Математика: коалгебры Ли
Apr. 16th, 2003 03:25 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicотличаются тем, что многие естественные утверждения про них неверны. Точнее сказать, неверны все аналоги известных утверждений про универсальные обертывающие алгебры алгебр Ли. Можно определить коассоциативную кообертывающую коалгебру, но категория комодулей над ней не будет совпадать с категорией комодулей над исходной коалгеброй Ли. В первой категории меньше объектов, чем во второй: комодулями над коассоциативной кообертывающей являются ровно все комодули над коалгеброй Ли, являющиеся объединениями своих конечномерных подкомодулей. Отсюда видно, что пространства Ext, посчитанные в этих категориях, тоже отличаются, -- уже для конечномерной коалгебры Ли, двойственной к полупростой алгебре Ли, они разные.
Наконец, для бесконечномерной коалгебры Ли кообертывающая коассоциативная коалгебра может быть просто тривиальной (т.е., равной основному полю). Пример: возьмем алгебру Ли векторных полей на формальном одномерном диске, k[[t]]d/dt. Это топологическое векторное пространство с про-конечномерной топологией, снабженное непрерывной структурой алгебры Ли. Поэтому это двойственное пространство к некоторому дискретному векторному пространству со структурой коалгебры Ли. Комодули над этой коалгеброй Ли суть дискретные (т.е., непрерывные в своей дискретной топологии) модули над топологической алгеброй Ли k[[t]]d/dt. Поскольку алгебра Ли векторных полей проста, все такие модули (кроме модулей с тривиальным действием) бесконечномерны.
Первый вывод из этих контрпримеров такой: кообертывающие коалгебры имеет смысл рассматривать только для таких коалгебр Ли, которые являются объединениями своих конечномерных подкоалгебр, двойственных к нильпотентным алгебрам Ли. Это условие гарантирует совпадение когомологий в категориях комодулей над коалгеброй Ли и над ее кообертывающей (хотя сами эти категории все равно отличаются, конечно). Более того, для таких коалгебр Ли имеет смысл рассматривать специальную "конильпотентную кообертывающую коалгебру", описывающую только локально-нильпотентные представления.
До сих пор я думал, что на этом выводе вся наша история и исчерпывается. Но на самом деле есть еще один очень естественный вопрос. Не изоморфны ли когомологии, посчитанные в категории комодулей над произвольной коалгеброй Ли, когомологиям стандартного комплекса Шевалле этой коалгебры Ли? Похоже, что ответ скорее положительный, но доказательства я сейчас не вижу. (В этой связи: рассмотрим забывающий функтор из категории комодулей над коалгеброй Ли в векторные пространства. Мне кажется, что у этого функтора мог бы существовать правый сопряженный. Как его описать?)
Наконец, для бесконечномерной коалгебры Ли кообертывающая коассоциативная коалгебра может быть просто тривиальной (т.е., равной основному полю). Пример: возьмем алгебру Ли векторных полей на формальном одномерном диске, k[[t]]d/dt. Это топологическое векторное пространство с про-конечномерной топологией, снабженное непрерывной структурой алгебры Ли. Поэтому это двойственное пространство к некоторому дискретному векторному пространству со структурой коалгебры Ли. Комодули над этой коалгеброй Ли суть дискретные (т.е., непрерывные в своей дискретной топологии) модули над топологической алгеброй Ли k[[t]]d/dt. Поскольку алгебра Ли векторных полей проста, все такие модули (кроме модулей с тривиальным действием) бесконечномерны.
Первый вывод из этих контрпримеров такой: кообертывающие коалгебры имеет смысл рассматривать только для таких коалгебр Ли, которые являются объединениями своих конечномерных подкоалгебр, двойственных к нильпотентным алгебрам Ли. Это условие гарантирует совпадение когомологий в категориях комодулей над коалгеброй Ли и над ее кообертывающей (хотя сами эти категории все равно отличаются, конечно). Более того, для таких коалгебр Ли имеет смысл рассматривать специальную "конильпотентную кообертывающую коалгебру", описывающую только локально-нильпотентные представления.
До сих пор я думал, что на этом выводе вся наша история и исчерпывается. Но на самом деле есть еще один очень естественный вопрос. Не изоморфны ли когомологии, посчитанные в категории комодулей над произвольной коалгеброй Ли, когомологиям стандартного комплекса Шевалле этой коалгебры Ли? Похоже, что ответ скорее положительный, но доказательства я сейчас не вижу. (В этой связи: рассмотрим забывающий функтор из категории комодулей над коалгеброй Ли в векторные пространства. Мне кажется, что у этого функтора мог бы существовать правый сопряженный. Как его описать?)
