Контрамодульные новости одной строкой

[posic]

1. Всякий контрамодуль над R = lim_n R_n, редукции которого до R_n-модулей -- плоские R_n-модули, является проективным пределом этих редукций. Другими словами, одно из двух условий в моем определении "плоского R-контрамодуля" (появившемся в разделе D.1 февральской 2014 года версии контрагерентного препринта) следует из другого. Доказательство: рассмотреть левые производные функторы функторов редукции, строящиеся с помощью проективных резольвент, и рассуждать как в приложении B к слабо искривленному препринту. Непонятно, как я ухитрился упустить это совершенно стандартное, в контексте моих работ по гомологической алгебре, рассуждение.

2. Поэтому, хотя направленные индуктивные пределы в категории R-контрамодулей (если они не λ-направленные для большого, сравнительно с мощностью базы окрестностей нуля в R, кардинала λ), ведут себя плохо, класс плоских R-контрамодулей они сохраняют.

3. Пользуясь этим и рассуждая как в теореме 2.5 статьи J. Rosicky "On projectivity in locally presentable categories" (с заменой прямых пределов последовательностей на прямые пределы по ординалу большой кофинальности в основном аргументе), можно показать, что в категории R-контрамодулей существуют "плоские покрытия" (в смысле знаменитой flat cover conjecture).

Current mood: не зря съездил в Брно!