Математика: гипотезы о группах Галуа
Sep. 21st, 2003 12:25 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ продолжение записи полуторагодичной давности -- http://www.livejournal.com/users/posic/30200.html
Две открытые классические проблемы теории Галуа числовых полей: обратная задача теории Галуа и гипотеза Шафаревича. Первая состоит в том, чтобы реализовать произвольную конечную группу в качестве группы Галуа какого-то расширения поля рациональных чисел (или, чуть более общо, в качестве группы Галуа какого-то расширения наперед заданного конечного числового поля). Вторая утверждает, что коммутант группы Галуа поля Q (или любого конечного числового поля) является свободной проконечной группой.
Мне интересны группы Галуа произвольных полей. Ниже обсуждаются возможные обобщения этих двух гипотез и другие задачи про поля с трансцендентными образующими.
Прежде всего следует заметить, что как обратная задача, так и гипотеза Шафаревича являются частными случаями задачи погружения в собственном смысле (т.е., в классе полей). Это значит, что для поля F, его расширения E с группой Галуа G и группы G', сюръективно отображающейся в G, нужно построить расширение M поля E с группой Галуа G' над F. Несобственная задача погружения требует только, чтобы группа Галуа M над F вкладывалась в G' согласованным образом с проекциями обеих групп в G.
Гипотеза Шафаревича эквивалентна утверждению, что задача погружения всегда разрешима над Q^ab. Естественным обобщением гипотезы Шафаревича на произвольные поля является гипотеза Фрида-Фёлькляйна: все задачи погружения над сепарабельно-гильбертовым полем разрешимы, если все они разрешимы в несобственном смысле (см. старую запись по ссылке).
Имеется очень сильное и очень трудное, по-видимому, высказывание про произвольные поля, влекущее КАК гипотезу Фрида-Фёлькляйна, ТАК и разрешимость классической обратной задачи. Звучит оно правдоподобно, и контрпримеров к нему я нигде в литературе не видел. Вот оно: для любого расширения Галуа E/F с группой G и любого действия группы G автоморфизмами конечной группы H расщепимая задача погружения, связанная с полупрямым произведением G на H, имеет параметрическое решение над F. Это значит, что найдется расширение поля E(x_1,...,x_n) с группой Галуа H, при котором поле E алгебраически не расширяется, и группа Галуа которого над F(x_1,...,x_n) равна искомому полупрямому произведению. Одного трансцендентного параметра (n=1) должно быть достаточно, и условие регулярности (что поле E алгебраически не расширяется) здесь не является, строго говоря, необходимым.
Дело в том, что 1. чтобы решить задачу погружения, достаточно сначала решить ее в несобственном смысле, а потом решить в собственном смысле некоторую другую задачу погружения, расщепимую и с тем же ядром; и 2. над гильбертовым полем параметрические решения специализируются в настоящие.
Трудность этого утверждения -- т.е., расщепимой задачи погружения -- в том, что ее нельзя решить прямолинейным развинчиванием ядра на простые кусочки, поскольку сами эти кусочки внутри ядра могут быть сцеплены между собой не-полупрямым образом. Поэтому, в отличие от гипотез Шафаревича и Фрида-Фёлькляйна, обратная задача теории Галуа не сводится к простым группам, и в этом смысле она труднее и интереснее их. Например, теорема Шафаревича о реализации разрешимых групп над конечными числовыми полями (на самом деле -- о разрешимости расщепимых задач погружения с нильпотентными ядрами над конечными числовыми полями) очень трудная, а гипотезу Шафаревича в части разрешимых групп доказать очень легко. (Поскольку для расщепимой задачи погружения с абелевым ядром параметрические решения над любым полем легко строятся методом wreath-product'ов.)
Известно, что расщепимая задача погружения с бесконечным ядром разрешима далеко не всегда и к конечным ядрам не сводится. Например, группа Z_p+Z_p не является группой Галуа над полем рациональных чисел, хотя любая ее собственная факторгруппа является (как сразу видно из теоремы Кронекера-Вебера). Сводится ли несобственная задача погружения к конечным ядрам, я не знаю.
Вот еще любопытный момент. Свободность группы Галуа эквивалентна существованию решений любой нетривиальной конечной задачи погружения в числе, равном мощности множества образующих группы (если эта мощность бесконечна). Поэтому разрешимость задач погружения влечет свободность группы Галуа для счетных полей, но не для других. Нельзя ли придумать какое-нибудь усиление свойства гильбертовости, которое правильным образом учитывало бы мощность поля? Судя по тому, что этого до сих пор не сделали, не исключено, что тут есть какая-то нетривиальность.
Дальше речь идет о несобственной задаче погружения, которая для меня интереснее всего вышеописанного, поскольку имеет гомологическую природу. Тут имеются, как минимум, два ряда вопросов:
(1) Какие задачи погружения разрешимы над всеми полями (или над всеми полями, содержащими какое-то базовое поле вроде поля корней из единицы или поля алгебраических чисел и т.п.)?
Известно, что нерасщепимые точные тройки конечных групп, для которых отображение из абсолютной группы Галуа ЛЮБОГО поля в факторгруппу поднимается до отображения в среднюю группу, существуют. Есть статья Лурье в "Трудах ПОМИ" 90-го года, где он утверждает, что любая конечная группа, кроме Z/2, может быть факторгруппой в такой точной тройке. Дальше он доказывает, что нечетные циклические группы не могут быть в таких точных тройках ядрами.
Некоторый общий способ получения нерасщепимых, но Галуа-расщепимых точных троек конечных групп был обнаружен Матцатом (в середине 80-х) в процессе деятельности, направленной к доказательству гипотезы Шафаревича. Эта штуковина известна под названием "GAL-реализаций" (от слов Geometric, Automorphisms, Linear). Матцат и Фёльклейн рассматривают их только для точных троек с ядрами, не имеющими центра (и по большей части -- простыми группами), но эти ограничения совершенно излишни, как я тут недавно сообразил.
(2) Над какими полями все задачи погружения несобственно разрешимы? Это сюжет про обобщенную гипотезу Богомолова.
(To be continued)
Две открытые классические проблемы теории Галуа числовых полей: обратная задача теории Галуа и гипотеза Шафаревича. Первая состоит в том, чтобы реализовать произвольную конечную группу в качестве группы Галуа какого-то расширения поля рациональных чисел (или, чуть более общо, в качестве группы Галуа какого-то расширения наперед заданного конечного числового поля). Вторая утверждает, что коммутант группы Галуа поля Q (или любого конечного числового поля) является свободной проконечной группой.
Мне интересны группы Галуа произвольных полей. Ниже обсуждаются возможные обобщения этих двух гипотез и другие задачи про поля с трансцендентными образующими.
Прежде всего следует заметить, что как обратная задача, так и гипотеза Шафаревича являются частными случаями задачи погружения в собственном смысле (т.е., в классе полей). Это значит, что для поля F, его расширения E с группой Галуа G и группы G', сюръективно отображающейся в G, нужно построить расширение M поля E с группой Галуа G' над F. Несобственная задача погружения требует только, чтобы группа Галуа M над F вкладывалась в G' согласованным образом с проекциями обеих групп в G.
Гипотеза Шафаревича эквивалентна утверждению, что задача погружения всегда разрешима над Q^ab. Естественным обобщением гипотезы Шафаревича на произвольные поля является гипотеза Фрида-Фёлькляйна: все задачи погружения над сепарабельно-гильбертовым полем разрешимы, если все они разрешимы в несобственном смысле (см. старую запись по ссылке).
Имеется очень сильное и очень трудное, по-видимому, высказывание про произвольные поля, влекущее КАК гипотезу Фрида-Фёлькляйна, ТАК и разрешимость классической обратной задачи. Звучит оно правдоподобно, и контрпримеров к нему я нигде в литературе не видел. Вот оно: для любого расширения Галуа E/F с группой G и любого действия группы G автоморфизмами конечной группы H расщепимая задача погружения, связанная с полупрямым произведением G на H, имеет параметрическое решение над F. Это значит, что найдется расширение поля E(x_1,...,x_n) с группой Галуа H, при котором поле E алгебраически не расширяется, и группа Галуа которого над F(x_1,...,x_n) равна искомому полупрямому произведению. Одного трансцендентного параметра (n=1) должно быть достаточно, и условие регулярности (что поле E алгебраически не расширяется) здесь не является, строго говоря, необходимым.
Дело в том, что 1. чтобы решить задачу погружения, достаточно сначала решить ее в несобственном смысле, а потом решить в собственном смысле некоторую другую задачу погружения, расщепимую и с тем же ядром; и 2. над гильбертовым полем параметрические решения специализируются в настоящие.
Трудность этого утверждения -- т.е., расщепимой задачи погружения -- в том, что ее нельзя решить прямолинейным развинчиванием ядра на простые кусочки, поскольку сами эти кусочки внутри ядра могут быть сцеплены между собой не-полупрямым образом. Поэтому, в отличие от гипотез Шафаревича и Фрида-Фёлькляйна, обратная задача теории Галуа не сводится к простым группам, и в этом смысле она труднее и интереснее их. Например, теорема Шафаревича о реализации разрешимых групп над конечными числовыми полями (на самом деле -- о разрешимости расщепимых задач погружения с нильпотентными ядрами над конечными числовыми полями) очень трудная, а гипотезу Шафаревича в части разрешимых групп доказать очень легко. (Поскольку для расщепимой задачи погружения с абелевым ядром параметрические решения над любым полем легко строятся методом wreath-product'ов.)
Известно, что расщепимая задача погружения с бесконечным ядром разрешима далеко не всегда и к конечным ядрам не сводится. Например, группа Z_p+Z_p не является группой Галуа над полем рациональных чисел, хотя любая ее собственная факторгруппа является (как сразу видно из теоремы Кронекера-Вебера). Сводится ли несобственная задача погружения к конечным ядрам, я не знаю.
Вот еще любопытный момент. Свободность группы Галуа эквивалентна существованию решений любой нетривиальной конечной задачи погружения в числе, равном мощности множества образующих группы (если эта мощность бесконечна). Поэтому разрешимость задач погружения влечет свободность группы Галуа для счетных полей, но не для других. Нельзя ли придумать какое-нибудь усиление свойства гильбертовости, которое правильным образом учитывало бы мощность поля? Судя по тому, что этого до сих пор не сделали, не исключено, что тут есть какая-то нетривиальность.
Дальше речь идет о несобственной задаче погружения, которая для меня интереснее всего вышеописанного, поскольку имеет гомологическую природу. Тут имеются, как минимум, два ряда вопросов:
(1) Какие задачи погружения разрешимы над всеми полями (или над всеми полями, содержащими какое-то базовое поле вроде поля корней из единицы или поля алгебраических чисел и т.п.)?
Известно, что нерасщепимые точные тройки конечных групп, для которых отображение из абсолютной группы Галуа ЛЮБОГО поля в факторгруппу поднимается до отображения в среднюю группу, существуют. Есть статья Лурье в "Трудах ПОМИ" 90-го года, где он утверждает, что любая конечная группа, кроме Z/2, может быть факторгруппой в такой точной тройке. Дальше он доказывает, что нечетные циклические группы не могут быть в таких точных тройках ядрами.
Некоторый общий способ получения нерасщепимых, но Галуа-расщепимых точных троек конечных групп был обнаружен Матцатом (в середине 80-х) в процессе деятельности, направленной к доказательству гипотезы Шафаревича. Эта штуковина известна под названием "GAL-реализаций" (от слов Geometric, Automorphisms, Linear). Матцат и Фёльклейн рассматривают их только для точных троек с ядрами, не имеющими центра (и по большей части -- простыми группами), но эти ограничения совершенно излишни, как я тут недавно сообразил.
(2) Над какими полями все задачи погружения несобственно разрешимы? Это сюжет про обобщенную гипотезу Богомолова.
(To be continued)
