posic | Мотивные когомологии с конечными коэффициентами

Известное их описание в терминах этальных когомологий опирается на два довольно разных утверждения:

1. Гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума об этальном спуске: Z(j) = τ_{≤ j} Rπ_{_*}π*Z(j) = τ_{≤ j+1} Rπ_{_*}π*Z(j), где π: Et → Zar.

2. Теорема жесткости Суслина: π* Z/m(j) = μ_m^⊗j для схем с характеристиками полей вычетов, не делящими m.

Для особых многообразий это описание неверно; достаточно рассмотреть мотивные когомологии аффинной прямой с двумя склеенными точками с коэффициентами в Z/m(0), определяемые как соответствующий Hom из мотива этой особой кривой в Z/m в категории мотивов над полем (комплексных чисел, скажем). Пример этот, кстати, также показывает, что для особых многообразий Z(0) не есть постоянный пучок Z (если я правильно понимаю, что все это значит).

Какое из утверждений 1 и 2 нарушается в случае особых многообразий?

Похоже, что в этом примере с нодальной прямой и j=0 утверждение 2. сохраняется, поскольку соответствующий класс первых мотивных когомологий с конечными коэффициентами умирает в этальных накрытиях. Получается, что 1. неверно, да?