![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЮзер misha2 убедил меня в комментариях к предыдущему постингу, что поставленная в нем задача вряд ли разрешима, но я не хочу сдаваться и сделаю следующую попытку.
Как известно, все алгебраически замкнутые поля фиксированной характеристики элементарно эквивалентны, т.е. если какая-то формула в языке теории колец истинна в одном из них, то она истинна и в остальных. Если какая-то формула истинна в алгебраически замкнутых полях всех простых характеристик, то она истинна и в алгебраически замкнутых полях характеристики нуль.
Нельзя ли распространить эти результаты на кольца, не имеющие целых алгебраических расширений? Допустим, некоторая формула в языке теории колец истинна во всех коммутативных алгебрах над полями, содержащих корни всех многочленов от одной переменной со старшим коэффициентом 1 (для моих целей, я готов предположить, что она истинна во всех вообще коммутативных алгебрах над полями). Следует ли из этого, что она истинна в кольце всех целых алгебраических чисел?
P.S. http://www.math.uga.edu/~rr/ArithAllAlgInt.pdf
P.P.S. В частности, по ссылке выше автор отмечает, что (2x-1)(3x-1) = 0 разрешимо в любом поле, но не в кольце целых алгебраических чисел. Так что ответ на мой вопрос отрицательный. Но по ссылке есть и некоторый положительный результат.
Как известно, все алгебраически замкнутые поля фиксированной характеристики элементарно эквивалентны, т.е. если какая-то формула в языке теории колец истинна в одном из них, то она истинна и в остальных. Если какая-то формула истинна в алгебраически замкнутых полях всех простых характеристик, то она истинна и в алгебраически замкнутых полях характеристики нуль.
Нельзя ли распространить эти результаты на кольца, не имеющие целых алгебраических расширений? Допустим, некоторая формула в языке теории колец истинна во всех коммутативных алгебрах над полями, содержащих корни всех многочленов от одной переменной со старшим коэффициентом 1 (для моих целей, я готов предположить, что она истинна во всех вообще коммутативных алгебрах над полями). Следует ли из этого, что она истинна в кольце всех целых алгебраических чисел?
P.S. http://www.math.uga.edu/~rr/ArithAllAlgInt.pdf
P.P.S. В частности, по ссылке выше автор отмечает, что (2x-1)(3x-1) = 0 разрешимо в любом поле, но не в кольце целых алгебраических чисел. Так что ответ на мой вопрос отрицательный. Но по ссылке есть и некоторый положительный результат.
