![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНу как "у себя" -- конкретной работы, в которой сделано это неверное утверждение, я сейчас указать не могу. Когда-то я, видимо, понимал, что не умею это доказывать, и проявлял осторожность в этом месте. Но контрпримера не придумал (хотя он очень простой), и постепенно стал считать и, как минимум, говорить в разговорах, что это верно. Так вот, неверно.
Пусть имеется мультипликативное спаривание между алгеброй К и коалгеброй С над полем k. То есть, попросту, гомоморфизм алгебр K --> C*. При каких условиях соответствующий функтор из C-комодулей в К-модули вполне строгий? Достаточно того, чтобы спаривание было невырожденным по C, то есть, другими словами, чтобы гомоморфизм K --> C^* имел плотный образ в линейно компактной топологии C^*. Но нет, это достаточное условие совершенно не является необходимым.
Потому, что существуют несюръективные эпиморфизмы (в категории) конечномерных алгебр над полем. Например, если K -- трехмерная алгебра верхнетреугольных матриц 2x2, а C -- четырехмерная кополупростая коалгебра, двойственная к алгебре всех матриц 2x2, то образ естественного инъективного гомоморфизма K --> C* не разу не плотен в (дискретной) топологии конечномерной алгебры C*, но функтор C-Comod --> K-Mod вполне строгий.
Пусть имеется мультипликативное спаривание между алгеброй К и коалгеброй С над полем k. То есть, попросту, гомоморфизм алгебр K --> C*. При каких условиях соответствующий функтор из C-комодулей в К-модули вполне строгий? Достаточно того, чтобы спаривание было невырожденным по C, то есть, другими словами, чтобы гомоморфизм K --> C^* имел плотный образ в линейно компактной топологии C^*. Но нет, это достаточное условие совершенно не является необходимым.
Потому, что существуют несюръективные эпиморфизмы (в категории) конечномерных алгебр над полем. Например, если K -- трехмерная алгебра верхнетреугольных матриц 2x2, а C -- четырехмерная кополупростая коалгебра, двойственная к алгебре всех матриц 2x2, то образ естественного инъективного гомоморфизма K --> C* не разу не плотен в (дискретной) топологии конечномерной алгебры C*, но функтор C-Comod --> K-Mod вполне строгий.
