Дошло, что ли?
Nov. 21st, 2010 05:24 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic1. Эти точные категории, о которых так долго говорили большевики, вообще не существуют. Можно рассмотреть точную категорию конструктивных этальных пучков Z/m-модулей на многообразии, с точными тройками, расщепимыми в каждой схемной точке. Но чтобы подкатегория этой точной категории сама была точной, она должна быть замкнута относительно расширений (или, в другом варианте, содержать вместе со средним членом точной тройки оба крайних). Ниоткуда не следует, что класс этальных пучков Z/m-модулей, связанных с конструктивными этальными пучками множеств, замкнут относительно расширений. Т.е. чтобы получить точную категорию, надо его замыкать относительно расширений.
2. А нам это надо? Рассмотрим класс конструктивных этальных пучков Z/m-модулей, слои которых во всех схемных точках суть (конечно порожденные) перестановочные модули над группой Галуа. Он замкнут относительно расширений интересующего нас типа по определению. Далее, всякий такой пучок на каком-то открытом помногообразии нашего многообразия гладок и описывается перестановочным представлением этальной группы Галуа этого открытого подмногообразия. Факторпучок по продолжению нулем ограничения на это открытое подмногообразие обладает тем же свойством на плотном открытом подмножестве своего носителя, и т.д. Т.е. всякий пучок интересующего нас класса является итерированным расширением пучков, связанных с конечными (т.е. собственными) этальными морфизмами в локально замкнутые подмногообразия (которые можно считать гладкими). По-моему, так гораздо проще.
3. Если заглянуть в учебник (SGA 4 1/2), можно убедиться, что на пучках интересующего нас класса (описанного в п.2) действуют прямые образы с компактным носителем относительно квазиконечных морфизмов (многообразий над полем). Ну и чего еще нам нужно для щастья? Вот; и никаких топосов.
2. А нам это надо? Рассмотрим класс конструктивных этальных пучков Z/m-модулей, слои которых во всех схемных точках суть (конечно порожденные) перестановочные модули над группой Галуа. Он замкнут относительно расширений интересующего нас типа по определению. Далее, всякий такой пучок на каком-то открытом помногообразии нашего многообразия гладок и описывается перестановочным представлением этальной группы Галуа этого открытого подмногообразия. Факторпучок по продолжению нулем ограничения на это открытое подмногообразие обладает тем же свойством на плотном открытом подмножестве своего носителя, и т.д. Т.е. всякий пучок интересующего нас класса является итерированным расширением пучков, связанных с конечными (т.е. собственными) этальными морфизмами в локально замкнутые подмногообразия (которые можно считать гладкими). По-моему, так гораздо проще.
3. Если заглянуть в учебник (SGA 4 1/2), можно убедиться, что на пучках интересующего нас класса (описанного в п.2) действуют прямые образы с компактным носителем относительно квазиконечных морфизмов (многообразий над полем). Ну и чего еще нам нужно для щастья? Вот; и никаких топосов.
