Ядро и периферия
Jan. 26th, 2020 03:14 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicУ каждого математического понятия есть ядро и периферия. Это можно объяснить на примерах.
Скажем, когда вы говорите, что "функция называется гладкой, если она бесконечное число раз непрерывно дифференцируема; здесь и ниже все функции предполагаются гладкими" -- это один стиль мышления. Это, собственно, то, к чему я привык с детства.
Когда вы говорите, что "функция называется гладкой, если она один раз непрерывно дифференцируема" (так, кажется, считает моя мама) -- это другой стиль.
Переходя к гладким многообразиям, разница становится предельно наглядной. Что такое многообразие с функциями переклейки, принадлежащими классу C^1 или C^2? Что можно и что нельзя делать с таким многообразием? Кто когда-нибудь задавался подобными вопросами, поднимите руки, как говорится. Я -- никогда. Для меня все вещественные многообразия гладки в том смысле, что бесконечно-гладки.
В случае с вещественными многообразиями разница между разными классами гладкости, возможно, невелика (это то, что я смутно запомнил с каких-то студенческих лет). Хотя разница между гладкими и топологическими многообразиями -- очень большая.
Другой пример -- алгебраические многообразия. Что такое алгебраическое многообразие? Есть мнение, что это квазипроективное многообразие над алгебраически замкнутым полем, приведенное и неприводимое. А то, так и над полем комплексных чисел. Есть другое мнение, что это схема конечного типа над полем. А то, так и над каким-нибудь достаточно хорошим нетеровым кольцом.
***
И.М. Гельфанд на своем семинаре говорил, что в математике каждые десять лет полностью меняется язык, хотя объекты изучения остаются неизменными. Это значит, что у вас есть некое явление природы (в математическом смысле этого слова). Вы пытаетесь рассмотреть его под лупой подобранных для этой цели понятий, сфокусировав эти понятия так, чтобы изучаемое явление оказалось в их центре. Это гельфандовский стиль, опирающийся на примеры.
Другой стиль работы требует поиска максимальной естественной общности. Определения должны быть подобраны таким образом, чтобы с точки зрения изучаемой задачи рассматриваемый класс объектов был равномерно хорош от центра до периферии. Если нажать еще сильнее, можно стремиться к просто максимальной общности, не обязательно даже очень естественной.
Прошедший по этому пути достаточно далеко разглядывает уже не неизменные и почти вечные объекты изучения в математике -- ее ядро -- а периферию своих сегодняшних концепций, которые он находит достаточно важными, чтобы интересоваться их периферией. Это такая вспомогательная деятельность, подразумевающая, что прежде, чем лезть в ядро предмета, неплохо бы подготовить аналитический инструментарий. Другими словами это называется -- разработка оснований.
***
У понятия модуля над кольцом тоже есть ядро и периферия. Скажем, если модуль не имеет счетного множества образующих -- это уже явная периферия. Вряд ли, скажем, в алгебраической геометрии или в теории чисел могут быть очень важны несчетно порожденные модули. Понятие модуля известно уже сто лет, ядро его в целом давно и хорошо изучено, а современные специалисты по кольцам и модулям изучают периферию.
У понятия контрамодуля над топологическим кольцом тоже есть ядро и периферия. Скажем, если кольцо не имеет счетной базы окрестностей нуля -- это уже явная периферия.
Мне кажется, что примерно до конца 2017 или до середины 2018 года я изучал ядро теории контрамодулей, а в последние полтора-два года занимаюсь периферией. Это тоже может быть важно, и там есть фундаментальная проблема, в этих основаниях оснований, в которой хотелось бы достичь понимания. Но все же...
***
В общем, вышеизложенное -- один из способов объяснить мое нынешнее беспокойное настроение.
Скажем, когда вы говорите, что "функция называется гладкой, если она бесконечное число раз непрерывно дифференцируема; здесь и ниже все функции предполагаются гладкими" -- это один стиль мышления. Это, собственно, то, к чему я привык с детства.
Когда вы говорите, что "функция называется гладкой, если она один раз непрерывно дифференцируема" (так, кажется, считает моя мама) -- это другой стиль.
Переходя к гладким многообразиям, разница становится предельно наглядной. Что такое многообразие с функциями переклейки, принадлежащими классу C^1 или C^2? Что можно и что нельзя делать с таким многообразием? Кто когда-нибудь задавался подобными вопросами, поднимите руки, как говорится. Я -- никогда. Для меня все вещественные многообразия гладки в том смысле, что бесконечно-гладки.
В случае с вещественными многообразиями разница между разными классами гладкости, возможно, невелика (это то, что я смутно запомнил с каких-то студенческих лет). Хотя разница между гладкими и топологическими многообразиями -- очень большая.
Другой пример -- алгебраические многообразия. Что такое алгебраическое многообразие? Есть мнение, что это квазипроективное многообразие над алгебраически замкнутым полем, приведенное и неприводимое. А то, так и над полем комплексных чисел. Есть другое мнение, что это схема конечного типа над полем. А то, так и над каким-нибудь достаточно хорошим нетеровым кольцом.
***
И.М. Гельфанд на своем семинаре говорил, что в математике каждые десять лет полностью меняется язык, хотя объекты изучения остаются неизменными. Это значит, что у вас есть некое явление природы (в математическом смысле этого слова). Вы пытаетесь рассмотреть его под лупой подобранных для этой цели понятий, сфокусировав эти понятия так, чтобы изучаемое явление оказалось в их центре. Это гельфандовский стиль, опирающийся на примеры.
Другой стиль работы требует поиска максимальной естественной общности. Определения должны быть подобраны таким образом, чтобы с точки зрения изучаемой задачи рассматриваемый класс объектов был равномерно хорош от центра до периферии. Если нажать еще сильнее, можно стремиться к просто максимальной общности, не обязательно даже очень естественной.
Прошедший по этому пути достаточно далеко разглядывает уже не неизменные и почти вечные объекты изучения в математике -- ее ядро -- а периферию своих сегодняшних концепций, которые он находит достаточно важными, чтобы интересоваться их периферией. Это такая вспомогательная деятельность, подразумевающая, что прежде, чем лезть в ядро предмета, неплохо бы подготовить аналитический инструментарий. Другими словами это называется -- разработка оснований.
***
У понятия модуля над кольцом тоже есть ядро и периферия. Скажем, если модуль не имеет счетного множества образующих -- это уже явная периферия. Вряд ли, скажем, в алгебраической геометрии или в теории чисел могут быть очень важны несчетно порожденные модули. Понятие модуля известно уже сто лет, ядро его в целом давно и хорошо изучено, а современные специалисты по кольцам и модулям изучают периферию.
У понятия контрамодуля над топологическим кольцом тоже есть ядро и периферия. Скажем, если кольцо не имеет счетной базы окрестностей нуля -- это уже явная периферия.
Мне кажется, что примерно до конца 2017 или до середины 2018 года я изучал ядро теории контрамодулей, а в последние полтора-два года занимаюсь периферией. Это тоже может быть важно, и там есть фундаментальная проблема, в этих основаниях оснований, в которой хотелось бы достичь понимания. Но все же...
***
В общем, вышеизложенное -- один из способов объяснить мое нынешнее беспокойное настроение.
