Finite homological dimension theorem
Aug. 5th, 2011 07:28 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКопроизводная категория локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга (на квазикомпактной полуотделимой схеме -- ну или вообще для точной DG-категории конечной гомологической размерности, с точными прямыми суммами) совпадает с их абсолютной производной категорией.
Пора бы уже доказать этот факт, а то его отсутствие мешает. На нынешний момент он известен в предположении наличия в точной категории инъективных объектов -- и вроде по сути инъективные объекты тут мало при чем. И еще отдельно для случая экзотических производных категорий абелевой категории он известен.
P.S. Нужно просто доказать, что для любого морфизма из абсолютно ацикличного объекта A в любой объект X найдется у X конечная правая резольвента (в категории замкнутых морфизмов) 0 → X → Y0 → Y1 → ... → Yd → 0, такая что морфизм из A в тотализацию Y0 → Y1 → ... → Yd стягиваем. При этом d должно быть равномерно ограничено в терминах гомологической размерности категории. Тогда морфизм из A в X факторизуется через тотализацию X → Y0 → Y1 → ... → Yd. В частности, если A = X и морфизм тождественный, А оказывается прямым слагаемым тотализации X → Y0 → Y1 → ... → Yd, т.е., абсолютно ацикличные объекты суть в точности прямые слагаемые тотализаций точных последовательностей длины d в категории замкнутых морфизмов. Отсюда сразу ясно, что класс абсолютно ацикличных объектов замкнут относительно бесконечных прямых сумм.
Пора бы уже доказать этот факт, а то его отсутствие мешает. На нынешний момент он известен в предположении наличия в точной категории инъективных объектов -- и вроде по сути инъективные объекты тут мало при чем. И еще отдельно для случая экзотических производных категорий абелевой категории он известен.
P.S. Нужно просто доказать, что для любого морфизма из абсолютно ацикличного объекта A в любой объект X найдется у X конечная правая резольвента (в категории замкнутых морфизмов) 0 → X → Y0 → Y1 → ... → Yd → 0, такая что морфизм из A в тотализацию Y0 → Y1 → ... → Yd стягиваем. При этом d должно быть равномерно ограничено в терминах гомологической размерности категории. Тогда морфизм из A в X факторизуется через тотализацию X → Y0 → Y1 → ... → Yd. В частности, если A = X и морфизм тождественный, А оказывается прямым слагаемым тотализации X → Y0 → Y1 → ... → Yd, т.е., абсолютно ацикличные объекты суть в точности прямые слагаемые тотализаций точных последовательностей длины d в категории замкнутых морфизмов. Отсюда сразу ясно, что класс абсолютно ацикличных объектов замкнут относительно бесконечных прямых сумм.
