Локальная коалгебра Ходжа-Тейта
Dec. 23rd, 2010 05:31 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНиже следует комментарий к препринту А.Л. про пучки Ходжа-Тейта (что лежит на сервере Института Макса Планка) + моей заметке про кошулевость алгебры замкнутых форм (что лежит в Архиве).
Пусть A = ⊕ Ani -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k с дифференциалом d, повышающим на единицу когомологическую градуировку i и не меняющим внутреннюю градуировку n. Слова "положительно внутренне градуированная" означают, что An = 0 при n<0 и A0 = k.
Предположим, что когомологии H(A) сосредоточены на объединении двух диагоналей i=1 и i=n. Скажем даже точнее, что имеется гомоморфизм биградуированных алгебр из H(A) в положительно градуированную алгебру Z над k, помещенную в диагональную биградуировку. Ядро этого гомоморфизма сосредоточено в когомологической градуировке i=1. Предположим дополнительно, что алгебра Z кошулева.
Рассмотрим приведенную бар-конструкцию алгебры A; это некоторая положительно внутренне градуированная DG-коалгебра C. Утверждается, что в предположениях выше когомологии H(C) сосредоточены в когомологической градуировке 0. Коалгебра H0(C), как внутренне градуированная (или просто конильпотентная) коалгебра, косвободно копорождена своей факторкоалгеброй, квадратично двойственной к кошулевой алгебре Z, и набором косвободных градуированных кообразующих, соответствующих базису ядра отображения из H(A) в Z, рассматриваемого как внутренне градуированное векторное пространство.
Таким образом, в частности, квадратичная часть коалгебры H0(C) совпадает с ее частью, копорожденной ее компонентой (внутренней) градуировки 1 и кошулева. Эта часть не совпадает со всей H0(С), если только H(A) не лежит на самом деле на диагонали. Квадратичная часть H0(С) косвободно порождена коалгеброй, квадратично двойственной к Z, и набором косвободных кообразующих, соответствующих базису ядра отображения из H1(A1) в Z1.
Доказательство: рассмотреть спектральную последовательность, сходящуюся от когомологий бар-конструкции биградуированной алгебры H(A) к когомологиям бар-конструкции A.
Пусть A = ⊕ Ani -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k с дифференциалом d, повышающим на единицу когомологическую градуировку i и не меняющим внутреннюю градуировку n. Слова "положительно внутренне градуированная" означают, что An = 0 при n<0 и A0 = k.
Предположим, что когомологии H(A) сосредоточены на объединении двух диагоналей i=1 и i=n. Скажем даже точнее, что имеется гомоморфизм биградуированных алгебр из H(A) в положительно градуированную алгебру Z над k, помещенную в диагональную биградуировку. Ядро этого гомоморфизма сосредоточено в когомологической градуировке i=1. Предположим дополнительно, что алгебра Z кошулева.
Рассмотрим приведенную бар-конструкцию алгебры A; это некоторая положительно внутренне градуированная DG-коалгебра C. Утверждается, что в предположениях выше когомологии H(C) сосредоточены в когомологической градуировке 0. Коалгебра H0(C), как внутренне градуированная (или просто конильпотентная) коалгебра, косвободно копорождена своей факторкоалгеброй, квадратично двойственной к кошулевой алгебре Z, и набором косвободных градуированных кообразующих, соответствующих базису ядра отображения из H(A) в Z, рассматриваемого как внутренне градуированное векторное пространство.
Таким образом, в частности, квадратичная часть коалгебры H0(C) совпадает с ее частью, копорожденной ее компонентой (внутренней) градуировки 1 и кошулева. Эта часть не совпадает со всей H0(С), если только H(A) не лежит на самом деле на диагонали. Квадратичная часть H0(С) косвободно порождена коалгеброй, квадратично двойственной к Z, и набором косвободных кообразующих, соответствующих базису ядра отображения из H1(A1) в Z1.
Доказательство: рассмотреть спектральную последовательность, сходящуюся от когомологий бар-конструкции биградуированной алгебры H(A) к когомологиям бар-конструкции A.
