![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПолучается так: мы хотим доказать, что проективная размерность второго кольца как модуля над первым не превосходит единицы. Это выводится из некоторого свойства Hom-перпендикулярности некоторых модулей Ext. На самом деле, это эквивалентная переформулировка, как совсем нетрудно видеть.
Некоторые модули Hom в Q/Z, двойственные к модулям кручения, образуют намного более узкий класс модулей. Эти модули очевидным образом обладают некоторым более сильным свойством Ext-перпендикулярности. Нам нужно выразить произвольный модуль Ext определенного типа через модули Hom в Q/Z так, чтобы известное нам свойство Ext-перпендикулярности, которым обладают вторые, влекло за собой интересующее нас свойство Hom-перпендикулярности, которым хотелось бы, чтобы обладали первые.
К интересующим нас модулям Ext определенного типа сходится спектралка от модулей Ext более частного вида, образующих класс, промежуточный между двумя классами модулей, о которых шла речь выше. Грубо-приблизительно говоря, мы хотим свести интересующий нас вопрос Hom-перпендикулярности модулей Ext определенного типа к такому же свойству Hom-перпендикулярности модулей Ext более частного вида, а этот вопрос потом свести к свойству Ext-перпендикулярности модулей Hom в Q/Z.
И вот на этом-то этапе мы замечаем, что все модули Ext более частного вида являются контрамодулями над некоторым топологическим кольцом. Предположение счетной базы окрестностей нуля у этого топологического кольца делает теорию таких контрамодулей технически достаточно мощной, чтобы обеспечить возможность сведения интересующих вопросов перпендикулярности с широкого класса модулей Ext определенного типа к классу всех контрамодулей над этим топологическим кольцом, а там и к модулям Hom, двойственным к модулям кручения.
При этом без предположения счетности базы теорема, которую мы таким образом доказали, просто неверна, конечно.
Как все это называется? "Из пушки по воробьям", все это называется! Контрамодули выступают здесь в роли вспомогательного технического инструмента гомологической алгебры колец и модулей. Вся надежда на то, что инструмент этот окажется достаточно эффективным.
Некоторые модули Hom в Q/Z, двойственные к модулям кручения, образуют намного более узкий класс модулей. Эти модули очевидным образом обладают некоторым более сильным свойством Ext-перпендикулярности. Нам нужно выразить произвольный модуль Ext определенного типа через модули Hom в Q/Z так, чтобы известное нам свойство Ext-перпендикулярности, которым обладают вторые, влекло за собой интересующее нас свойство Hom-перпендикулярности, которым хотелось бы, чтобы обладали первые.
К интересующим нас модулям Ext определенного типа сходится спектралка от модулей Ext более частного вида, образующих класс, промежуточный между двумя классами модулей, о которых шла речь выше. Грубо-приблизительно говоря, мы хотим свести интересующий нас вопрос Hom-перпендикулярности модулей Ext определенного типа к такому же свойству Hom-перпендикулярности модулей Ext более частного вида, а этот вопрос потом свести к свойству Ext-перпендикулярности модулей Hom в Q/Z.
И вот на этом-то этапе мы замечаем, что все модули Ext более частного вида являются контрамодулями над некоторым топологическим кольцом. Предположение счетной базы окрестностей нуля у этого топологического кольца делает теорию таких контрамодулей технически достаточно мощной, чтобы обеспечить возможность сведения интересующих вопросов перпендикулярности с широкого класса модулей Ext определенного типа к классу всех контрамодулей над этим топологическим кольцом, а там и к модулям Hom, двойственным к модулям кручения.
При этом без предположения счетности базы теорема, которую мы таким образом доказали, просто неверна, конечно.
Как все это называется? "Из пушки по воробьям", все это называется! Контрамодули выступают здесь в роли вспомогательного технического инструмента гомологической алгебры колец и модулей. Вся надежда на то, что инструмент этот окажется достаточно эффективным.
