![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- коммутативное кольцо, A -- некоммутативное, и R → A -- гомоморфизм колец, удовлетворяющий нижеследующему условию (это называется, что A -- дифференциальный бимодуль или, в моей новой терминологии, "квази-алгебра" над R). Требуется, чтобы для любых элементов r из R и a из A существовало натуральное n, такое что последовательность элементов b0 = a, bi+1 = rbi − bir обращается в ноль начиная с номера n, т.е., bn = 0.
Следующее далее с большой вероятностью является слабеньким следствием результатов из работы Рено-Грюзон, но я туда пока еще по этому поводу не заглядывал, а повозился немножко сам, и вот что получилось.
Утверждение: пусть М -- левый R-модуль, такой что для любого простого идеала p из R локализация (p)M модуля M в точке p является плоским модулем над некоммутативным кольцом (p)A = A(p), или, что все равно, над некоммутативным кольцом A. Тогда и сам модуль M является плоским A-модулем.
Доказательство: основным нашим инструментом является точная последовательность Чеха. Для разминки, докажем сначала, что если fi -- (конечный) набор элементов кольца R, такой что спектр R является объединением спектров его локализаций по элементам fi (т.е. попросту элементы fi порождают единичный идеал в R), и локализация M по каждому из элементов fi является плоским A-модулем, то и сам M является плоским A-модулем.
Точная последовательность Чеха имеет вид
0 → M → ⊕i [fi−1]M → ⊕i < j [fi−1,fj−1]M → … → 0.
Очевидно, локализация сохраняет плоскость. Если все нетривиальные члены, кроме самого левого, плоские, то и самый левый член тоже плоский. С разминкой мы справились.
Пусть теперь N → K -- инъективный гомоморфизм правых A-модулей; мы хотим показать, что гомоморфизм абелевых групп N⊗AM → K⊗AM инъективен. Для любого простого идеала p в R этот гомоморфизм отображается в гомоморфизм N⊗A (p)M → K⊗A (p)M, который инъективен по нашему предположению. Поэтому достаточно проверить, что гомоморфизмы N⊗AM → N⊗A (p)M совокупно инъективны.
Допустим, некий элемент x из N⊗AM аннулируется всеми этими гомоморфизмами. Группа N⊗A (p)M является прямым пределом групп N⊗A [f−1]M по всем элементам f из R, не принадлежащим p. Поэтому (и ввиду компактности спектра) найдется конечный набор элементов fi в R, не содержащийся ни в каком простом идеале, такой что наш элемент x переходит в нулевые элементы при отображениях N⊗AM во все N⊗A [fi−1]M.
Рассмотрим точную последовательность Чеха выше; пусть Z1 обозначает ее первый модуль коциклов=кограниц (образ самой левой стрелки, не являющейся заведомо вложением. Тогда элемент x приходит при граничном отображении из некоторого элемента x1 группы TorA1(N,Z1). Рассмотрим образ у1 элемента x1 в группе TorA1(N,С2), где C2 -- третий слева нетривиальный член точной последовательности Чеха.
Поскольку TorA1(N, (p)M) = 0 для всех p и функтор Tor1 тоже коммутирует с прямыми пределами, ... [Что, собственно? Проблема в том, что происходит с пересечениями при измельчении исходного покрытия. Плюс еще другая проблема, что при измельчении покрытия последовательность будет становиться все длиннее, так что процесс расходится.]
Следующее далее с большой вероятностью является слабеньким следствием результатов из работы Рено-Грюзон, но я туда пока еще по этому поводу не заглядывал, а повозился немножко сам, и вот что получилось.
Утверждение: пусть М -- левый R-модуль, такой что для любого простого идеала p из R локализация (p)M модуля M в точке p является плоским модулем над некоммутативным кольцом (p)A = A(p), или, что все равно, над некоммутативным кольцом A. Тогда и сам модуль M является плоским A-модулем.
Доказательство: основным нашим инструментом является точная последовательность Чеха. Для разминки, докажем сначала, что если fi -- (конечный) набор элементов кольца R, такой что спектр R является объединением спектров его локализаций по элементам fi (т.е. попросту элементы fi порождают единичный идеал в R), и локализация M по каждому из элементов fi является плоским A-модулем, то и сам M является плоским A-модулем.
Точная последовательность Чеха имеет вид
0 → M → ⊕i [fi−1]M → ⊕i < j [fi−1,fj−1]M → … → 0.
Очевидно, локализация сохраняет плоскость. Если все нетривиальные члены, кроме самого левого, плоские, то и самый левый член тоже плоский. С разминкой мы справились.
Пусть теперь N → K -- инъективный гомоморфизм правых A-модулей; мы хотим показать, что гомоморфизм абелевых групп N⊗AM → K⊗AM инъективен. Для любого простого идеала p в R этот гомоморфизм отображается в гомоморфизм N⊗A (p)M → K⊗A (p)M, который инъективен по нашему предположению. Поэтому достаточно проверить, что гомоморфизмы N⊗AM → N⊗A (p)M совокупно инъективны.
Допустим, некий элемент x из N⊗AM аннулируется всеми этими гомоморфизмами. Группа N⊗A (p)M является прямым пределом групп N⊗A [f−1]M по всем элементам f из R, не принадлежащим p. Поэтому (и ввиду компактности спектра) найдется конечный набор элементов fi в R, не содержащийся ни в каком простом идеале, такой что наш элемент x переходит в нулевые элементы при отображениях N⊗AM во все N⊗A [fi−1]M.
Рассмотрим точную последовательность Чеха выше; пусть Z1 обозначает ее первый модуль коциклов=кограниц (образ самой левой стрелки, не являющейся заведомо вложением. Тогда элемент x приходит при граничном отображении из некоторого элемента x1 группы TorA1(N,Z1). Рассмотрим образ у1 элемента x1 в группе TorA1(N,С2), где C2 -- третий слева нетривиальный член точной последовательности Чеха.
Поскольку TorA1(N, (p)M) = 0 для всех p и функтор Tor1 тоже коммутирует с прямыми пределами, ... [Что, собственно? Проблема в том, что происходит с пересечениями при измельчении исходного покрытия. Плюс еще другая проблема, что при измельчении покрытия последовательность будет становиться все длиннее, так что процесс расходится.]
