Полубесконечная дерамовская геометрия
Aug. 31st, 2015 05:56 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПростейший пример полубесконечного алгебраического многообразия: расслоение k((z)) → k((z))/k[[z]]. Другими словами, в инд-спектр топологического кольца limn k[a−n,…,a0,a1…] отображается инд-спектр пронетерова топологического кольца limn k[a−n,…,a−1].
Соответствующий морфизм комплексов де Рама: в проективный предел DG-алгебр с мультипликативными образующими a−n, da−n, …, a0, da0, a1, da1, … отображается проективный предел DG-алгебр, натянутых на a−n, da−n, … a−1, da−1.
Связанная с этим полупроизводная категория дискретных DG-модулей над топологической DG-алгеброй де Рама: смесь производной категории в направлении переменных ai и dai с i ≥ 0 и копроизводной категории в направлении переменных aj и daj с j < 0. Формально, факторкатегория категории дискретных DG-модулей над большой топологической DG-алгеброй де Рама по полной подкатегории дискретных DG-модулей, коацикличных над замкнутой подалгеброй переменных с отрицательными номерами.
Полубесконечный комплекс де Рама: единичный объект тензорной структуры на этой полупроизводной категории. Соединение кольца функций от ai, дуализирующего комплекса вдоль по aj, внешней алгебры от dai, и внешней коалгебры от daj*.
Пример немножко тривиальный, поскольку 1. расслоение тривиально, т.е. вся картина разваливается в произведение ситаций на базе и в слое, и 2. комплекс де Рама слоя квазиизоморфен k (в характеристике нуль), поэтому обычная производная категория DG-модулей над ним есть просто производная категория векторных пространств. Менее тривиальные примеры можно получить, заменив плоские пространства на что-нибудь геометрически более интересное (подмногообразие в k((z)), задаваемое каким-нибудь уравнением или набором уравнений, например можно взять для начала что-то вроде бесконечномерной квадрики Res f(z)2 = 0 и т.п.; грассманианы, и т.д.)
Соответствующий морфизм комплексов де Рама: в проективный предел DG-алгебр с мультипликативными образующими a−n, da−n, …, a0, da0, a1, da1, … отображается проективный предел DG-алгебр, натянутых на a−n, da−n, … a−1, da−1.
Связанная с этим полупроизводная категория дискретных DG-модулей над топологической DG-алгеброй де Рама: смесь производной категории в направлении переменных ai и dai с i ≥ 0 и копроизводной категории в направлении переменных aj и daj с j < 0. Формально, факторкатегория категории дискретных DG-модулей над большой топологической DG-алгеброй де Рама по полной подкатегории дискретных DG-модулей, коацикличных над замкнутой подалгеброй переменных с отрицательными номерами.
Полубесконечный комплекс де Рама: единичный объект тензорной структуры на этой полупроизводной категории. Соединение кольца функций от ai, дуализирующего комплекса вдоль по aj, внешней алгебры от dai, и внешней коалгебры от daj*.
Пример немножко тривиальный, поскольку 1. расслоение тривиально, т.е. вся картина разваливается в произведение ситаций на базе и в слое, и 2. комплекс де Рама слоя квазиизоморфен k (в характеристике нуль), поэтому обычная производная категория DG-модулей над ним есть просто производная категория векторных пространств. Менее тривиальные примеры можно получить, заменив плоские пространства на что-нибудь геометрически более интересное (подмногообразие в k((z)), задаваемое каким-нибудь уравнением или набором уравнений, например можно взять для начала что-то вроде бесконечномерной квадрики Res f(z)2 = 0 и т.п.; грассманианы, и т.д.)
