Список задач по теории колец и модулей

[posic]

Придуман сходу навскидку для Даши К., которая после перерыва снова мне написала и попросила задач.

Все кольца предполагаются ассоциативными с единицей, все модули и бимодули унитальные. R-S-бимодуль -- это группа с коммутирующими структурами левого R-модуля и правого S-модуля.

1. Пусть M -- правый R-модуль. Покажите, что M является плоским R-модулем тогда и только тогда, когда левый R-модуль Hom_Z(M,Q/Z) инъективен. Здесь Z -- кольцо целых чисел, Q -- абелева группа рациональных чисел (по сложению).

2. Пусть F -- R-S-бимодуль, а G -- S-T-бимодуль (где R, S, и T -- три кольца). Предположим, что F -- плоский левый R-модуль, а G -- плоский левый S-модуль. Покажите, что тензорное произведение F \otimes_S G -- плоский левый R-модуль.

3. Пусть M -- R-S-бимодуль, а N -- S-T-бимодуль. Предположим, что M -- конечно-порожденный проективный левый R-модуль, а N -- конечно-порожденный проективный левый S-модуль. Постройте естественный изоморфизм T-R-бимодулей

Hom_R(M\otimes_S N, R) = Hom_S(N,S) \otimes_S Hom_R(M,R).

4. R-модуль называется конечно-представимым, если он изоморфен коядру гомоморфизма из одного конечно-порожденного проективного R-модуля в другой конечно-порожденный проективный R-модуль. Покажите, что ядро любого сюръективного гомоморфизма из конечно-порожденного R-модуля в конечно-представимый является конечно-порожденным R-модулем.

5. Пусть M -- конечно-представимый левый R-модуль, N -- R-S-бимодуль, F -- плоский левый S-модуль. Постройте естественный изоморфизм абелевых групп

Hom_R(M, N \otimes_S F) = \Hom_R(M,N) \otimes_S F.

6. Пусть M -- конечно-представимый правый S-модуль, N -- R-S-бимодуль, J -- инъективный левый R-модуль. Постройте естественный изоморфизм абелевых групп

Hom_R(Hom_S(M,N), J) = M \otimes_S \Hom_R(N,J)

7. Кольцо R называется нетеровым слева, если всякий подмодуль конечно-порожденного левого R-модуля конечно-порожден. Покажите, что кольцо R является нетеровым слева тогда и только тогда, когда прямая сумма любого семейства инъективных левых R-модулей -- инъективный левый R-модуль.

8. Кольцо S называется когерентным справа, если всякий конечно-порожденный подмодуль конечно-представимого правого S-модуля конечно-представим. Покажите, что кольцо S является когерентным справа тогда и только тогда, когда прямое произведение любого семейства плоских левых S-модулей -- плоский левый S-модуль.

9. Пусть R -- нетерово слева кольцо, J -- R-S-бимодуль, F -- левый S-модуль. Предположим, что левый R-модуль J инъективен, а S-модуль F плоский. Покажите, что левый R-модуль J \otimes_S F инъективен.

10. Пусть S -- когерентное справа кольцо, J -- R-S-бимодуль, K -- левый R-модуль. Предположим, что правый S-модуль J инъективен, и что R-модуль K инъективен. Покажите, что левый S-модуль Hom_R(J,K) является плоским.

11. Покажите, что следующие кольца когерентны, но не нетеровы:
а) кольцо многочленов с коэффициентами в поле k от бесконечного числа коммутирующих переменных x_1, x_2, x_3, ...
б) свободная ассоциативная алгебра над полем k, порожденная двумя (некоммутирующими) переменными x, y.

Comments

[posic.livejournal.com]

К этому списку задач можно поставить метазадачу (для знатоков). Угадайте: какая задача пропущена в списке? (Сам не знаю, зачем я ее пропустил -- то ли поленился набивать, то ли чтобы использовать как легкую добавку/подсказку.)

Вот предполагаемый ответ к метазадаче. Пропущена задача

2а. Пусть F -- R-S-бимодуль, а J -- R-T-бимодуль. Предположим, что F -- плоский правый S-модуль, а J -- инъективный левый R-модуль. Покажите, что Hom_R(F,J) -- инъективный левый S-модуль.

[posic.livejournal.com]

https://www.facebook.com/posic/posts/4724532110894919