posic

Лемма. Носитель ненулевого очень плоского модуля над коммутативным кольцом R без нильпотентных элементов содержит непустое открытое подмножество в Spec R.

Доказательство. Пусть очень плоский модуль F над R является прямым слагаемым трансфинитно итерированного расширения M = ∪_α M_α модулей вида R[s⁻¹]. В частности, F является R-подмодулем в M; рассмотрим самое меньшее α, для которого F пересекается с M_α внутри M и обозначим через G это пересечение. Тогда G является ненулевым R-подмодулем одновременно в F и в R[s⁻¹] для некоторого s∈R.

Следовательно, G[s⁻¹] является ненулевым идеалом в кольце R[s⁻¹]; при этом носитель R[s⁻¹]-модуля G[s⁻¹] равен пересечению носителя R-модуля G со Spec R[s⁻¹] ⊂ Spec R. Ввиду точности справа функтора тензорного произведения, носитель R[s⁻¹]-модуля G[s⁻¹] (а следовательно, и R-модуля G) содержит дополнение V(s,G) к носителю R[s⁻¹]-фактормодуля R[s⁻¹]/G[s⁻¹] в Spec R[s⁻¹]. Последний есть замкнутое подмножество, соответствующее идеалу G[s⁻¹] ⊂ R[s⁻¹]; если в R нет нильпотентов, открытое подмножество V(s,G) ⊂ Spec R[s⁻¹] непусто.

Покажем, что носитель F содержит V(s,G). Пусть p ∈ V(s,G) ⊂ Spec R -- простой идеал в R и k_p -- его поле вычетов. Тогда отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R R[s⁻¹] = k_p сюръективно согласно рассуждениям выше, отображение k_p ⊗_R M_α → k_p ⊗_R M инъективно ввиду плоскости M/M_α, и отображение k_p ⊗_R F → k_p ⊗_R M инъективно, поскольку F является прямым слагаемым в M [это наблюдение мы, кажется, не используем]. Наконец, композиция G → F → M и отображение G → R[s⁻¹] факторизуются через одно и то же отображение G → M_α.

Теперь из коммутативности диаграммы G → M_α → R[s⁻¹] следует, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R M_α ненулевое, из диаграммы G → M_α → M видно, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R M ненулевое, и из коммутативности диаграммы G → F → M следует, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R F ненулевое. Лемма доказана.

Следствие. Пусть F -- очень плоский модуль над кольцом R и Z -- замкнутое подмножество в Spec R. Тогда если носитель F в Spec R пересекается с Z, то он содержит непустое открытое подмножество в Z.

Доказательство: снабдим Z структурой приведенной замкнутой подсхемы в Spec R и положим S = O(Z). Тогда пересечение Z ∩ Supp F совпадает с носителем модуля S ⊗_R F в Spec S = Z ⊂ Spec R. Заметим, что S-модуль S ⊗_R F очень плоский. Теперь если S ⊗_R F = 0 равен нулю, то пересечение Z ∩ Supp F пусто, а в противном случае оно содержит непустое открытое подмножество в Spec S согласно лемме выше.

Замечание: из рассуждения выше видно, что в лемме можно заменить условие отсутствия нильпотентов в кольце R на условие незануления тензорного произведения F на факторкольцо S кольца R по его нильрадикалу. В частности, это условие автоматически выполнено, если нильрадикал R нильпотентен (как идеал), что включает все нетеровы кольца R. С другой стороны, нетрудно привести пример плоского модуля над коммутативным кольцом R, аннулируемого приведением по модулю нильрадикала. Достаточно взять за R кольцо многочленов от x, x^1/2, x^1/4, ... над полем k = S, с соотношениями x^r = 0 если r > 1, а за F -- нильрадикал ("идеал аугментации") в R. Модуль F над R плоский, поскольку он является прямым пределом свободных R-модулей x^1/2ⁿ ⊗ R при возрастающих n.

Доказательство теоремы 2 из предыдущего постинга: пусть F -- очень плоский R-модуль. Обозначим через Z замыкание дополнения к Supp F в Spec R. Тогда, по определению, Supp F содержит дополнение к Z в Spec R, и в Z нет открытых подмножеств, содержащихся в Supp F. Согласно следствию выше, из последнего наблюдения следует, что Supp F не пересекается с Z, т.е., Supp F есть дополнение к замкнутому множеству Z в Spec R.