Определение

[posic]

Топологическая абелева группа с отделимой линейной топологией называется контраполной, если всякое, индексированное произвольным множеством, сходящееся к нулю семейство элементов этой группы имеет в ней сумму. Т.е., предел конечных частичных сумм существует в такой ситуации.

Подгруппа топологической абелевой группы с отделимой линейной топологией называется в ней контраплотной, если всякий элемент объемлющей группы можно получить как сумму сходящегося к нулю семейства элементов подгруппы.

Контрапополнением топологической абелевой группы с отделимой линейной топологией называется ... подгруппа обычного пополнения (проективного предела дискретных факторов), состоящая из всех сумм сходящихся к нулю последовательностей? ... Группа, элементами которой являются сходящиейся к нулю последовательности с отношением эквивалентности -- сумма дизъюнктного объединения одной последовательности с минус другой равна нулю? ... Это одно и то же?

Вот это, действительно, всем определениям определение!

(В случае счетной базы окрестностей нуля теория совпадает с классической, конечно.)

Comments

[buddha239.livejournal.com]

Сходящееся к нулю в каком смысле? Чем это отличается от полноты?

[posic.livejournal.com]

Семейство t_x элементов топологического пространства T, индексированное элементами x множества X, называется сходящимся к точке t ∈ T, если для любой окрестности U точки t в пространстве T элемент t_x принадлежит U для всех, кроме конечного числа, индексов x ∈ X.

Топологическая абелева группа с линейной топологией (базой окрестностей нуля, состоящей из открытых подгрупп) называется полной (и отделимой), если естественное отображение из нее в проективный предел ее факторгрупп по открытым подгруппам -- изоморфизм.

Пусть t_x -- семейство элементов отделимой топологической абелевой группы A с линейной топологией, сходящееся к нулю в смысле определения выше. Элемент s ∈ A называется суммой элементов t_x, x ∈ X, если для любой окрестности U элемента s в группе A найдется конечное подмножество индексов Z ⊂ X, такое, что для любого конечного подмножества индексов Y ⊂ X, содержащего Z, сумма элементов t_y по всем y ∈ Y принадлежит U.

Отделимая топологическая абелева группа с линейной топологией называется контраполной, если всякое сходящееся к нулю семейство ее элементов имеет в ней сумму.

Разница между двумя определениями в том, что, в то время, как всякая полная отделимая группа очевидно контраполна, я не вижу возможности доказать, что всякая контраполная отделимая группа полна. Элемент пополнения -- это согласованный набор представителей по модулю всех открытых подгрупп. Не видно способа представить предел такого набора в виде суммы сходящегося к нулю семейства (если множество индексов несчетно).

[buddha239.livejournal.com]

Да, пожалуй - в эту сторону следствие неочевидно (и, вероятно, неверно - у Вас есть пример?). Но правильно ли присоединять приставку "контра" если речь идет об ослаблении свойства?:)