Еще раз о контрамодульной лемме Накаямы
Oct. 16th, 2015 06:02 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posichttp://posic.livejournal.com/1227491.html
К предыдущему математическому постингу, к первому пункту его: вспомогательный производный функтор это, конечно, хорошо, но все-таки и без леммы Накаямы никак не обойтись. Подходящей формы ее, между тем, в моих текстах не было до сих пор пока; тут нужно некое обобщение.
Что такое, вообще, лемма Накаямы? В классической теории модулей есть, на самом деле, две ее версии, ни одна из которых не является частным случаем другой: 1. для радикала Джекобсона и конечно-порожденного модуля, и 2. для (конечно) нильпотентного идеала и произвольного модуля. Второй случай настолько прост, что обычно не удостаивается отдельного упоминания; но контрамодульная лемма Накаямы является именно его обобщением.
Пусть R -- ассоциативное кольцо, I -- его (скажем, двусторонний) идеал, такой что In = 0 для некоторого натурального n, и пусть M -- левый R-модуль. Тогда если IM = M, то M = 0. Очевидное доказательство я опущу, но отмечу, что утверждение это допускает не менее очевидное обобщение, которое реже можно увидеть где-либо сформулированным.
Пусть R -- ассоциативное кольцо и I1, …, In -- его (скажем, двусторонние) идеалы, произведение которых I1 … In есть нулевой идеал. Пусть M -- левый R-модуль. Тогда если IiM = M для всех i = 1,…,n, то M = 0.
Контрамодульный вариант этого последнего утверждения -- это то, что нам нужно.
Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть J1, J2, … -- последовательность (скажем, правых и, для простоты, замкнутых) идеалов в R, такая что последовательность правых идеалов J1, J1J2, J1J2J3, … сходится к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы в этой последовательности произведений). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения Jn[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.
Доказательство на этот раз уже отнюдь не тривиально, но писать его здесь я все-таки не буду; оно такое же, как доказательство более привычной формы контрамодульной леммы Накаямы в разделе 1.3 слабо искривленного препринта.
Вместо этого, поступим в духе ЖЖ и дадим ссылку на радостный постинг июня 2006 года, возвестивший миру об открытии первой сформулированной в разумной общности версии леммы Накаямы для контрамодулей (тогда еще только над коалгебрами над полями) -- http://posic.livejournal.com/191812.html
А вот, кстати, постинг сентября 2003 года (12 лет назад!) о контрамодулях над целыми p-адическими числами, содержащий, помимо разных прочих утверждений, и сжатую формулировку леммы Накаямы для них -- http://posic.livejournal.com/107398.html
К предыдущему математическому постингу, к первому пункту его: вспомогательный производный функтор это, конечно, хорошо, но все-таки и без леммы Накаямы никак не обойтись. Подходящей формы ее, между тем, в моих текстах не было до сих пор пока; тут нужно некое обобщение.
Что такое, вообще, лемма Накаямы? В классической теории модулей есть, на самом деле, две ее версии, ни одна из которых не является частным случаем другой: 1. для радикала Джекобсона и конечно-порожденного модуля, и 2. для (конечно) нильпотентного идеала и произвольного модуля. Второй случай настолько прост, что обычно не удостаивается отдельного упоминания; но контрамодульная лемма Накаямы является именно его обобщением.
Пусть R -- ассоциативное кольцо, I -- его (скажем, двусторонний) идеал, такой что In = 0 для некоторого натурального n, и пусть M -- левый R-модуль. Тогда если IM = M, то M = 0. Очевидное доказательство я опущу, но отмечу, что утверждение это допускает не менее очевидное обобщение, которое реже можно увидеть где-либо сформулированным.
Пусть R -- ассоциативное кольцо и I1, …, In -- его (скажем, двусторонние) идеалы, произведение которых I1 … In есть нулевой идеал. Пусть M -- левый R-модуль. Тогда если IiM = M для всех i = 1,…,n, то M = 0.
Контрамодульный вариант этого последнего утверждения -- это то, что нам нужно.
Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть J1, J2, … -- последовательность (скажем, правых и, для простоты, замкнутых) идеалов в R, такая что последовательность правых идеалов J1, J1J2, J1J2J3, … сходится к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы в этой последовательности произведений). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения Jn[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.
Доказательство на этот раз уже отнюдь не тривиально, но писать его здесь я все-таки не буду; оно такое же, как доказательство более привычной формы контрамодульной леммы Накаямы в разделе 1.3 слабо искривленного препринта.
Вместо этого, поступим в духе ЖЖ и дадим ссылку на радостный постинг июня 2006 года, возвестивший миру об открытии первой сформулированной в разумной общности версии леммы Накаямы для контрамодулей (тогда еще только над коалгебрами над полями) -- http://posic.livejournal.com/191812.html
А вот, кстати, постинг сентября 2003 года (12 лет назад!) о контрамодулях над целыми p-адическими числами, содержащий, помимо разных прочих утверждений, и сжатую формулировку леммы Накаямы для них -- http://posic.livejournal.com/107398.html
