![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- коммутативное кольцо и I ⊂ R -- конечно-порожденный идеал в R. R-модуль D называется I-делимым, если R/I ⊗R D = 0 (т.е., попросту, ID = D). R-модуль C называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I (достаточно проверить это условие для любого множества образующих I, или даже для любого множества образующих какого-нибудь идеала в R, радикал которого содержит I).
Интересующая нас лемма -- это вариант леммы 4.2 из статьи Contraadjusted modules, contramodules, ... (Moscow Math. J. 2017). Доказательство ниже альтернативно доказательству, намеченному в статье.
Лемма. Если R-модуль D I-делим, а R-модуль C является I-контрамодулем, то HomR(D,C) = 0.
Доказательство. Заметим, что пересечение любого семейства подмодулей C, являющихся I-контрамодулями -- тоже I-контрамодуль (потому, что пересечение подмодулей -- это ядро морфизма в произведение фактормодулей, а класс всех I-контрамодульных R-модулей замкнут относительно ядер, коядер и произведений).
Пусть f: D → C -- R-модульный морфизм. Обозначим через C' ⊂ C пересечение всех I-контрамодульных подмодулей C, содержащих im(f). Тогда C' -- тоже I-контрамодульный R-модуль, и мы имеем R-модульный морфизм f': D → C'.
Подлемма (I-контрамодульная лемма Накаямы). Для любого ненулевого I-контрамодульного R-модуля K, его фактор(контра)модуль K/IK тоже ненулевой.
Доказательство подлеммы: пусть s1, ..., sm -- какое-нибудь множество образующих идеала I. Тогда из того, что K -- ненулевой sm-контрамодуль, следует, что R-модуль K/smK ненулевой. Этот R-модуль является контрамодулем для идеала, порожденного s1, ..., sm−1 в R (и даже для идеала I, конечно, тоже, но это нам уже не нужно), и остается использовать индукцию по m.
Теперь мы можем закончить доказательство леммы. Рассмотрим композицию морфизмов D → C' → C'/IC'. Имеем HomR(D,B) = HomR(D/ID,B) = 0 для любого R/I-модуля B. Поэтому композиция наших двух морфизмов равна нулю, т.е., образ морфизма f' содержится в IC'. Но IC' является I-контрамодулем как ядро морфизма I-контрамодулей C' → C'/IC' (любой R/I-модуль является I-контрамодулем, разумеется). Поскольку C' не имеет собственных I-контрамодульных R-подмодулей, содержащих образ f', отсюда следует, что IC' = C'. Согласно подлемме, мы заключаем, что C' = 0, откуда f' = 0 и f = 0.
Интересующая нас лемма -- это вариант леммы 4.2 из статьи Contraadjusted modules, contramodules, ... (Moscow Math. J. 2017). Доказательство ниже альтернативно доказательству, намеченному в статье.
Лемма. Если R-модуль D I-делим, а R-модуль C является I-контрамодулем, то HomR(D,C) = 0.
Доказательство. Заметим, что пересечение любого семейства подмодулей C, являющихся I-контрамодулями -- тоже I-контрамодуль (потому, что пересечение подмодулей -- это ядро морфизма в произведение фактормодулей, а класс всех I-контрамодульных R-модулей замкнут относительно ядер, коядер и произведений).
Пусть f: D → C -- R-модульный морфизм. Обозначим через C' ⊂ C пересечение всех I-контрамодульных подмодулей C, содержащих im(f). Тогда C' -- тоже I-контрамодульный R-модуль, и мы имеем R-модульный морфизм f': D → C'.
Подлемма (I-контрамодульная лемма Накаямы). Для любого ненулевого I-контрамодульного R-модуля K, его фактор(контра)модуль K/IK тоже ненулевой.
Доказательство подлеммы: пусть s1, ..., sm -- какое-нибудь множество образующих идеала I. Тогда из того, что K -- ненулевой sm-контрамодуль, следует, что R-модуль K/smK ненулевой. Этот R-модуль является контрамодулем для идеала, порожденного s1, ..., sm−1 в R (и даже для идеала I, конечно, тоже, но это нам уже не нужно), и остается использовать индукцию по m.
Теперь мы можем закончить доказательство леммы. Рассмотрим композицию морфизмов D → C' → C'/IC'. Имеем HomR(D,B) = HomR(D/ID,B) = 0 для любого R/I-модуля B. Поэтому композиция наших двух морфизмов равна нулю, т.е., образ морфизма f' содержится в IC'. Но IC' является I-контрамодулем как ядро морфизма I-контрамодулей C' → C'/IC' (любой R/I-модуль является I-контрамодулем, разумеется). Поскольку C' не имеет собственных I-контрамодульных R-подмодулей, содержащих образ f', отсюда следует, что IC' = C'. Согласно подлемме, мы заключаем, что C' = 0, откуда f' = 0 и f = 0.
