![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть X -- инд-схема, представимая направленной индуктивной системой спектров локальных артиновых колец Aα и их замкнутых вложений, и пусть Y -- инд-схема, представимая направленной индуктивной системой плоских схем Yα над Spec Aα и их замкнутых вложений, образующих декартовы квадраты с морфизмами Spec Aβ → Spec Aα. Зафиксируем какую-нибудь инъективную оболочку E единственного неприводимого объекта в категории квазикогерентных пучков кручения на X. В этой ситуации, хотелось бы определить не точный ни слева, ни справа функтор полутензорного произведения (относительно X) квазикогерентных пучков кручения на Y.
Заметим, что подлежащие топологические пространства всех схем Yα совпадают, и открытое подмножество этого топологического пространства соответствует аффинной открытой подсхеме во всех Yα одновременно (см. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", упр. III.3.1, EGA II Thm. 5.2.1 (критерий аффинности Серра), EGA III Thm. 1.3.1 (когомологии аффинных схем). Поэтому достаточно определить искомый функтор в случае инд-аффинной инд-схемы Y таким образом, чтобы он был согласован с ограничениями на (главные) аффинные открытые подсхемы.
Рассмотрим сначала случай, когда все кольца Aα являются конечномерными алгебрами над полем k. Тогда квазикогерентные пучки кручения на X -- это то же самое, что комодули над прямым пределом C коалгебр Homk(Aα,k) над k, и за E можно взять саму коалгебру C. В этом случае, согласно http://posic.livejournal.com/939189.html , с Y можно связать полуалгебру S над коалгеброй C; при этом категория квазикогерентных пучков кручения на Y эквивалентна категории S-полумодулей. Искомый функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y есть просто полутензорное произведение полумодулей над S (производящее в данном случае из двух полумодулей над S третий -- видимо, ввиду полукоммутативности S).
В неаффинной ситуации над полем, на Y появляется пучок полуалгебр S, являющийся квазикогерентным пучком кручения. Функтор локализации по элементу структурного пучка, будучи точным, коммутирует с полутензорными произведениями.
В общем случае на категории квазикогерентных пучков кручения на X имеется функтор котензорного произведения (см. 1202.2697, раздел 1.9, ср. http://posic.livejournal.com/938974.html ). Если Y инд-аффинна, то тензорное произведение E⊗O(X)O(Y) (понимаемое как прямой предел по α тензорных произведений E(α)⊗AαO(Yα), где E(α) обозначает максимальный подпучок в E, сосредоточенный на Spec Aα -- !-ограничение) является (полу)алгеброй в этой тензорной категории. Категория квазикогерентных пучков на Y должна описываться как категория полумодулей над этой полуалгеброй, и отсюда функтор полутензорного произведения.
Заметим, что подлежащие топологические пространства всех схем Yα совпадают, и открытое подмножество этого топологического пространства соответствует аффинной открытой подсхеме во всех Yα одновременно (см. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", упр. III.3.1, EGA II Thm. 5.2.1 (критерий аффинности Серра), EGA III Thm. 1.3.1 (когомологии аффинных схем). Поэтому достаточно определить искомый функтор в случае инд-аффинной инд-схемы Y таким образом, чтобы он был согласован с ограничениями на (главные) аффинные открытые подсхемы.
Рассмотрим сначала случай, когда все кольца Aα являются конечномерными алгебрами над полем k. Тогда квазикогерентные пучки кручения на X -- это то же самое, что комодули над прямым пределом C коалгебр Homk(Aα,k) над k, и за E можно взять саму коалгебру C. В этом случае, согласно http://posic.livejournal.com/939189.html , с Y можно связать полуалгебру S над коалгеброй C; при этом категория квазикогерентных пучков кручения на Y эквивалентна категории S-полумодулей. Искомый функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y есть просто полутензорное произведение полумодулей над S (производящее в данном случае из двух полумодулей над S третий -- видимо, ввиду полукоммутативности S).
В неаффинной ситуации над полем, на Y появляется пучок полуалгебр S, являющийся квазикогерентным пучком кручения. Функтор локализации по элементу структурного пучка, будучи точным, коммутирует с полутензорными произведениями.
В общем случае на категории квазикогерентных пучков кручения на X имеется функтор котензорного произведения (см. 1202.2697, раздел 1.9, ср. http://posic.livejournal.com/938974.html ). Если Y инд-аффинна, то тензорное произведение E⊗O(X)O(Y) (понимаемое как прямой предел по α тензорных произведений E(α)⊗AαO(Yα), где E(α) обозначает максимальный подпучок в E, сосредоточенный на Spec Aα -- !-ограничение) является (полу)алгеброй в этой тензорной категории. Категория квазикогерентных пучков на Y должна описываться как категория полумодулей над этой полуалгеброй, и отсюда функтор полутензорного произведения.
