можешь представить свой X, как фактор открытого подмножестава в Тейтовом пр-ве по сводбодному действию конечномерной группы - всё, приехали.

[posic.livejournal.com]

Видимо, да, ты прав. Но нет, я не употребляю конструкций такой степени искусственности.

[posic.livejournal.com]

Это другая проблема, с которой нужно разбираться отдельно. Она даже не имеет прямого отношения к бесконечномерности. Конечномерные негладкие схемы тоже важны. Очевидно, дерамовский подход к D-модулям должен как-то их включать. Очевидно, нужно иметь что-то получше банального заклинания "вложим (локально) в гладкую схему". Очевидно, что-то на эту тему известно науке. Когда-нибудь я в это дело вникну, но пока еще не.

Что не очевидно -- так это то, что проблема, как ты ее формулируешь, доживет до момента, когда мой постинг будет дописан и внимательно прочитан. В конце концов, если инд-схема формально гладкая, то на ней, наверное, живет ее собственный комплекс де Рама...

[sasha-br.livejournal.com]

Сделать последнее аккуратно было бы очень интересно. Ещё раз - пример G((t)) покрывает всё что, скажем, мне надо. Там нет проблемы определить D-модули с носителем на подсхеме, но на практике нужно, чтобы скажем были D-модули, эквивариантные относительно какой-нибудь подгруппы (типа H((t)), где H подгруппа в G). На самом деле там есть два определения такого понятия и функтор между ними, но правильное понятие где-то посередине (типа как продолжение по Горески-Макферсону лежит между продолжениями нулем и звездочкой).

Интересных примеров, представимых в виде предела гладких схем, по-моему, нет (я не знаю).

[sasha-br.livejournal.com]

Кстати, в случае конечномерных гладких схем (недерамовское) определение есть - есть вариант кристаллов, который дает правильную категорию.

[posic.livejournal.com]

Негладких схем, ты, наверное, хотел сказать. Вот-вот. Осталось перевести на дерамовский язык эти, как там их, !-кристаллы или что. Не пройдет и N+1 лет, как я начну об этом думать (если буду жив).

[sasha-br.livejournal.com]

Ну да, негладких. Но мне кажется, что в бесконечномерном случае другие существенные проблемы.