![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПоскольку предыдущая попытка не удалась, сделаем другую, еще более странную.
Пусть k -- коммутативное кольцо. Попробуем построить псевдотензорный (или как он называется? слабо тензорный?) функтор P из категории комплексов k-модулей в категорию гомотопически проективных комплексов k-модулей. Функтор P будет снабжен естественным преобразованием P(A) → A, являющимся квазиизоморфизмом комплексов k-модулей, и естественным сечением этого естественного преобразования A → P(A), являющимся отображением градуированных множеств, переводящим нули в нули и коммутирующим с дифференциалом (но не сохраняющим ни сложение, ни умножение на константы из k).
Псевдотензорность состоит в том, что для любых комплексов A и B должно существовать естественное отображение комплексов k-модулей P(A)⊗kP(B) → P(A⊗kB), согласованное, как минимум, с ассоциативностью (а то и с градуированной коммутативностью) в тензорной категории комплексов. Должна быть также подходящая согласованность с единицей.
Применение функтора P к DG-алгебре A над k должно давать гомотопически k-проективную DG-алгебру P(A) вместе с квазиизоморфизмом DG-алгебр P(A) → A над k и однородным, мультипликативным и унитальным, но не аддитивным и не k-эквивариантным сечением A → P(A). Больше всего по своим формальным свойствам эта конструкция напоминает вектора Витта, что ли.
Чтобы убедиться, что такое вообще в принципе возможно, рассмотрим сначала простой случай, когда кольцо k содержит какое-то поле f. Тогда за P(A) можно взять (приведенную или нет, неважно) бар-конструкцию A над k относительно f. Желаемая псевдотензорная структура задается операцией shuffle product на бар-конструкциях. Отображение сечения в этом случае даже аддитивно и f-линейно, но не k-линейно.
Как предполагается достичь нашей ужасной цели в общем случае? Функтор P переводит k-модуль M в его проективную резольвенту, нулевым членом которой является k-модуль, свободно порожденный всеми элементами M, профакторизованный по подмодулю k, натянутому на образующую, соответствующую нулевому элементу M. Эта процедура итерируется, чтобы получить всю резольвенту. Комплексу k-модулей A сопоставляется тотальный комплекс бикомплекса, составленного из комплексов, соответствующих членам комплекса A, построенный с помощью взятия бесконечных прямых сумм вдоль диагоналей.
Надо только построить отображение, определяющее псевдотензорную структуру. Вроде бы, это получается.
Хочется написать формулы примерно в таком виде. P(A) -- это бикомплекс, компоненты которого Pij(A) определяются по индукции. k-модуль P0j(A) свободно порожден символами {a}, где а ∈ Aj, с соотношением {0}=0. Для любого i>0, определим по индукции k-модуль Pij(A) вместе с дифференциалом ∂, бьющим из него в Рi-1,j(A). Модуль Pij(A) порожден символами [p], где p ∈ Pi-1,j(A) и ∂(p)=0, с единственным соотношением [0]=0 (если i=1, вместо ∂ здесь используется отображение P0j(A) → A, переводящее {a} в a.) Дифференциал ∂ определен правилом ∂([p]) = p (и ∂({a}) = 0). Дифференциал d на P(A) определен правилами d({a}) = {da} и d([p]) = -[dp] или [-dp], что-то такое.
Наконец, псевдотензорная структура определяется по индукции правилами типа [p]×[q] = [p×[q] + (-1)|p|[p]×q], [p]×{a} = [p×{a}], {a}×[q] = [(-1)|a|{a}×q], и {a}×{b}={ab}.
Таким образом, псевдотензорная структура, таки да, ожидается быть ассоциативной и (градуированно) коммутативной. Что касается единицы, то она дается отображением комплексов k-модулей k → P(k), отличающимся от отображения сечения (которое не аддитивно и не k-линейно), но связанным с ним в том смысле, что образы элемента 1∈k при этих двух отображениях совпадают.
Пусть k -- коммутативное кольцо. Попробуем построить псевдотензорный (или как он называется? слабо тензорный?) функтор P из категории комплексов k-модулей в категорию гомотопически проективных комплексов k-модулей. Функтор P будет снабжен естественным преобразованием P(A) → A, являющимся квазиизоморфизмом комплексов k-модулей, и естественным сечением этого естественного преобразования A → P(A), являющимся отображением градуированных множеств, переводящим нули в нули и коммутирующим с дифференциалом (но не сохраняющим ни сложение, ни умножение на константы из k).
Псевдотензорность состоит в том, что для любых комплексов A и B должно существовать естественное отображение комплексов k-модулей P(A)⊗kP(B) → P(A⊗kB), согласованное, как минимум, с ассоциативностью (а то и с градуированной коммутативностью) в тензорной категории комплексов. Должна быть также подходящая согласованность с единицей.
Применение функтора P к DG-алгебре A над k должно давать гомотопически k-проективную DG-алгебру P(A) вместе с квазиизоморфизмом DG-алгебр P(A) → A над k и однородным, мультипликативным и унитальным, но не аддитивным и не k-эквивариантным сечением A → P(A). Больше всего по своим формальным свойствам эта конструкция напоминает вектора Витта, что ли.
Чтобы убедиться, что такое вообще в принципе возможно, рассмотрим сначала простой случай, когда кольцо k содержит какое-то поле f. Тогда за P(A) можно взять (приведенную или нет, неважно) бар-конструкцию A над k относительно f. Желаемая псевдотензорная структура задается операцией shuffle product на бар-конструкциях. Отображение сечения в этом случае даже аддитивно и f-линейно, но не k-линейно.
Как предполагается достичь нашей ужасной цели в общем случае? Функтор P переводит k-модуль M в его проективную резольвенту, нулевым членом которой является k-модуль, свободно порожденный всеми элементами M, профакторизованный по подмодулю k, натянутому на образующую, соответствующую нулевому элементу M. Эта процедура итерируется, чтобы получить всю резольвенту. Комплексу k-модулей A сопоставляется тотальный комплекс бикомплекса, составленного из комплексов, соответствующих членам комплекса A, построенный с помощью взятия бесконечных прямых сумм вдоль диагоналей.
Надо только построить отображение, определяющее псевдотензорную структуру. Вроде бы, это получается.
Хочется написать формулы примерно в таком виде. P(A) -- это бикомплекс, компоненты которого Pij(A) определяются по индукции. k-модуль P0j(A) свободно порожден символами {a}, где а ∈ Aj, с соотношением {0}=0. Для любого i>0, определим по индукции k-модуль Pij(A) вместе с дифференциалом ∂, бьющим из него в Рi-1,j(A). Модуль Pij(A) порожден символами [p], где p ∈ Pi-1,j(A) и ∂(p)=0, с единственным соотношением [0]=0 (если i=1, вместо ∂ здесь используется отображение P0j(A) → A, переводящее {a} в a.) Дифференциал ∂ определен правилом ∂([p]) = p (и ∂({a}) = 0). Дифференциал d на P(A) определен правилами d({a}) = {da} и d([p]) = -[dp] или [-dp], что-то такое.
Наконец, псевдотензорная структура определяется по индукции правилами типа [p]×[q] = [p×[q] + (-1)|p|[p]×q], [p]×{a} = [p×{a}], {a}×[q] = [(-1)|a|{a}×q], и {a}×{b}={ab}.
Таким образом, псевдотензорная структура, таки да, ожидается быть ассоциативной и (градуированно) коммутативной. Что касается единицы, то она дается отображением комплексов k-модулей k → P(k), отличающимся от отображения сечения (которое не аддитивно и не k-линейно), но связанным с ним в том смысле, что образы элемента 1∈k при этих двух отображениях совпадают.
