Числа, многочлены, теория моделей

[posic]

Есть известный тезис, что целые числа похожи на многочлены от одной переменной с коэффициентами в поле, особенно если "поле" пробегает все конечные поля. Можно ли как-нибудь формализовать этот тезис в рамках математической логики?

Я могу рассмотреть язык теории колец, т.е. один сорт переменных "элементы кольца", бинарные операции "сложение", "вычитание", "умножение", константы "ноль" и "единица". Рассмотреть в этом языке все формулы, истинные во всех кольцах k[x], где k -- (конечное) поле. И задаться вопросом, истинны ли все такие формулы в кольце Z.

Проблема в том, что ответ очевидно отрицательный. Глупейшее утверждение "или 1+1=0, или 1+1+1=0, или существуют три попарно различных обратимых элемента" выполнено во всех кольцах k[x], но не в Z.

Можно ли как-то разумно ограничить класс рассматриваемых формул, так чтобы любая формула из этого класса, истинная во всех k[x], была истинна в Z, и при этом класс формул был достаточно богатым, чтобы включать всякие содержательные алгебраические утверждения?

Comments

[silentvoice07.livejournal.com]

Ядро плюс гомоморфизмы?

[posic.livejournal.com]

Не понял вопроса.

[misha2.livejournal.com]

А это верно для утверждения "существует такой x, что f(x)=0"? Здесь f - многочлен с целыми коэффициентами, а x - элемент рассматриваемого кольца.

[posic.livejournal.com]

Если какой-то многочлен с целыми коэффициентами имеет корень во всех конечных полях, то он имеет корень в Z? Вряд ли верно, да. Будь это верно, теория диофантовых уравнений была бы гораздо проще, чем она есть в действительности.

Что ж, может быть, в самом деле, нельзя сделать то, чего я хочу.

[misha2.livejournal.com]

Да, действительно. Если такое утверждение верно в кольце многочленов над полем, то оно верно и в самом поле.

[posic.livejournal.com]

Например, многочлен (x^2+1)(x^4-4) имеет корень в любом конечном поле, но не в Z, мне кажется. Многочлен (2x+1)(x^2+1)(x^4-4) имеет корень в любом вообще поле, но не в Z.

Может быть можно как-то обойти эту проблему?

[misha2.livejournal.com]

Как минимум, нам нужен архимедов аналог утверждений в положительной характеристике.

[posic.livejournal.com]

Я, собственно, имел в виду подобрать общий подход к стандартной ситуации в алгебре (гомологической алгебре, теории категорий и т.п.), когда какие-то естественные утверждения легко доказываются для алгебр над полями, но доказать их для произвольных колец труднее.

[misha2.livejournal.com]

И еще нужнен аналог неприводимости многочленов в логике.

[posic.livejournal.com]

Утверждение "многочлен степени 10 с коэффициентами a_1, ..., a_10 неприводим" вполне себе формализуется в языке теории колец. С этим проблем нет.

[almony.livejournal.com]

Я чего-то не понял, как во всех k[x], где k -- конечное поле, верна формула "1+1=0"

[posic.livejournal.com]

В любом кольце k[x], где k -- конечное поле, выполнено хотя бы одно из трех утверждений "1+1=0", "1+1+1=0", или "cуществуют три попарно разных обратимых элемента". Если char k = 2, то выполнено первое, если char k = 3, второе, а если char k ≥ 5, то третье.

[almony.livejournal.com]

А, я не понял, что имеется в виду, что это не три разных примера утверждений, а один. :)