Еще одна конструкция с CDG-модулями
Aug. 6th, 2011 10:25 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОчевидная совершенно, но, похоже, полезная. Главное, придумать, что нужно придумать такую конструкцию. Это такое развитие конструкции CDG-модуля, свободно порожденного/косвободно копорожденного данным градуированным модулем.
Пусть (B,d,h) -- CDG-алгебра (или пучок CDG-алгебр), M -- CDG-модуль над (B,d,h), K -- градуированный B-модуль, K → M -- сюръективный гомоморфизм градуированных B-модулей. Тогда существует CDG-модуль P над (B,d,h) вместе с сюръективным гомоморфизмом CDG-модулей P → M и сюръективным гомоморфизмом градуированных B-модулей P → K, образующими коммутативный треугольник. При этом если K и подлежащий градуированный B-модуль M принадлежат какой-то точной подкатегории градуированных B-модулей (разумной -- скажем, замкнутой относительно расширений во всех градуированных B-модулях) и K → M -- допустимый эпиморфизм в этой точной категории, то P тоже принадлежит этой точной категории и два других отображения -- тоже допустимые эпиморфизмы.
Полезность такой конструкции очевидна размышлявшему о поведении Ext-ов Ионеды по отношению к функторам, подкатегориям и т.д.; а собственно конструкция очень простая. Как известно, всякому градуированному B-модулю N можно сопоставить свободно порожденный им CDG-модуль G+(N) и косвободно копорожденный CDG-модуль G−(N). Элементы G+(N) суть формальные выражения n' + dn'', а элементы G−(N) суть пары (во что наш элемент переходит в N; во что дифференциал нашего элемента переходит в N). На самом деле G−(N) = G+(N)[1]. Имеются естественные отображения градуированных модулей N → G+(N) и G−(N) → N. Все вместе перечисленные отображения образуют короткую точную последовательность градуированных B-модулей N → G+(N) → N[−1], а если скомпоновать их в другом порядке, получится стягивающая гомотопия G+(N) → G+(N)[−1] ((ко)свободно (ко)порожденные CDG-модули стягиваемы).
Возвращаясь к нашей исходной ситуации, определим G−(K/M) как множество пар элементов в K, образ одного из которых в M равен дифференциалу образа другого. Формально, G−(K/M) есть расслоенное произведение G−(K) и M над G−(M). Здесь отображение M → G−(M) -- не одно из перечисленных выше, а отображение в противоположную сторону к одному из перечисленных выше (сечение); существует оно потому, что M -- CDG-модуль, а не просто градуированный модуль, и является замкнутым морфизмом CDG-модулей.
Пусть (B,d,h) -- CDG-алгебра (или пучок CDG-алгебр), M -- CDG-модуль над (B,d,h), K -- градуированный B-модуль, K → M -- сюръективный гомоморфизм градуированных B-модулей. Тогда существует CDG-модуль P над (B,d,h) вместе с сюръективным гомоморфизмом CDG-модулей P → M и сюръективным гомоморфизмом градуированных B-модулей P → K, образующими коммутативный треугольник. При этом если K и подлежащий градуированный B-модуль M принадлежат какой-то точной подкатегории градуированных B-модулей (разумной -- скажем, замкнутой относительно расширений во всех градуированных B-модулях) и K → M -- допустимый эпиморфизм в этой точной категории, то P тоже принадлежит этой точной категории и два других отображения -- тоже допустимые эпиморфизмы.
Полезность такой конструкции очевидна размышлявшему о поведении Ext-ов Ионеды по отношению к функторам, подкатегориям и т.д.; а собственно конструкция очень простая. Как известно, всякому градуированному B-модулю N можно сопоставить свободно порожденный им CDG-модуль G+(N) и косвободно копорожденный CDG-модуль G−(N). Элементы G+(N) суть формальные выражения n' + dn'', а элементы G−(N) суть пары (во что наш элемент переходит в N; во что дифференциал нашего элемента переходит в N). На самом деле G−(N) = G+(N)[1]. Имеются естественные отображения градуированных модулей N → G+(N) и G−(N) → N. Все вместе перечисленные отображения образуют короткую точную последовательность градуированных B-модулей N → G+(N) → N[−1], а если скомпоновать их в другом порядке, получится стягивающая гомотопия G+(N) → G+(N)[−1] ((ко)свободно (ко)порожденные CDG-модули стягиваемы).
Возвращаясь к нашей исходной ситуации, определим G−(K/M) как множество пар элементов в K, образ одного из которых в M равен дифференциалу образа другого. Формально, G−(K/M) есть расслоенное произведение G−(K) и M над G−(M). Здесь отображение M → G−(M) -- не одно из перечисленных выше, а отображение в противоположную сторону к одному из перечисленных выше (сечение); существует оно потому, что M -- CDG-модуль, а не просто градуированный модуль, и является замкнутым морфизмом CDG-модулей.
